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1、第五章 大数定律和中心极限定理(简介)第一节 大数定律定义5.1(依概率收敛)（教材p145）设 是一个随机变量序列，是随机变量或常数。若对任何 0，都有就称 依概率收敛于，记为 。P定义5.2(以概率1收敛、几乎处处收敛)若P()=1，则称 以概率1收敛于，或称几乎处处收敛于，记为 。a.s.PP定理5.1 设 g(x，y)在(a，b)处连续，则P定义5.3(依分布收敛)设 和的分布函数分别为 和F(x)，若则称 弱收敛于F(x)，记为 。称 依分布收敛于，记为 。WL定理5.2(几种收敛之间的关系)1.若 ，则 。2.设为常数，则 当且仅当 。3.若 ，则 。PLa.s.PPL定义5.4(
2、独立随机变量序列)设 是一个随机变量序列，若对任何n，序列中前n个随机变量 都相互独立，则称 为独立随机变量序列(简称 相互独立)。定理5.3(切比雪夫大数定律)（教材p144）设 相互独立，且令P定理5.4(辛钦大数定律)（教材p147）设 相互独立，且服从相同分布，令P说明：1.辛钦大数定律中“服从相同分布”仅是指分布类型相同。2.这两个大数定律实质上是指出：n个满足某种条件的相互独立随机变量的算术平均近似于一个常数。定理5.5 (贝努利大数定律)（教材p146）设A在n重贝努利试验中发生 次，p=P(A)，则对任何0，有说明：贝努利大数定律是说，当n很大时，故可用事件发生的频率近似代替事
3、件发生的概率。例1(2003年数学三考研试题填空题)设总体X服从参数为2的指数分布，为来自总体X的简单随机样本，则当n时，依概率收敛于 。第二节 中心极限定理定理5.6(列维-林德贝格中心极限定理 Levy-Lindeberg)(独立同分布中心极限定理)（教材p147）设随机变量 相互独立且服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：则随机变量 即 的分布函数 对任何x满足L推论(德莫佛-拉普拉斯中心极限定理)（教材p150）设 B(n，p)(0p105的近似值解E(Vk)=5,D(Vk)=100/12 (k=1,2,20).近似服从正态分布N(0,1),由莱维中心极限定理例3 对敌人的防御地段
4、进行100次炮击,在每次炮击中,炮弹命中颗数的数学期望为2,均方差为1.5,求在100次炮击中,有180颗到220颗炮弹命中目标的概率.解 设Xk为第k次炮击炮弹命中的颗数(k=1,2,100),在100次炮击中炮弹命中的总颗数Xk相互独立，且E(Xk)=2,D(Xk)=1.52 (k=1,2,100)由莱维中心极限定理有180颗到220颗炮弹命中目标的概率例例4 某工厂有某工厂有200台同类型的机器台同类型的机器,每台机器工作时需每台机器工作时需要的电功率为要的电功率为Q千瓦千瓦,由于工艺等原因由于工艺等原因,每台机器的实每台机器的实际工作时间只占全部工作的际工作时间只占全部工作的75%,各台机器工作是相互各台机器工作是相互独立的独立的,求求:(1)(1)任一时刻有任一时刻有144至至160台机器正在工作的概率台机器正在工作的概率.(2)(2)需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不少于概率不少于0.99.解(1)设随机变量X表示200台任一时刻正在工作的机器的台数，则 X B(200,0.75).由棣莫佛拉普拉斯中心极限定理,有(1)任一时刻有144至160台机器正在工作的概率.查标准正态函数分布表，得(2)设任一时刻正在工作的机器的台数不超过设任一时刻正在工作的机器的台数不超过m,则则