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1、第六节 微分法在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线三、小结设空间曲线的方程设空间曲线的方程一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.割线割线 的方向向量为的方向向量为:或者或者对应于对应于考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程割线割线 的方程为的方程为:曲线在曲线在M处的切线的方向向量为处的切线的方向向量为切线方程为切线方程为法平面：过法平面：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.例例1 求曲线求曲线在在(1,1,1)点处的切线点处的切线及及法平面方程。法平面方程。解解 故切线
2、方程为故切线方程为法平面方程法平面方程解解切线方程切线方程例例2 法平面方程法平面方程给出曲线的参数方程求切线及法平面方给出曲线的参数方程求切线及法平面方程的步骤：程的步骤：（1）给出参数值求出对应的点；给出）给出参数值求出对应的点；给出点的坐标求出对应的参数。点的坐标求出对应的参数。（2）求切向量；）求切向量；（3）写出切线及法平面方程。）写出切线及法平面方程。1.空间曲线方程为空间曲线方程为法平面方程为法平面方程为特殊地特殊地：2.空间曲线方程为空间曲线方程为切线方程为切线方程为法平面方程为法平面方程为所求切线方程为所求切线方程为法平面方程为法平面方程为设曲面方程为设曲面方程为曲线在曲线在
3、M0处的切向量处的切向量在曲面上任取一条在曲面上任取一条通过点通过点M M0 0的曲线的曲线二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线则则令令切平面方程为切平面方程为则则两边关于两边关于求导数并取求导数并取 得得 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量向量.法线方程为法线方程为曲面在曲面在M0处的法向量即处的法向量即特殊地：空间曲面方程为特殊地：空间曲面方程为曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为令令切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量因为曲面在因为曲面在M0处的切平面方程为处的切平面方程为其
4、中其中解解切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为解解令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程解解 设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,切平面方程为切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，所求切点为所求切点为满足曲面方程满足曲面方程切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)所以所以空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线（当空间曲线方程为一般式时，（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）求切向量注意采用推导法）（求法向量的方向余弦时注意符号）（求法向量的方向余弦时注意符号）三、小结三、小结思考题思考题思考题解答思考题解答设切点设切点依题意知切向量为依题意知切向量为切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程练练 习习 题题练习题答案练习题答案