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1、多面体欧拉定理的发现研究性学习课题研究性学习课题二、多面体欧拉公式的发现二、多面体欧拉公式的发现问题问题1：观察以下五个多面体的顶点数：观察以下五个多面体的顶点数V、面数面数F、棱数棱数E各是多少？它们之间有没有什么关系？各是多少？它们之间有没有什么关系？二、多面体欧拉公式的发现二、多面体欧拉公式的发现问题问题2：是否所有的多面体的顶点数：是否所有的多面体的顶点数V、面数面数F和棱数和棱数E都满都满足足V+F-E=2？我们再看看下面的我们再看看下面的3个多面体，它们的顶点数个多面体，它们的顶点数V、面数面数F和棱数和棱数E又是多少？又是多少？二、多面体欧拉公式的发现二、多面体欧拉公式的发现问题
2、问题3：什么样的多面体的顶点数：什么样的多面体的顶点数V、面数面数F和棱数和棱数E满足满足V+F-E=2？像这样的连续变形中，表像这样的连续变形中，表面可以变成一个球面的多面可以变成一个球面的多面体叫做面体叫做简单多面体简单多面体。球面球面环面环面两个对接的球面两个对接的球面二、多面体欧拉公式的发现二、多面体欧拉公式的发现问题问题4：如何证明欧拉公式？：如何证明欧拉公式？V+F-E=2V+F-E=2简单多面体的欧拉公式：简单多面体的欧拉公式：证明思路一 利用多边形的内角利用多边形的内角 和公式进行证明和公式进行证明.1.将多面体转化为由多边形组成的平面图形将多面体转化为由多边形组成的平面图形2
3、.变形中的不变量：变形中的不变量：左图中多面体某个面是左图中多面体某个面是n边形，右图中相应的多边形仍为边形，右图中相应的多边形仍为n边形边形问题问题4：如何证明欧拉公式？：如何证明欧拉公式？图1图23.计算多边形的计算多边形的内角和内角和(1)(1)设图设图1 1中多面体的中多面体的F F个面分别是个面分别是n n1 1，n n2 2，.，n nF F边形，各面的边形，各面的 内角总和是多少？内角总和是多少？(3)(3)设图设图2 2中最大的多边形（即多边形中最大的多边形（即多边形ABCDEABCDE）是是m m边形，则它边形，则它的内角和是多少？的内角和是多少？(2)n(2)n1 1+n+
4、n2 2+.+n+.+nF F和多面体的棱数和多面体的棱数E E有什么关系？说出理由有什么关系？说出理由.上上述内角和是否等于（述内角和是否等于（E-F)?E-F)?它的内部包含的其他多边形的顶点数（不同多边形的公它的内部包含的其他多边形的顶点数（不同多边形的公共顶点只计一次）是多少？共顶点只计一次）是多少？所有其他多边形的内角和是多少？所有其他多边形的内角和是多少？n n1 1+n+n2 2+.+n+.+nF F=2E=2E(m-2)(m-2)180180。V-mV-m(V-m)(V-m)360+(360+(m-2)180 m-2)180 。等于等于(n(n1 1+n+n2 2+.+n+.+
5、nF F-2F)-2F)180180。(n(n1 1-2)-2)180 180+(n+(n2 2-2)-2)180 180+.+(n+.+(nF F-2)-2)180=180=。图1图23.计算多边形的计算多边形的内角和内角和(4)(4)图图2 2中全体多边形的内角和是多少？它是否等于中全体多边形的内角和是多少？它是否等于(V-2)V-2)用这个关系式能导出欧拉公式吗？用这个关系式能导出欧拉公式吗？之间什么关系？说出理由，利之间什么关系？说出理由，利(5)(5)(E-F)E-F)与与(V-2)V-2)(V-m)(V-m)360+2(360+2(m-2)180=(V-2)360m-2)180=(
6、V-2)360 。(E-F)360=E-F)360=(V-2)360V-2)360 。V+F-E=2(3)(3)设图设图2 2中最大的多边形（即多边形中最大的多边形（即多边形ABCDEABCDE）是是m m边形，边形，则所有其他多边形的内角和是多少？则所有其他多边形的内角和是多少？(V-m)(V-m)360+(360+(m-2)180 m-2)180 。证明思路二 利用拓扑变换的利用拓扑变换的 方法进行证明方法进行证明.4.总结多面体欧拉公式的发现过程总结多面体欧拉公式的发现过程（1）从具体的实物提出问题，多面体的顶点数）从具体的实物提出问题，多面体的顶点数V、面数面数F、棱数棱数E之间有什么
7、关系？之间有什么关系？（2）从简单的几个多面体去猜测他们的关系。）从简单的几个多面体去猜测他们的关系。（3）尝试证明猜测的结论。）尝试证明猜测的结论。这体现了发现数学定理的一种重要的思路，问题来源于我们这体现了发现数学定理的一种重要的思路，问题来源于我们的现实生活，结论可以先猜再证。的现实生活，结论可以先猜再证。三、多面体欧拉公式的应用三、多面体欧拉公式的应用（1）19961996年的诺贝尔化学奖授予对发现年的诺贝尔化学奖授予对发现C C6060有重要贡献的三位科有重要贡献的三位科学家。学家。C C6060是由是由6060个个C C原子组成的分子，它的结构为简单多面体原子组成的分子，它的结构为
8、简单多面体形状。这个多面体有形状。这个多面体有6060个顶点，从每个顶点都引出个顶点，从每个顶点都引出3 3条棱，各个条棱，各个面的形状分为五边形或六边形两种（如图）。计算面的形状分为五边形或六边形两种（如图）。计算C C6060分子中形分子中形状为五边形和六边形的面各是多少？状为五边形和六边形的面各是多少？解：设解：设C60分子中形状为五边形和六分子中形状为五边形和六 边形的面各为边形的面各为x个和个和y个个多面体的顶点数多面体的顶点数V=60,面数面数F=x+y棱数棱数E代入欧拉公式，可得代入欧拉公式，可得另一方面，棱数可以由多边形的边另一方面，棱数可以由多边形的边数来表示，即数来表示，即
9、由以上两个方程可解出由以上两个方程可解出 x=12，y=20答：答：C60分子中形状为五边形和六边分子中形状为五边形和六边 形的面各有形的面各有12个和个和20个。个。四、研究性课题四、研究性课题（1）欧拉公式有几种证明方法）欧拉公式有几种证明方法（2）欧拉公式的用途）欧拉公式的用途（3）欧拉发现欧拉公式的背景及其相关著作）欧拉发现欧拉公式的背景及其相关著作（4）由欧拉公式你能得出什么新的结论）由欧拉公式你能得出什么新的结论（5）研究欧拉）研究欧拉(Leonhard Euler)的一生的一生（包括他的故事、成就等）（包括他的故事、成就等）五、本节要记住的几个结论五、本节要记住的几个结论（1）简单多面体满足欧拉公式）简单多面体满足欧拉公式:V+F-E=2（2）如果一个简单多面体的面都是）如果一个简单多面体的面都是m边形，则边形，则（3）如果一个简单多面体的每个顶点都引出）如果一个简单多面体的每个顶点都引出m条棱，则条棱，则