两角和与差的正弦、余弦和正切.ppt

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1、4.5 4.5 两角和两角和与与差的差的正正弦弦、余、余弦和弦和正正切切要点梳理要点梳理1.cos1.cos（-）=cos=cos cos cos+sin+sin sin sin(C(C-)cos(cos(+)=)=(C(C+)sin(sin(-)=sin)=sin cos cos-cos-cos sin sin(S(S-)sin(sin(+)=(S)=(S+)cos cos cos cos-sin-sin sin sin sin sin cos cos+cos+cos sin sin 基础基础知识知识 自主自主学习学习前面前面4 4个公式对任意的个公式对任意的，都成立，而后面两个都成立，而后

2、面两个公式成立的条件是公式成立的条件是 (T (T+需满足需满足),),(T(T-需满足需满足)k kZ Z时成立，否则是不成立的时成立，否则是不成立的.当当tan tan、tan tan 或或tantan（）的值不存在时，）的值不存在时，不能使用公式不能使用公式T T,处理有关问题，应改用诱导处理有关问题，应改用诱导公式或其它方法来解公式或其它方法来解.2.2.要辩证地看待和角与差角，根据需要，可以进要辩证地看待和角与差角，根据需要，可以进 行适当的变换：行适当的变换：=(=(+)-)-,=(=(-)+，2 2=（+）+（-），），2 2=（+）-（-）等等）等等.3.3.二倍角公式二倍角公

3、式 sin 2 sin 2=;cos 2 cos 2=;tan 2 tan 2=.2sin 2sin cos cos coscos2 2-sin-sin2 22cos2cos2 2-1-11-2sin1-2sin2 24.4.在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用 公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用 等等.如如T T可变形为：可变形为：tan tan tan tan=,tan tan tan tan=5.5.函数函数f f（）=a acos cos+b bsin sin(a a,b b为常数为常数)，可以，

4、可以 化为化为f f（）=或或f f（）=，其中，其中可由可由a a，b b的值唯一的值唯一 确定确定.tan(tan()(1)(1tan tan tan tan)=.基础自测基础自测1.cos 43cos 77+sin 43cos 1671.cos 43cos 77+sin 43cos 167的值为的值为 （）A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 原式原式=cos 43cos(90-13)=cos 43cos(90-13)+sin 43cos(180-13)+sin 43cos(180-13)=cos 43sin 13-sin 43cos 13 =cos 43sin 13-sin 43c

5、os 13 =sin(13-43)=-sin 30=sin(13-43)=-sin 30=B2.2.()()解析解析 由已知可得由已知可得C3.3.（20092009陕西理，陕西理，5 5）若若3sin 3sin+cos+cos=0,=0,则则 的值为（的值为（）A.B.C.D.-2 A.B.C.D.-2 解析解析 3sin 3sin+cos+cos=0,=0,则则A4.4.已知已知tan(tan(+)=3)=3，tan(tan(-)=5)=5，则，则tan 2tan 2 等于（等于（）A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 tan 2tan 2=tan=tan(+)+()+(-)D5.5.

6、（20092009上海理，上海理，6 6）函数函数y y=2cos=2cos2 2x x+sin 2+sin 2x x的最的最 小值是小值是 .解析解析 y y=2cos=2cos2 2x x+sin 2+sin 2x x=1+cos 2=1+cos 2x x+sin 2+sin 2x x y y最小值最小值=1-.=1-.题型一题型一 三角函数式的化简、求值三角函数式的化简、求值 (1)(1)从把角从把角变为变为 入入手手,合理合理使用使用 公公式式.(2)(2)应用应用公公式式把非把非1010角角转转化为化为1010的角的角,切切 化弦化弦.题题型分类型分类 深度深度剖剖析析解解 （1 1

