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1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（1 1）第一讲第一讲第一讲第一讲 集合与映射集合与映射集合与映射集合与映射授课教师：易学军第一章 集合与函数本章学习要求：正确理解函数概念，能熟练求出函数的定义域。掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的 分析表示和图形特征。正确理解初等函数、复合函数概念，能正确将复 合函数进行分解。会求函数（包括分段函数）的反函数。了解“取整函数”和“符号函数”。能对常见的实际问题进行分析，建立函数关系。第一节 集合与映射一、集合的基本概念二、集合的基本运算三、映射的基本概念四、实数、区间、邻域康托尔将集合定义为：所谓集合是把我们直观和思维中确定
2、的、相互间有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一个整体来考虑的结果。1.集合一、集合的基本概念2.集合的表示法(1)列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用 (2)花括号括上。表示集合的方法有两种:注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得 重复出现。（唯一，互异，无序）3.子集、集合相等规定：空集是不含任何元素的集合，记为。空集是任何一个集合的子集：4.有限集、无限集：含有有限个元素的集合称为有限集；含有无限个元素的集合成为无限集。二、集合的基本运算在wen图中，用矩形表示全集。1.集合运算的概念一般说来,AB交换律 结合律分配律对偶律2.集合的运算性质幂等律吸收律1.实数
3、集与数轴实数集为有理数集与无理数集的并.实数具有稠密性和连续性.aR，必 n Z，使 n a n+1.实数与数轴上的点一一对应.三、实数、区间、邻域2.绝对值、距离任一实数 a 的绝对值|a|定义为：数轴上任意两点 a，b 之间的距离为 d=|a b|。3.区间(1)闭区间 a,b=x|a x b ab(2)开区间 (a,b)=x|a x b ab。()(a,b=x|a x b (称为左开右闭区间)a,b)=x|a x a,(,b=x|x b,(,b)=x|x b,(,+)=x|x +=x|xR a(+)a,+)(5)区间长度有限区间的长度=右端点值左端点值 不论是闭区间、开区间、半开闭区间，
4、其长度计算均按此式进行。所有无穷区间的长度=+U(x0,)=x|x x0|0 x0+()x0 x04.邻 域(x0,)=x|0|x x0|0 x0+()x0 x0点 的某邻域，记为 U(x0).点 的某去心邻域，记为 (x0).点 x0=3 的 =0.1 邻域为点 x0=3 的去心 =0.1 邻域为例例1 1四、映射的基本概念1.映射注意：注意：1)映射是集合间的一种对应关系.集合 X、Y中所含的元素不一定是数，可以是其它的一些对象(或事物)。2)对每一个x X，只有唯一的一个y Y 值与之对应关系不一定就是映射。对应，这一点很重要，它说明集合间元素的3)映射的定义不排除几个不同的 x 值与同
5、一个y 值对应。RfXYfy2x1x2x3y1.设 f 为集 X 到集 Y 的一个映射。如果 x X，存在唯一的 y=f(x)Y 与之对应；反过来,若 y Y,存在唯一的 x X 使得 y=f(x),则称 f 是 X 到 Y 的一一对应。2.一一对应第二、三节 函 数一、函数的基本概念二、函数的基本性质三、基本初等函数 四、初等函数一、函数的基本概念1.函数的定义2.函数的表示法解 析 法表 格 法图 示 法 自己看书！3.求函数定义域举例 数学分析的主要研究对象是函数，确定函数的定义域是一件十分重要的事情。通常依据：分式的分母不能为零；负数不能开偶次方；已知的一些函数的定义域；物理意义；几何
6、意义等来确定函数的定义域。例例1 1例例2 2求的定义域。将 x 表示为:函数y=x =“整数”称为取整函数，它是一个分段函数。例例3 3“整数”+“正的小数”或“零”想想取整函数的图形是什么样子？例例4 4 定义域与对应规则均相同的两个函数相同。如何判断两个函数是否相同?4.判断函数相同例例6 65.函数的图形称为函数 f(x)的图形。在平面上建立直角坐标系O x y，则 x y 平面上的点集是否所有的函数均可绘出几何图形？例例7 7狄利克雷函数就不能作出几何图形.Dirichlet18051859 狄利克雷是德国数学家，他以出色的数学才能，以及在数论、分析和数学物理方程等领域的杰出成果，成
