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1、 函数及其性质函数及其性质2021/8/9 星期一1知识要点知识要点一、映射与函数一、映射与函数1.1.映射映射 设设A A，B B是是两两个个集集合合，如如果果按按照照某某种种对对应应法法则则f f，对对于于集集合合A A中中的的每每一一个个元元素素，在在集集合合B B中中都都有有惟惟一一的的元元素素和和它它对对应应，那那么么这这样样的的单单值值对对应应叫叫做做集集合合A A到到集集合合B B的的映映射射，记记作作f:ABf:AB.给给 定定 一一 个个 集集 合合 A A到到 B B的的 映映 射射，如如 果果aA,bB.aA,bB.且且元元素素a a和和元元素素b b对对应应，那那么么，
2、我我们们把把元元素素b b叫叫做做元元素素a a的的象象，元元素素a a叫叫做做元元素素b b的的原象原象2021/8/9 星期一22.2.函数函数一一般般地地，设设A A、B B是是两两个个非非空空的的数数集集，如如果果按按某某种种对对应应法法则则f f ,对对于于集集合合A A中中的的每每一一个个元元素素，在在集集合合B B中中都都有有唯唯一一的的元元素素y y和和它它对对 应应,这这 样样 的的 对对 应应 叫叫 做做 从从 A A到到 B B的的 一一 个个 函函 数数,通通常常记记为为y=f(x),xAy=f(x),xA .A.A称称为为函函数数的的定定义义域域,y,y的集合的集合C
3、 B C B 称为函数的称为函数的值域值域.即即函函数数是是由由一一个个非非空空数数集集到到另另一一个个非非空数集的映射空数集的映射.定定义义域域、对对应应法法则则是是函函数数的的两两大大要要素素,值值域域是是由由定定义义域域和和对对应应法法则则所所确确定定的的第第三三要素要素.对应法则是函数的核心。对应法则是函数的核心。2021/8/9 星期一33.3.函数的图象函数的图象 C C (1)定义定义：在平面直角坐标系中，：在平面直角坐标系中，以以函函数数 y=f(x),(xA)A)中中的的x为为横横坐坐标标，函函数数值值y为为纵纵坐坐标标的的点点P(x，y)的的集集合合C，叫叫做做函函数数 y
4、=f(x),(x A)A)的图象的图象 C上上每每一一点点的的坐坐标标(x，y)均均满满足足函函数数关关系系y=f(x)，反反过过来来，以以满满足足y=f(x)的的每每一一组组有有序序实数对实数对x、y为坐标的点为坐标的点(x，y)，均在均在C上上.即即C=P(x,y)|y=f(x),xA A C 一一般般的的是是一一条条光光滑滑的的连连续续曲曲线线(或或直直线线),也也可可能能是是由由与与任任意意平平行行与与Y轴轴的的直直线线最最多多只只有有一个交点的若干条曲一个交点的若干条曲线线或离散点或离散点组组成成.2021/8/9 星期一4 (2)画法画法 1、描点法描点法；根据函数解析式和定义域，
5、求出根据函数解析式和定义域，求出x,y的的一些对应值并列表，以一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标为坐标在坐标系内描出相应的点系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的，最后用平滑的曲线将这些点连接起来曲线将这些点连接起来.利用这种方法作图时，要与研究函数利用这种方法作图时，要与研究函数的性质结合起来的性质结合起来 进行，以简化过程进行，以简化过程.2、图象变换法图象变换法（三角函数讲）（三角函数讲）常用变换方法有三种，常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换即平移变换、伸缩变换和对称变换 2021/8/9 星期一5(3)作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法
6、分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。2021/8/9 星期一64.函数的表示法：函数的表示法：解析法：便于算出函数值解析法：便于算出函数值 列表法：便于查出函数值列表法：便于查出函数值 图象法：便于量出函数值图象法：便于量出函数值 2021/8/9 星期一75、分段函数、分段函数（见课本（见课本P31例例3）在定义域的不同部分上有不同的解析表在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。必须把自变量代入相应的表达式。6、复合函数、复合函数（见课本（见课本P29思考。运用）思考。运用）如果如果
7、y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),M),u=g(x),(xA),且且g(x)M,g(x)M,则则 y=fg(x)=F(x)y=fg(x)=F(x)，(xA)(xA)称为称为f f、g g的复合函数。的复合函数。2021/8/9 星期一8二、函数的定义域二、函数的定义域1.能使函数式有意义的实数能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的的集合称为函数的(自然）定义域自然）定义域.2.求函数的定义域时列不等式组的主要求函数的定义域时列不等式组的主要依据依据是：是：(1)分式的分母不等于零；分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真