7、）原式）原式 （1 1）三角函数）三角函数式式的化简的化简要遵要遵循循“三三看看”原则原则，一看一看角，二角，二看看名，三名，三看式子看式子结构结构与特征与特征.（2 2）对）对于于给角求给角求值值问问题题，往往所给角都，往往所给角都是是非非特特殊殊角，解决角，解决这这类问类问题题的基本的基本思思路路有有：化为化为特殊特殊角的三角函数角的三角函数值值；化为化为正、正、负相消的项，消负相消的项，消去去求求值值；化分化分子、子、分母出现公分母出现公约 约数进行数进行约 约分求分求值值.知能迁移知能迁移1 1 解解题型二题型二 三角函数的给值求值三角函数的给值求值 角的变换：所求角分拆成角的变换：所

8、求角分拆成已知已知角的角的 和和、差差、倍角等，倍角等，综综合合上上述公述公式式及及平平方关系方关系.解解 角的变换角的变换：转转化为同角化为同角、特殊、特殊角角、已、已知知角或它们的和角或它们的和、差差、两倍两倍、一、一半等；半等；如如=(=(+)-)-=(=(-)+)+,2,2=(=(+)+)+(-)等；等；函数变换：弦切互化，化函数变换：弦切互化，化异 异名为同名名为同名.综综合合运用运用和和、差差、倍角倍角与平与平方关系方关系时注意时注意角的范角的范围对函数围对函数值值的的影影响响.当出现互当出现互余、余、互补关系，利互补关系，利用用诱诱导公导公式转式转化化.知能迁移知能迁移2 2 已

9、知已知()()解析解析答案答案 A题型三题型三 三角函数的给值求角三角函数的给值求角 已知已知tan(tan(-)=,tan)=,tan=,=,且且,(0,),(0,),求求2 2-的值的值.对角对角2 2-拆分为拆分为+(+(-););拆拆 分为分为(-)+)+,先求先求tan tan,再 再求求tan(2tan(2-).).解解2 2-=+(+(-)(-,0).)(-,0).tan(2tan(2-)=tan)=tan+(+(-)(1)(1)通过求角的通过求角的某种某种三角函数三角函数值值来求来求角角,在选取在选取函数函数时时,遵照以遵照以下下原则原则:已知正已知正切函数切函数值值,选正选正

10、切函数切函数;已知正、余已知正、余弦函数弦函数值值，选正选正弦弦或或余余弦函数；若角的范围弦函数；若角的范围是是 ，选正、余选正、余弦弦皆皆可可；若角的范围；若角的范围是是（0 0，），），选余选余弦较好；弦较好；若角的范围为若角的范围为 ，选正选正弦较好弦较好.（2 2）解）解这这类问类问题题的的一一般步般步骤骤为：为：求角的求角的某一某一个三角函数个三角函数值值；确确定角的范围；定角的范围；根据角的范围写出所求的角根据角的范围写出所求的角.知能迁移知能迁移3 3 已知已知(1)(1)求求sin sin 的值；的值；(2)(2)求求的值的值.解解题型四题型四 三角函数的综合应用三角函数的综合

11、应用 （1212分）已知分）已知、为锐角，向量为锐角，向量a a=(cos (cos,sin,sin),),b b=(cos=(cos,sin,sin ),),c c (1)(1)若若a ab b=,=,a ac c=,=,求角求角2 2-的值的值;(2)(2)若若a a=b b+c c，求，求tan tan 的值的值.（1 1）由由 及及a a,b b,c c的的坐坐标，标，可可求出关求出关于于、的三角函数的三角函数值值，进，进 而求出角而求出角.（2 2）由由a a=b b+c c可可求出关求出关于于、的三角恒等的三角恒等式式，利利用用方程的方程的思思想解决问想解决问题题.解解 （1 1）

12、a ab b=（cos cos，sin sin）（cos cos，sin sin）=cos=cos cos cos+sin+sin sin sin 2 2分分4 4分分6 6分分8 8分分1010分分 （1 1）已知已知三角函数三角函数值值求角，求角，一一定定要要注意注意角的范围角的范围.（2 2）求）求有有关角的三角函数问关角的三角函数问题题，有时有时构构造 造等等式式，用用方程的方程的思思想解决更简单想解决更简单、实用、实用.1212分分知能迁移知能迁移4 4（20092009广东理，广东理，1616）已知向量已知向量a a=(sin (sin,-2),-2)与与b b=(1,cos=(1

