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1、2.3 数学归纳法数学归纳法2021/8/8 星期日1问题问题 1:1:大球中有大球中有5 5个小球，如何证明它们都是个小球，如何证明它们都是 绿色的？绿色的？问题问题 2:2:完全归纳完全归纳法法 不不完全归完全归纳法纳法 问题情境一问题情境一2021/8/8 星期日2（1）不完全归纳法有利于发现问题，但结论）不完全归纳法有利于发现问题，但结论 不一定正确。不一定正确。（2）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。说说 明：明：由两种归纳法得出的结论一定正确吗？由两种归纳法得出的结论一定正确吗？想 一 想 ：例如：今天，据观察第一个到学校的是男同学，例如：今
2、天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。2021/8/8 星期日3 ：由一系列有限的特殊事例得出：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法一般结论的推理方法 结论一定可靠结论一定可靠结论结论不不一定可靠一定可靠考察考察全体全体对象对象,得到一般结论得到一般结论的推理方法的推理方法考察考察部分部分对象对象,得得到一般结论的推到一般结论的推理方法理方法归纳法分为归纳法分为完全归纳法完全归纳法 和和 不不完全归纳法完全归纳法
3、归纳法归纳法2021/8/8 星期日4（2）验证前一问题与后一问题）验证前一问题与后一问题有递推关系；有递推关系；（相当于前牌推倒后牌）（相当于前牌推倒后牌）如何解决不完全归纳法存在的问题呢？如何解决不完全归纳法存在的问题呢？如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？能做到？（1 1）处理第一个问题；（相当于）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）推倒第一块骨牌）问题情境二问题情境二P92 思考思考2021/8/8 星期日5思考思考:问题问题2中证明数列的通项公式中证明数列的通项公式 这个猜想这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗与上述多米诺骨牌游戏有相
4、似性吗?你能类比多米诺骨你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗牌游戏解决这个问题吗?由条件知由条件知,n=1时猜想成立时猜想成立.如如果果n=k时时猜猜想想成成立立,即即,那那么么当当n=k+1时时猜猜想想也也成成立立,即即事实事实上上,即即n=k+1时猜想也成立时猜想也成立.2021/8/8 星期日6 对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：性：（1 1）证明当）证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0(例如例如n n0 0=1)=1)时命题时命题成立成立
5、;（2 2）假设当）假设当n=k(kNn=k(kN*,k n,k n0 0)时命题成立时命题成立 证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立.这种证明方法这种证明方法叫做叫做 数学归纳法数学归纳法数学归纳法数学归纳法【归纳递推】【归纳递推】【归纳奠基】【归纳奠基】2021/8/8 星期日7框图表示框图表示2021/8/8 星期日8（二）、数学归纳法的步骤（二）、数学归纳法的步骤根据根据(1)(2)知对任意的知对任意的 时命题成立。时命题成立。注：注：（1）证明当证明当 取第一个值取第一个值 或或 时结论正确时结论正确（2）假设当假设当 时结论正时结论正确，并证明当确，并证明当 时
6、结论也正确。时结论也正确。两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失去了去了递推的依据递推的依据。只有把第一、二步的结论结合在一起才能得只有把第一、二步的结论结合在一起才能得出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要做一个做一个总的结论总的结论。（3 3）数学归纳法用来证明与）数学归纳法用来证明与正整数正整数有关的命题。有关的命题。（1）（2）2021/8/8 星期日9分析：分析：即即（2 2）假设当）假设当 时命题成立，时命题成立，即即 成立吗？成立
7、吗？那么当那么当 时命题成立吗？时命题成立吗？（1 1）当）当 时，时，成立吗？成立吗？等差数列等差数列 的通项公式为的通项公式为 。例例1 1：用数学归纳法证明首项为：用数学归纳法证明首项为 ，公差为，公差为 的的2021/8/8 星期日10根据根据(1)(2)知当对任意的知当对任意的 命题成立。命题成立。（1）当）当 时，左边时，左边 ，右边，右边 ，证明：证明：命题成立。命题成立。（2）假设当）假设当 时命题成立，即时命题成立，即那么当那么当 时，时，即当即当 时命题成立。时命题成立。（依据）（依据）（结论）（结论）（传递性）（传递性）2021/8/8 星期日11证明：证明：（1）当）当
8、n=1时，左边时，左边1，右边，右边等式成立。等式成立。（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，就是时，等式成立，就是那么那么例2.用数学归纳法证明:当2021/8/8 星期日12这就是说，当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立。2021/8/8 星期日13如下证明对吗？如下证明对吗？证证明：明：当当n=1时时，左，左边边右右边边 等式成立。等式成立。设设n=k时时，有，有即即n=k+1时，命题成立。时，命题成立。根据根据问可知，对问可知，对nN，等式成立，等式成立。第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。
9、2021/8/8 星期日141）第一步应做什么？此时第一步应做什么？此时n0=，左，左=，2）假设）假设n=k时命题成立，即时命题成立，即 当当n=k时，等式左边共有时，等式左边共有项，项，第第k项是项是 。k k2思思考考？112例例3用数学归纳法证明用数学归纳法证明2021/8/8 星期日153）当）当n=k+1时，命题的形式是时，命题的形式是4）此时，左边增加的项是）此时，左边增加的项是5)从左到右如何变形？从左到右如何变形？2021/8/8 星期日16证明：证明：（1）当）当n=1时，左边时，左边121，右边，右边等式成立。等式成立。（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，就是时，等式
10、成立，就是那么那么用数学归纳法证明用数学归纳法证明2021/8/8 星期日17这就是说，当这就是说，当n=k+1时等式也成立。时等式也成立。根据（根据（1）和（）和（2），可知等式对任何），可知等式对任何nN都成立。都成立。2021/8/8 星期日181.用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式 1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，时，当当n1时，左边所得项是时，左边所得项是 ；当当n2时，左边所得项是时，左边所得项是 ；1+2+31+2+3+4+5A、1B、1+aC、1+a+a2D、1+a+a2+a3C课堂练习：课堂练习：2021/8/8 星期日192021/8/8 星期日2
11、02021/8/8 星期日211.1.数学归纳法是一种证明与数学归纳法是一种证明与正整数正整数有关的数有关的数学命题的重要方法学命题的重要方法.主要有主要有两个步骤一个结论两个步骤一个结论:【归纳奠基】【归纳奠基】（1）证明当）证明当n取第一个值取第一个值n0（如（如 n0=1或或2等）时等）时结论正确结论正确（2）假设）假设n=k时结论正确，证明时结论正确，证明n=k+1时结论时结论也正确也正确（3）由（）由（1）、（）、（2）得出结论）得出结论【归纳递推】【归纳递推】找准起点找准起点奠基要稳奠基要稳用上假设用上假设递推才真递推才真写明结论写明结论才算完整才算完整课后小结：课后小结：2021/8/8 星期日22作业：作业：P96 A组组 2 B组组 1 2021/8/8 星期日232021/8/8 星期日24