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1、4.5 4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切两角和与差的正弦、余弦和正切要点梳理要点梳理1.cos1.cos（-）=cos=cos cos cos+sin+sin sin sin(C(C-)cos(cos(+)=)=(C(C+)sin(sin(-)=sin)=sin cos cos-cos-cos sin sin(S(S-)sin(sin(+)=(S)=(S+)cos cos cos cos-sin-sin sin sin sin sin cos cos+cos+cos sin sin 基础知识基础知识 自主学习自主学习前面前面4 4个公式对任意的个公式对任意的，都成立，而后面两个都成立，而后
2、面两个公式成立的条件是公式成立的条件是 (T(T+需满足需满足),),(T(T-需满足需满足)k kZ Z时成立，否则是不成立的时成立，否则是不成立的.当当tan tan、tan tan 或或tantan（）的值不存在时，）的值不存在时，不能使用公式不能使用公式T T,处理有关问题，应改用诱导处理有关问题，应改用诱导公式或其它方法来解公式或其它方法来解.2.2.要辩证地看待和角与差角，根据需要，可以进要辩证地看待和角与差角，根据需要，可以进 行适当的变换：行适当的变换：=(=(+)-)-,=(=(-)+，2 2=（+）+（-），），2 2=（+）-（-）等等）等等.3.3.二倍角公式二倍角公式
3、 sin 2 sin 2=;cos 2 cos 2=;tan 2 tan 2=.2sin 2sin cos cos coscos2 2-sin-sin2 22cos2cos2 2-1-11-2sin1-2sin2 24.4.在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用 公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用 等等.如如T T可变形为：可变形为：tan tan tan tan=,tan tan tan tan=5.5.函数函数f f（）=a acos cos+b bsin sin(a a,b b为常数为常数)，可以，可
4、以 化为化为f f（）=或或f f（）=，其中，其中可由可由a a，b b的值唯一的值唯一 确定确定.tan(tan()(1)(1tan tan tan tan)=.基础自测基础自测1.cos 431.cos 43cos 77cos 77+sin 43+sin 43cos 167cos 167的值为的值为 （）A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 原式原式=cos 43=cos 43cos(90cos(90-13-13)+sin 43 +sin 43cos(180cos(180-13-13)=cos 43 =cos 43sin 13sin 13-sin 43-sin 43cos 13cos
5、 13 =sin(13 =sin(13-43-43)=-sin 30)=-sin 30=B2.2.()()解析解析 由已知可得由已知可得C3.3.（20092009陕西）陕西）若若3sin 3sin+cos+cos=0,=0,则则 的值为（的值为（）A.B.C.D.-2 A.B.C.D.-2 解析解析 3sin 3sin+cos+cos=0,=0,则则AB题型一题型一 三角函数式的化简、求值三角函数式的化简、求值 题型分类题型分类 深度剖析深度剖析解解 （1 1）原式）原式 （1 1）三角函数式的化简要遵循）三角函数式的化简要遵循“三看三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征原则，一看角
6、，二看名，三看式子结构与特征.（2 2）对于给角求值问题，往往所给角都是非特）对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：殊角，解决这类问题的基本思路有：化为特殊角的三角函数值；化为特殊角的三角函数值；化为正、负相消的项，消去求值；化为正、负相消的项，消去求值；化分子、分母出现公约数进行约分求值化分子、分母出现公约数进行约分求值.知能迁移知能迁移1 1 解解题型二题型二 三角函数的给值求值三角函数的给值求值 解解 角的变换角的变换：转化为同角、特殊角、已：转化为同角、特殊角、已知角或它们的和、差、两倍、一半等；如知角或它们的和、差、两倍、一半等；如=(=(+)-)-=(
7、=(-)+)+,2,2=(=(+)+)+(-)等；等；函数变换：弦切互化，化异名为同名函数变换：弦切互化，化异名为同名.综合运用和、差、倍角与平方关系时注意角的范综合运用和、差、倍角与平方关系时注意角的范围对函数值的影响围对函数值的影响.当出现互余、互补关系，利用当出现互余、互补关系，利用诱导公式转化诱导公式转化.解析解析A知能迁移知能迁移2 2 已知已知()()题型三题型三 三角函数的给值求角三角函数的给值求角 已知已知tan(tan(-)=,tan)=,tan=,=,且且,(0,),(0,),求求2 2-的值的值.解解2 2-=+(+(-)(-,0).)(-,0).tan(2tan(2-)