8、数必须大于零；对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合 而成的而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义那么，它的定义域是使各部分都有意义 的的x的值组成的集合的值组成的集合.(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题 有意义有意义.3、求出不等式组的解集即为函数的定义域。、求出不等式组的解集即为函数的定义域。2021/8/9 星期一9三、函数的值域与最值三、函数的值域与最值1、函数的值域取决于定义域和对
9、应法则，、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域考虑其定义域.2.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础解复杂函数值域的基础.3.求函数值域的常用方法有：直接法、反求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等法、判别式法、单调性法等.2021/8/9 星期一104、函数的最值2021/8/9 星期一11四、函数的解析表
10、达式1.1.函函数数的的解解析析式式是是函函数数的的一一种种表表示示方方法法，要要求求两两个个变变量量之之间间的的函函数数关关系系时时，一一是是要要求求出出它它们们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.2.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数时，可用待定系数法；已知复合函数fg(x)的表的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时
11、，也可用凑配法；若已知当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出出f(x)2021/8/9 星期一12五五.函数的单调性函数的单调性 1、定义、定义:设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为 A：区间区间I A，如如果果对对于于区区间间I上上的的任任意意两两个个自自变变量量的的值值x1,x2，当当x1x2时时，都都有有f(x1)f(x2)，那那么么就就说说f(x)在在区区间间 I上是上是增函数增函数.区间区间I称为称为y=f(x)的单调增区间的单调增区间;如果对于区间如果对于区间I上的任意两个自变量的值上
12、的任意两个自变量的值x1,x2，当当x1x2时时，都都有有f(x1)f(x2)，那那么么就就说说f(x)在在这这个个区间上是区间上是减函数减函数.区间区间I称为称为y=f(x)的单调减区间的单调减区间.函函数数是是增增函函数数还还是是减减函函数数.是是对对定定义义域域内内某某个个区区间间而而言言的的.有有的的函函数数在在一一些些区区间间上上是是增增函函数数，而而在在另另一一些些区区间间上上可可能能是是减减函函数数，因因此此函函数数的的单单调调性性是函数的是函数的局部性质局部性质.2021/8/9 星期一132.图象的特点图象的特点如如果果函函数数y=f(x)在在某某个个区区间间是是增增函函数数
13、或或减减函函数数，那那么么就就说说函函数数y=f(x)在在这这一一区区间间上上具具有有(严严格格的的)单单调调性性，在在单单调调区区间间上上增增函函数数的的图图象象从从左左到到右右是上升的，减函数的是上升的，减函数的图图象象从左到右从左到右是下降的是下降的.3.判定方法判定方法(1)定义法定义法：1)取取值值：对对任意任意x1,x2I M，且且x1x2；2)作差：作差：f(x1)-f(x2)；3)变变形形:把差化把差化为为乘乘积积或平方和的形式或平方和的形式4)判定差的正判定差的正负负；5)根据判定的根据判定的结结果作出相果作出相应应的的结论结论.(2)图象法图象法2021/8/9 星期一14
14、(3)(3)复合函数的单调性复合函数的单调性 复复合合函函数数fg(x)的的单单调调性性与与构构成成它它的的函函数数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：的单调性密切相关，其规律如下：函数函数 单调性单调性 u=g(x)增增增增减减 减减 y=f(u)增增减减增增减减y=fg(x)增增减减减减增增注注意意：1、函函数数的的单单调调区区间间只只能能是是其其定定义义域域的的子子区区间间,不不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.2、以后将学习简单易行的导数法、以后将学习简单易行的导数法.2021/8/9 星期一151、定、定义义:如如果果对
15、对于于函函数数f(x)定定义义域域内内任任意意一一个个x，都都有有f(-x)=f(x)，那么函数那么函数f(x)就叫做就叫做偶函数偶函数.如如果果对对于于函函数数f(x)定定义义域域内内任任意意一一个个x，都都有有f(-x)=-f(x)，那么函数那么函数f(x)就叫做就叫做奇函数奇函数 如如果果函函数数f(x)是是奇奇函函数数或或偶偶函函数数，那那么么我我们们就就说说函数函数f(x)具有奇偶性具有奇偶性.奇奇偶偶性性是是函函数数的的整整体体性性质质,函函数数可可能能没没有有奇偶性奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数也可能既是奇函数又是偶函数.六六.函数的奇偶性函数的奇偶性2021/8/9 星期一