7、为继高斯之后与雅可比齐名的德国数学界的核心人物之一。单调性有界性奇偶性周期性二、函数的基本性质1.单调性 在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间 I 上单调增加,记为 。在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间 I 上单调减少,记为 。函数的单调性是一个局部性的性质,它与所讨论的区间I 有关.画画图就一目了然.例例9 9我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。2.有界性 有界性 有上界 有下界 有 界设函数 y=f(x)在区间 I 上有定义。若存在实数 A,B,使对一切 x I 恒有A f(x)B则称函数 y=f(x)在区间 I 上有界。否则,称函数 y=f(x)在区
8、间 I 上无界。函数有界性的定义函数有界性的定义y=f(x)xxyyAABBOOy=f(x)函数有界示意图函数有界示意图 函数 y=f(x)在区间 I 上有界你能理解吗?成立，则称函数 y =f(x)在区间 I 上是上方有界的,简称有上界。设函数 y=f(x)在区间I 上有定义。若存在实数 M (可正，可负)，对一切 x I 恒有y=f(x)f(x)M f(x)m在区间 I 上是下方有界的,简称有下界。设函数 y=f(x)在区间 I 上有定义。若存在实数 m (可正，可负),对一切 x I 恒有 成立，则称函数 y =f(x)y=f(x)函数 y=f(x)有界f(x)既有上界又有下界.在区间
9、I 上:xyABO无穷多个下界，所有下界中最大者称为函数在区在区间 I 上有下界，则必有若函数 间 I 上的下确界，记为无穷多个上界，所有上界中最小者称为函数在区在区间 I 上有上界，则必有若函数间 I 上的上确界，记为有上有上(下下)界的函数是否必有上界的函数是否必有上(下下)确界？确界？可以证明可以证明：有上有上(下下)界的函数必有上界的函数必有上(下下)确界确界.如何证明或判断函数无界？提一个问题：证明或判断无界，通常依据:函数 y=f(x)在区间 I 上无界，则不论 M 0 的值取得多么大，总使得|f(x0)|M 成立。易知：例例1010解解在其定义域内是无界的。故函数在任何一个有限区
10、间内有界。3.奇偶性若 x Df,有f(x)=f(x)成立，则称 f(x)为偶函数。偶函数的图形 关于 y 轴对称。若 x Df,有f(x)=f(x)成立，则称 f(x)为奇函数。奇函数的图形 关于坐标原点对称。设函数设函数 y=f(x)的定义域的定义域 Df 关于坐标原点对称。关于坐标原点对称。三、基本初等函数大家在中学就已熟悉它们了！以下六种简单函数称为基本初等函数1.常值函数 y=C (C 为常数)2.幂函数 y=x (R 为常数)3.指数函数 y=a x (a 0,a 1)4.对数函数 y=loga x (a 0,a 1)5.三角函数 y=sin x y=cos x y=tan x y
11、=cot x y=sec x y=csc x 6.反三角函数 y=arcsin x y=arccosx y=arctan x y=arccot x y=arcsec x y=arccsc x详详 情情 见见 书书 四、复合函数、反函数？如何描述1 1.复合函数设有映射及的每一个 x 所对应的 u 值，都属于 f(u)的定义域 Df，如果对于映射的定义域(或定义域的一部分)中那么，将代入消去 u 后,就有其中，u 称为中间变量。与称之为函数复合而成的复合函数。由函数可构成复合函数函数复合后一般应重新验证它的定义域例例1313函数复合而成?它是由以下几个函数复合而成:例例1414解解复合函数分解到
12、什么时候为止？以上过程称为 对复合函数的分解 分解到基本初等函数或基本初等函数的四则运算为止.是一一对应(即映射 f 是一一对应),称 f 的 f 的反函数.只有在一一对应的前提下才能有反函数.与互为反函数.2。反函数的定义反函数的定义例例1616反函数的图形 将函数 y=f(x)的反函数写成 x=f 1(y)时，函数与其反函数的图形相同.将函数 y=f(x)的反函数记为 y=f 1(x)时，函数 y=f(x)与其反函数 y=f 1(x)的图形关于第、象限的角平分线 y=x 对称。反函数的图形例例1616得由由得由得解解综上所述，所求反函数为故所求反函数为求分段函数的反函数是：先求出各段上函数的反函数，然后综合起来，得出原分段函数的反函数。增加的.定理减少减少五、初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算而成的函数,称为初等函数。例如 都是初等函数.一般说来,分段函数不是初等函数.但有个别分段函数例外，例如因为它可以改写为初等函数的形式.幂指函数是否为初等函数？该幂指函数是一个初等函数.例例1818六、双曲函数反双曲函数 学习双曲函数时,注意与中学学习过的三角函数进行比较,找出它们之间有关定义及计算公式的相同处和不同处。双曲函数双曲正弦双曲余弦双曲正切双曲余切双曲正割双曲余割作业：P171.7.8；P261（3），4(4),5(4)，9（4）