13、,cos)互相垂直互相垂直,其中其中 (1)(1)求求sin sin 和和cos cos 的值的值;解解方法与技巧方法与技巧1.1.巧用公式变形：巧用公式变形：和差角公式变形：和差角公式变形：tan tan x xtan tan y y=tan(=tan(x xy y)(1 (1tan tan x xtan tan y y););倍角公式变形倍角公式变形:降幂公式降幂公式 配方变形：配方变形：思思想方法想方法 感悟感悟提提高高2.2.利用辅助角公式求最值、单调区间、周期利用辅助角公式求最值、单调区间、周期.y y=a asin sin+b bcos cos=(+)()(其其 中中tan tan

14、=)=)有有:3.3.重视三角函数的重视三角函数的“三变三变”：“三变三变”是指是指“变变 角、变名、变式角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽；变角为：对角的分拆要尽 可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能 减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可 能有理化、整式化、降低次数等能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、在解决求值、化简、证明问题时化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、一般是观察角度、函数名、所求（或所证明）问题的整体形式中的差异，所求（或所证明）问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式

15、恒等变形再选择适当的三角公式恒等变形.4.4.已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值 的技巧：把已知条件的和角进行加减或的技巧：把已知条件的和角进行加减或2 2倍角后倍角后 再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函就可以从此入手，给这个等式两边求某一函 数值，可使所求的复杂问题简化！数值，可使所求的复杂问题简化！5.5.熟悉三角公式的整体结构，灵活变换熟悉三角公式的整体结构，灵活变换.本节要重本节要重 视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构视公式的推导，既要熟悉三角公式的代

16、数结构,更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会 公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公 式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用 倍角公式及其变形倍角公式及其变形.失误与防范失误与防范1.1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注 意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次 的灵活运用，要注意的灵活运用，要注意“1”“1”的各种变通的各种变通.2.2.在在(0,)(0,)范围内，范围内，sin

17、(sin(+)=)=所对应的所对应的 角角+不是唯一的不是唯一的.3.3.在三角求值时，往往要估计角的范围后求值在三角求值时，往往要估计角的范围后求值.一、选择题一、选择题1.sin 45cos 15+cos 225sin 151.sin 45cos 15+cos 225sin 15的值的值 为为 （）A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 原式原式=sin 45cos 15-cos 45=sin 45cos 15-cos 45 sin 15 sin 15C定定时时检测检测2.2.（）解析解析B3.3.（）解析解析A4.4.已知向量已知向量()()解析解析B5.5.（）解析解析A6.6.在在

18、ABCABC中中,角角C C=120,tan=120,tan A A+tan+tan B B=，则，则 tan tan A Atan tan B B的值为的值为 ()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 tan(tan(A A+B B)=-tan)=-tan C C=-tan 120=,=-tan 120=,B二、填空题二、填空题7.7.解析解析 8.8.解析解析2 29.9.已知已知 .解析解析三、解答题三、解答题10.10.化简：化简：解解11.11.已知函数已知函数 (1)(1)求求f f(x x)的周期和单调递增区间；的周期和单调递增区间；(2)(2)若关于若关于x x的方程的

19、方程f f(x x)-)-m m=2=2在在 上有解上有解,求实数求实数m m的取值范围的取值范围.解解12.12.已知向量已知向量a a=(3sin=(3sin,cos,cos),),b b=(2sin=(2sin,5sin 5sin-4cos-4cos),),(1)(1)求求tan tan 的值；的值；解解 （1 1）a ab b，a ab b=0.=0.而而a a=(3sin=(3sin,cos,cos),),b b=(2sin=(2sin,5sin,5sin-4cos-4cos),),故故a ab b=6sin=6sin2 2+5sin+5sin cos cos-4cos-4cos2 2=0.=0.由于由于cos cos 0,6tan0,6tan2 2+5tan+5tan-4=0.-4=0.且且a ab b.返回返回