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1、第五章第五章 机器人的雅可比机器人的雅可比主主 页页 操作臂的雅可比矩阵 定义为它的操作速度与关节速度的线性变换，可以看成是从关节空间向操作空间运动速度的传动比。1、雅可比矩阵的定义、雅可比矩阵的定义第一节第一节5.1 雅可比矩阵的概述雅可比矩阵的概述先看一个例子先看一个例子平面平面2R机械手的运动学方程为：机械手的运动学方程为：求其雅可比矩阵。求其雅可比矩阵。解：解：对运动学方程两端分别对时间t求导，则得：平面平面2R机械手机械手用矢量的方式表达操作臂的运动方程为：两边对时间t求导：式中，称为末端在操作空间的广义速度末端在操作空间的广义速度，简称操作速度；称为关节速度；是6n 的偏导数矩阵，
2、称为操作臂的雅可比矩阵操作臂的雅可比矩阵。第i行表达了关节空间各速度对于操作空间第i方向的速度变换；第j列表达了关节空间第j个关节速度对于操作空间各方向速度变换；第i行第j列元素为表达了关节空间第j个关节速度对于操作空间第i方向的速度变换；对于关节变量 ，雅可比矩阵 是从关节空间速度是从关节空间速度 向向操作空间速度操作空间速度 映射的线性变换映射的线性变换。2、雅可比矩阵的物理解释、雅可比矩阵的物理解释3、雅可比矩阵的性质与应用、雅可比矩阵的性质与应用关节空间速度向操作空间速度的线性变换；关节空间微分运动向操作空间微分运动的线性变换；关节空间与操作空间误差的分析和综合；称为机器人的力雅可比矩
3、阵，表示在静力平衡状态下，操作空间的力向关节空间力的线性映射关系；机器人的奇异形位 机器人的雅可比矩阵依赖于关节矢量q的形位，关节空间的奇异形位定义为：机器人雅可比矩阵不是满秩时的关节矢量q所构成的形位，即满足操作空间中的 点，为工作空间的奇异点工作空间的奇异点。在奇异形位处，机器人丧失一个或多个自由度。机器人的奇异形位分为两类：a.边界奇异形位。b.内部奇异形位。雅可比逆矩阵是机器人操作空间速度向关节空间速度的线性映射关系，即速度反解：雅可比逆矩阵还可以描述操作空间向关节空间误差和微分运动的分析。对于机器人的奇异形位雅可比逆矩阵不存在，速度反解不存在。在奇异点附近，关节速度可能趋近无限大。如
4、图所示，为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以1m/s的速度运动，求相应的关系速度解：解：对于平面2R机械手，逆雅可比可由上例中的J J（q q）的表达式求得：于是得到与末端速度 相应的关节速度反解为：第一节第一节 5.2 雅可比矩阵的构造法雅可比矩阵的构造法1、概述概述2、矢量积的方法矢量积的方法3、微分变换法微分变换法 1、概述、概述 雅可比矩阵 既可当成是从关节空间向操作空间的速度传递的线性关系，也可看成是微分运动转换的线性关系，即(5.19)(5.20)其中:q是关节空间位移矢量 是关节速度矢量 是操作速度矢量 是依赖于q 的雅可比矩阵 第三节第三节 对于n个关节的机器人，其雅可比 是6
5、n 阶矩阵。其中前3行代表对手爪线速度 的传递比；后3行代表对手爪的角速度 的传递比。另一方面，每一列代表相应的关节速度 对于手爪线速度和角速度的传递比。因此，可将雅可比矩阵分块，即于是，手爪的线速度v 和角速度 可表示为各关节速度 的线性函数，式中，和 分别表示关节i的单位关节速度引起手爪的线速度和角速度。第三节第三节 2、矢量积的方法、矢量积的方法 Whitney基于运动坐标系的概念提出求机器人雅可比的矢量积方法。如下图所示，末端手爪的线速度v 和角速度 与关节速度 有关。（1 1）对于移动关节对于移动关节i i，则 （2 2）对于转动关节对于转动关节i i，则 第三节第三节 3、微分变换
6、法、微分变换法 对于转动关节对于转动关节i i，连杆i相对连杆i-1绕坐标系i的轴 作微分转动 ，相当于微分运动矢量 利用式(5.13)得出手爪相应的微分运动矢量为 (5.26)第三节第三节 若关节若关节i i是移动关节是移动关节，连杆i沿 轴相对于连杆i-1作微分移动 ，则相当于微分运动矢量抓手相应的微分运动矢量为 （4.27）第三节第三节由此得出雅可比矩阵 的第i列为 （4.28）第三节第三节 上面求雅可比 的方法是构造性的，只要只要知道各连杆变换知道各连杆变换 ，就可自动生成雅可比，而不，就可自动生成雅可比，而不需求导和解方程等手续需求导和解方程等手续。自动生成步骤为：(1)(1)计算各