8、=tan)=tan+(+(-)(1)(1)通过求角的某种三角函数值来求通过求角的某种三角函数值来求角角,在选取函数时在选取函数时,遵照以下原则遵照以下原则:已知正切函数已知正切函数值值,选正切函数选正切函数;已知正、余弦函数值，选正弦已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是或余弦函数；若角的范围是 ，选正、余弦，选正、余弦皆可；若角的范围是（皆可；若角的范围是（0 0，），选余弦较好；），选余弦较好；若角的范围为若角的范围为 ，选正弦较好，选正弦较好.（2 2）解这类问题的一般步骤为：）解这类问题的一般步骤为：求角的某一个三角函数值；求角的某一个三角函数值；确定角的范围；确定角的范围
9、；根据角的范围写出所求的角根据角的范围写出所求的角.知能迁移知能迁移3 3 已知已知(1)(1)求求sin sin 的值；的值；(2)(2)求求的值的值.解解题型四题型四 三角函数的综合应用三角函数的综合应用 （1212分）已知分）已知、为锐角，向量为锐角，向量a a=(cos (cos,sin,sin),),b b=(cos=(cos,sin,sin ),),c c (1)(1)若若a ab b=,=,a ac c=,=,求角求角2 2-的值的值;(2)(2)若若a a=b b+c c，求，求tan tan 的值的值.（1 1）由）由 及及a a,b b,c c的坐标，可求出关于的坐标，可求
10、出关于、的三角函数值，进的三角函数值，进 而求出角而求出角.（2 2）由）由a a=b b+c c可求出关于可求出关于、的三角恒等式，的三角恒等式，利用方程的思想解决问题利用方程的思想解决问题.解解 （1 1）a ab b=（cos cos，sin sin）（cos cos，sin sin）=cos=cos cos cos+sin+sin sin sin 2 2分分4 4分分6 6分分8 8分分1010分分 （1 1）已知三角函数值求角，一定要）已知三角函数值求角，一定要注意角的范围注意角的范围.（2 2）求有关角的三角函数问题，有时构造等式，）求有关角的三角函数问题，有时构造等式，用方程的思
11、想解决更简单、实用用方程的思想解决更简单、实用.1212分分知能迁移知能迁移4 4（20092009广东）广东）已知向量已知向量a a=(sin=(sin,-2),-2)与与b b=(1,cos=(1,cos)互相垂直互相垂直,其中其中 (1)(1)求求sin sin 和和cos cos 的值的值;解解方法与技巧方法与技巧1.1.巧用公式变形：巧用公式变形：和差角公式变形：和差角公式变形：tan tan x xtan tan y y=tan(=tan(x xy y)(1 (1tan tan x xtan tan y y););倍角公式变形倍角公式变形:降幂公式降幂公式 配方变形：配方变形：思想
12、方法思想方法 感悟提高感悟提高2.2.利用辅助角公式求最值、单调区间、周期利用辅助角公式求最值、单调区间、周期.y y=a asin sin+b bcos cos=(+)()(其其 中中tan tan=)=)有有:3.3.重视三角函数的重视三角函数的“三变三变”：“三变三变”是指是指“变变 角、变名、变式角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽；变角为：对角的分拆要尽 可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能 减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可 能有理化、整式化、降低次数等能有理化、整式化、降低次数等.在解决
13、求值、在解决求值、化简、证明问题时化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、一般是观察角度、函数名、所求（或所证明）问题的整体形式中的差异，所求（或所证明）问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形再选择适当的三角公式恒等变形.4.4.已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值 的技巧：把已知条件的和角进行加减或的技巧：把已知条件的和角进行加减或2 2倍角后倍角后 再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函就可以从此入手，给这个等式两边求某一函 数值，可使所求的复杂问题简
14、化！数值，可使所求的复杂问题简化！5.5.熟悉三角公式的整体结构，灵活变换熟悉三角公式的整体结构，灵活变换.本节要重本节要重 视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构,更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会 公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公 式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用 倍角公式及其变形倍角公式及其变形.失误与防范失误与防范1.1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注 意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次 的灵活运用，要注意的灵活运用，要注意“1 1”的各种变通的各种变通.2.2.在在(0,)(0,)范围内，范围内，sin(sin(+)=)=所对应的所对应的 角角+不是唯一的不是唯一的.3.3.在三角求值时，往往要估计角的范围后求值在三角求值时，往往要估计角的范围后求值.返回返回