16、16(3)利用定理，或借助函数的利用定理，或借助函数的图图象判定象判定.2 2、图象特点、图象特点偶函数偶函数的图象关于的图象关于Y Y 轴轴对称对称奇函数奇函数的图象关于的图象关于原点原点对称对称3.3.判定方法判定方法 函函数数定定义义域域关关于于原原点点对对称称是是函函数数具具有有奇奇偶偶性的性的必要条件必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，若对称，(1)再根据定义判定再根据定义判定;(2)有有时时判判定定f(-x)=f(x)比比较较困困难难，可可考考虑虑根根据据是是否有否有f(-
17、x)f(x)=0或或f(x)/f(-x)=1来判定来判定;2021/8/9 星期一17七、函数的周期性（三角函数讲）八、函数的其他性质（详见讲义函数的性质与函数图象的特点）九、反函数（课本P69链接）十、函数的应用2021/8/9 星期一181.1.函数思想函数思想 就就是是要要用用运运动动和和变变化化的的观观点点，分分析析和和研研究究具具体体问问题题中中的的数数量量关关系系，通通过过函函数数的的形形式式，把把这这种种数数量量关关系系表表示示出出来来并并加加以以研研究究，从从而而使使问问题题获获得得解解决决.函函数数思思想想是是对对函函数数概概念念的的本本质质认认识识.用用于于指指导导解解题题
18、就就是是善善于于利用函数知利用函数知识识或函数或函数观观点点观观察察处处理理问题问题.十、函数的应用(课本P8295)2021/8/9 星期一192.方程思想方程思想 就是在解决数学就是在解决数学问题时问题时，先，先设设定一些未知数，定一些未知数，然后把它然后把它们们当成已知数，根据当成已知数，根据题设题设各量之各量之间间的的制制约约关系，列出方程，求得未知数；或如果关系，列出方程，求得未知数；或如果变变量量间间的数量关系是用解析式的形式的数量关系是用解析式的形式(函数形式函数形式)表示出来的，那么可把解析式看作是一个方程，表示出来的，那么可把解析式看作是一个方程，通通过过解方程或解方程或对对
19、方程的研究，使方程的研究，使问题问题得到解决，得到解决，这这便是方程的思想便是方程的思想.方程思想是方程思想是对对方程概念的本方程概念的本质认识质认识，用于指，用于指导导解解题题就是善于利用方程知就是善于利用方程知识识或方程或方程观观点点观观察察处处理理问题问题.2021/8/9 星期一20 函数思想与方程思想是密切相关的函数思想与方程思想是密切相关的.如函数问题如函数问题(例如：求反函数；求函数的例如：求反函数；求函数的值域等值域等)可以转化为方程问题来解决；可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解方程问题也可以转化为函数问题加以解决决.如解方程如解方程f(x)0，就是求
20、函数就是求函数yf(x)的零点；的零点；解不等式解不等式f(x)0(或或f(x)0)，就是求函数就是求函数 yf(x)的正负区间的正负区间.2021/8/9 星期一213.3.解答数学应用题的解答数学应用题的关键关键有两点：有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变数，设定变元后，就要二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表寻找它们之间的内在
21、联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解解.一般的解题程序是：一般的解题程序是：读题读题 建模建模 求解求解 反馈反馈(文字语言文字语言)(数学语言数学语言)(数学应用数学应用)(检验作答检验作答)2021/8/9 星期一22 与与函函数数有有关关的的应应用用题题，经经常常涉涉及及物物价价、路路程程、产产值值、环环保保等等实实际际问问题题，也也可可涉涉及及角角度度、面面积积、体体积积、造造价价的的最最优优化化问问题题.解解答答这这类类问问题题
22、的的关关键键是是确确切切建建立立相相关关函函数数解解析析式式，然然后后应应用用函函数数、方程和不等式的有关知识加以综合解答方程和不等式的有关知识加以综合解答.常见的函数模型有一次函数，二次函数，常见的函数模型有一次函数，二次函数，对勾函数（对勾函数（y yax+b/xax+b/x）、指数函数、对数函数、）、指数函数、对数函数、三角函数模型等等三角函数模型等等.2021/8/9 星期一231.1.设设集集合合A=A=a,ba,b,B=,B=0,10,1，试试列列出出映映射射f:ABf:AB的所有可能的的所有可能的对应对应法法则则f.f.练习题练习题2021/8/9 星期一24【解解题题指指导导】虽虽然我然我们们没有研究没有研究过过函函数数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的的图图象象和和性性质质，但但通通过过图图象象提提供供的的信信息息，运运用用函函数数与与方方程程的的思思想想方方法法还还是能是能够够正确地解答此正确地解答此题题.2、设设f(x)=ax3+bx2+cx+d 的的图图象如下象如下图图，.根据函数根据函数图图象象说说明函数明函数具有那些性具有那些性质质并回答并回答 b属于属于()(A)(-，0)(B)(0，1)(C)(1，2)(D)(2，+）2021/8/9 星期一252021/8/9 星期一26