7、连杆变换计算各连杆变换 。(2)(2)计算各连杆至末端连杆的变换（见下图）：计算各连杆至末端连杆的变换（见下图）：(3)(3)计算计算 的各列元素，第的各列元素，第i i列列 由由 所决所决定。根据公式定。根据公式(5.28)(5.28)计算计算 和和 。第三节第三节图图5-3 和和 之间的关系之间的关系第三节第三节 5.3 微分运动和广义速度微分运动和广义速度 刚体或坐标系的微分运动刚体或坐标系的微分运动包含微分移动矢量微分移动矢量d d 和微分转动矢量微分转动矢量。前者由沿三个坐标轴的微分移动组成；后者前者由沿三个坐标轴的微分移动组成；后者由绕三坐标轴的微分转动组成由绕三坐标轴的微分转动组
8、成，即 或 (5.6)或 (5.7)将两者合并为6维列矢量D D，称为刚体或坐标刚体或坐标系的微分运动矢量系的微分运动矢量：(5.8)相应地，刚体或坐标系的广义速度刚体或坐标系的广义速度V V 是由线速度是由线速度v v和角速度和角速度组成的组成的6 6维列矢量维列矢量：(5.9)微分运动矢量微分运动矢量D D 和广义速度和广义速度V V也是相对于某也是相对于某坐标系而言的。坐标系而言的。第二节第二节若相对基坐标系基坐标系（或参考系）的微分运动为D D（d d 和 ），则相对坐标系T T，的微分运动 （和 ）为:(5.10)(5.10)(5.11)(5.12)第二节第二节合并式(5.11)和式
9、(5.12)，得出 与D D 的关系为:上式可简写为:式中，R是旋转矩阵，(5.13)(5.14)(5.15)第二节第二节对于任何3维矢量 ，其反对称矩阵 定义为:它具有以下性质它具有以下性质：（1）；（2）；（3）(5.16)第二节第二节相应地，广义速度广义速度V V 的坐标变换为：的坐标变换为：(5.17)任意两坐标系A A和B B之间广义速度的坐标变换为(5.18)第二节第二节 5.4 PUMA560的雅可比的雅可比1、用微分变换法计算用微分变换法计算2、用矢量积方法计算用矢量积方法计算3、两种方法得到的结果之间的关系两种方法得到的结果之间的关系1、用微分变换法计算、用微分变换法计算 第
10、一列 对应的变换矩阵是 ，式(3.14)列出了 的各元素，由式(5.28)得式中，第四节第四节同理得：同理得：第四节第四节第四节第四节 2、用矢量积方法计算、用矢量积方法计算 由于PUMA560的6个关节都是转动关节，因此其雅可比具有下列形式：由由PMUA560PMUA560的各连杆变换矩阵的各连杆变换矩阵,可计算出可计算出:（1 1）和和 ；（2 2）和和 ；（3 3）和和 （4 4）和和 （5 5）的各列：的各列：和和第四节第四节 3、两种方法得到的结果之间的关系、两种方法得到的结果之间的关系上述两种构造方法得出的 和 之间存在以下关系：(5.29)或第四节第四节 5.5 力雅可比力雅可比
11、 机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力f f 和力矩n n，统称为末端广义（操作）末端广义（操作）力矢量力矢量。记为 (5.30)在静止状态下，广义操作矢量F F 应与各关节的驱动力（或力矩）相平衡。n n个关节的驱动力（或力矩）组成的n维矢量 (5.31)称为关节力矢量关节力矢量。利用虚功原理，各关节所作的功 与末端执行器所作的虚功 应该相等（总的虚功为零），即将式(5.20)代入上式(5.32)可得出式中，称为操作臂的力雅可比操作臂的力雅可比。它表示在静态平衡状态下，操作力向关节力它表示在静态平衡状态下，操作力向关节力映射的线性关系映射的线性关系。(5.32)(5.33)第五节
12、第五节 利用瞬时运动和静力的对偶关系，可以从瞬时运动关系推导出相应的静力关系。由式(5.18)可以导出两坐标系两坐标系 AA和和 BB之间广义操作力的坐之间广义操作力的坐标变换关系标变换关系 (5.34)第五节第五节速度和静力的线性映射速度和静力的线性映射第五节第五节 5.6奇异性和灵巧度奇异性和灵巧度1、雅可比的奇异性雅可比的奇异性2、速度反解速度反解3、雅可比矩阵的奇异值分解雅可比矩阵的奇异值分解4、灵巧性度量指标灵巧性度量指标 1、雅可比的奇异性雅可比的奇异性 操作臂的雅可比依赖于形位 ，关节空间的奇异形位 定义为操作臂 的雅可比的秩不是满秩的这些关节矢量 ，即满足 (5.35)相应的操
13、作空间中的点 为工作空间的工作空间的奇异点奇异点。机器人的奇异形位分为两类：机器人的奇异形位分为两类：（1 1）边界奇异形位。）边界奇异形位。（2 2）内部奇异形位。）内部奇异形位。第六节第六节 2、速度反解速度反解 机器人在执行某一特定任务时，所需抓手独立运动参数的数目m 随任务的性质而异，最多为6，有些则小于6。独立运动参数的数目即为操作空间的维数m。（1 1）当当m mn n，且且 是满秩时，机器人具有冗是满秩时，机器人具有冗余自由度，冗余度定义为余自由度，冗余度定义为dimdim（N N（J J）；）；（2 2）当当m=nm=n，且且 是满秩的，称为满自由度；是满秩的，称为满自由度；（
14、3 3）当当m mn n，机器人是欠自由度的。机器人是欠自由度的。第六节第六节 对于满自由度的机器人满自由度的机器人，是方阵，一般情况下，可以反解出相应的关节速度。其速度反解为 对于冗余度机器人冗余度机器人，其雅可比的列数多于行数，即nm。当 是满秩的时，冗余度为速度反解不唯一，其通解可表示为第六节第六节 冗余度机器人对于避免碰撞，避开冗余度机器人对于避免碰撞，避开奇异状态，增加操作臂的灵巧性，改善动态奇异状态，增加操作臂的灵巧性，改善动态性能会带来好处。性能会带来好处。第六节第六节 3、雅可比矩阵的奇异值分解、雅可比矩阵的奇异值分解 根据矩阵的奇异值分解理论，对操作臂在任意形位的雅可比 进行
15、奇异值分解，即式中，；，为正交矩阵对角阵与雅可比矩阵 具有相同的秩第六节第六节 当 r m 时，的形式为式中，是最大奇异值，是最小奇异值。第六节第六节 4、灵巧性度量指标灵巧性度量指标1、条件数条件数2、最小奇异值最小奇异值3、运动灵巧性指标运动灵巧性指标4、可操作性（可操作度）可操作性（可操作度）第六节第六节 5.7误差标定与补偿误差标定与补偿 通常将参数误差分为两类：a.关节变量误差，关节变量误差，b.固定参数误差。固定参数误差。“小误差模型小误差模型”是指连杆变换的微小误差连杆变换的微小误差（包括位置误差和方位误差）可由连杆参数的微（包括位置误差和方位误差）可由连杆参数的微小偏差进行建模
16、小偏差进行建模。对于标定而言，可以只测量参考点的直角坐标位置，也可同时测量参考点的位置和方位。连杆参数误差标定算法如下：连杆参数误差标定算法如下：（1）初始化，将连杆参数值调至名义值；初始化，将连杆参数值调至名义值；（2）计算微分移动计算微分移动d（和微分转动和微分转动 ）及相应的矩阵）及相应的矩阵 ，根据名义值和测量的位置（和方位）数据，得到观测方程，根据名义值和测量的位置（和方位）数据，得到观测方程组；组；（3）用最小二乘法解不相容的观测方程组，得运动参数用最小二乘法解不相容的观测方程组，得运动参数误差估计误差估计 x；（4）根据连杆误差向量根据连杆误差向量 x的各分量，修改连杆参数值的各
17、分量，修改连杆参数值 （5）转向（转向（2），直至所得的连杆误差向量），直至所得的连杆误差向量x的各分量都的各分量都小于某一最小值；小于某一最小值；（6）连连杆杆运运动动参参数数误误差差则则为为其其初初始始名名义义值值与与最最后后所所得得到到的值之差。的值之差。第七节第七节微分误差变换补偿算法如下：微分误差变换补偿算法如下：（1）利用名义关节解，估计预期位置（利用名义关节解，估计预期位置（）对应的关）对应的关节变量；节变量；（2）对于上面所得的关节变量，考虑到除关节变量误差之对于上面所得的关节变量，考虑到除关节变量误差之外的所有运动误差，计算正确位置（外的所有运动误差，计算正确位置（）；）；（
18、3）计算微分误差变换计算微分误差变换 ；（4）计算名义位置计算名义位置 ；（5）利用使操作臂到达利用使操作臂到达 的的 ，计算名义关节，计算名义关节角解；角解；（6）使臂转动的关节变量值为上步（使臂转动的关节变量值为上步（5）所得之值与标定）所得之值与标定时所得到的关节变量误差之差。时所得到的关节变量误差之差。结结 束束第七节第七节 对于关节空间的某些形位对于关节空间的某些形位 ，操作臂的雅可，操作臂的雅可比矩阵的秩减少，这些形位称为操作臂的奇异形位。比矩阵的秩减少，这些形位称为操作臂的奇异形位。可利用雅可比矩阵的行列式判别奇异形位。可利用雅可比矩阵的行列式判别奇异形位。当2=0或2=180，机械手的雅可比行列式为0，矩阵的秩为1，因而处于奇异状态。从几何上看，机械手完全伸直（2=0），或完全缩回（2=180）时，机械手末端丧失了径向自由度，仅能沿切向运动。在奇异形位时，机械手在操作空在奇异形位时，机械手在操作空间的自由度将减少。间的自由度将减少。第一节第一节5.1 雅可比矩阵的概述雅可比矩阵的概述5.2 微分运动和广义速度微分运动和广义速度5.3 雅可比矩阵的构造法雅可比矩阵的构造法5.4 PUMA560的雅可比的雅可比5.5 力雅可比力雅可比5.6奇异性和灵巧度奇异性和灵巧度5.7误差标定与补偿误差标定与补偿