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1、第一章 常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题提出问题观察下列语句：(1) 三角形的内角和等于 360.(2) 今年校运动会我们班还能得第一吗？ (3)这是一棵大树呀！(4) 实数的平方是正数(5) 能被 4 整除的数一定能被 2 整除问题 1：上述语句哪几个语句能判断真假？ 提示：(1)(4)(5)问题 2：你能判断它们的真假吗？ 提示：能，(5)真，(1)(4)为假导入新知定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句命题真命题：判断为真的语句分类：假命题：判断为假的语句形式：“若p，则q”.其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论化解疑难1. 判断一个语句是命题的两个要素：
2、(1)是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言； (2)可以判断真假2. 命题的条件与结论之间的关系属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可命题的判断例 1判断下列语句是不是命题，并说明理由(1)3是有理数；(2)3x25；(3)梯形是不是平面图形呢？ (4)x2x70.解(1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题 3(2) 因为无法判断“3x25”的真假，所以它不是命题(3) “梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题24(4)因为 x2x7x12270，所以“x2x70”是真的，故是命题类题通法判断语句是不是命题的策略判断一个语句是不是命题，关键是
3、看语句的格式，也就是要看它是否符合“是陈述句” 和“可以判断真假”这两个条件，如果满足这两个条件，该语句就是命题，否则就不是活学活用判断下列语句是否为命题，并说明理由 (1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形； (2)任何集合都是它自己的子集；(3)对顶角相等吗？ (4)x3.解：(1)是陈述句，能判断真假，是命题(2)是陈述句，能判断真假，是命题 (3)不是陈述句，不是命题(4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题.判断命题的真假例 2判断下列命题的真假，并说明理由(1)正方形既是矩形又是菱形； (2)当 x4 时，2x10；(3)若 x3 或 x7，则(x3)(x7)0；(4)一个等比数列的
4、公比大于 1 时，该数列一定为递增数列解(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形(2)是假命题，x4 不满足 2x10.(3)是真命题，x3 或 x7 能得到(x3)(x7)0.1(4)是假命题，因为当等比数列的首项 a 0，公比 q1 时，该数列为递减数列类题通法(1) 真命题的判定方法：命题真假的判定方法真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法(2) 假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法活学活用下列命题中真命题有()m
5、x22x10 是一元二次方程；抛物线 yax22x1 与 x 轴至少有一个交点；互相包含的两个集合相等；空集是任何集合的真子集A1 个B2 个C3 个D4 个解析：选 A中当 m0 时，是一元一次方程；中当 44a0 时，抛物线与 x轴无交点；是正确的；中空集不是本身的真子集命题的结构形式例 3将下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断命题的真假(1) 6 是 12 和 18 的公约数；(2) 当 a1 时，方程 ax22x10 有两个不等实根；(3) 平行四边形的对角线互相平分；(4) 已知 x，y 为非零自然数，当 yx2 时，y4，x2.解(1)若一个数是 6，则它是 12 和 1
6、8 的公约数是真命题(2)若 a1，则方程 ax22x10 有两个不等实根是假命题 (3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分是真命题 (4)已知 x，y 为非零自然数，若 yx2，则 y4，x2.是假命题 类题通法(1) 把一个命题改写成“若 p，则 q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，要将条件写在前面，结论写在后面(2) 若条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一活学活用把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断命题的真假(1)奇数不能被 2 整除；(2)当(a1)2(b1)20 时，ab1； (3
7、)两个相似三角形是全等三角形；(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行解：(1)若一个数是奇数，则它不能被 2 整除是真命题(2)若(a1)2(b1)20，则 ab1.是真命题(3) 若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形是假命题 (4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行是假命题1. 命题条件不明致误典例将命题“已知 a，b 为正数，当 ab 时，有 a2 b2”写成“若 p，则 q”的形式，并指出条件和结论解根据题意，“若 p，则 q”的形式为：已知a，b 为正数，若ab，则 a2 b2.其中条件 p：ab，结论 q： a2 b2.易错防范1. 易误把
8、大前提“已知 a，b 为正数”当作条件，实际上若一个命题有大前提，则应把它写在“若 p，则 q”之前，不能写在条件中2. 任一命题都可以改写成“若 p，则 q”的形式，关键是分清命题的条件和结论，并且把它们补充成语意完整的句子成功破障把命题“已知 a，b 为正数，当 ab 时，有 log2alog2b”写成“若 p，则 q”的形式解：“若 p，则 q”的形式： 已知 a，b 为正数，22若 ab，则 log alog b.随堂即时演练1. 下列命题中是真命题的是() A若 ab0，则 a2b20B. 若 ab，则 acbcC. 若 MNM，则 NMD. 若 MN，则 MNM解析：选 DA 项中
9、，a0，b0 时，a2b20 不成立；B 项中，c0 时不成立；C 项中，MNM 说明 MN.故选项 A、B、C 皆错误2. 对于向量 a，b，c 和实数 ，下列命题中，真命题是() A若 ab0，则 a0 或 b0B. 若 a0，则 0 或 a0C. 若 a2b2，则 ab 或 abD. 若 abac，则 bc解析：选 Bab0，在 a，b 为非零向量时可得 ab；a2b2 可改写为|a|2|b|2，只能得出|a|b|；abac，可移项得 a(bc)，不可两边同除以向量3 命 题 “ 函 数 y 2x 1 是 增 函 数 ” 的 条 件 是 ， 结 论 是 答案：函数为 y2x1该函数是增函
10、数4. 下列命题：若 xy1，则 x，y 互为倒数；二次函数的图象与 x 轴有公共点；平行四边形是梯形；若 a cb c，则 ab.其中真命题是 (写出所有真命题的序号)解析：对于，二次函数图象与 x 轴不一定有公共点；对于，平行四边形不是梯形答案：5. 已知命题 p：x22x21；命题 q：0x4，若命题 p 是真命题，命题 q 是假命题，求实数 x 的取值范围解：由 x22x21，即 x22x30，解得 x1 或 x3.故命题 p：x1 或 x3.又命题 q：0x4，且命题 p 为真，命题 q 为假，x1或x3，则x0或x4，所以 x1 或 x4.故满足条件的实数 x 的取值范围为(，14
11、，)课时达标检测一、选择题1. 下列语句不是命题的有()若 ab，bc，则 ac；x2；34；函数 yax(a0，且 a1)在 R 上是增函数A0 个B1 个C2 个D3 个解析：选 C是可以判断真假的陈述句，是命题；不能判断真假，不是命题2. 下列命题中真命题的个数为()面积相等的三角形是全等三角形；若 xy0，则|x|y|0；若 ab，则 acbc；矩形的对角线互相垂直A1B2C3D4解析：选 A错；中，x3，y0，则 xy0，但|x|y|0，故错；正确； 中，矩形的对角线相等，但不一定互相垂直3. 命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是() A这个四边形的对角线互相平分
12、B这个四边形的对角线互相垂直 C这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D这个四边形是平行四边形解析：选 C命题可改为“若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”4. 已知 a，b 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，且 a，b，则下列命题中，假命题是()A. 若 ab，则 B. 若 ，则 abC. 若 a，b 相交，则 ， 相交D. 若 ， 相交，则 a，b 相交解析：选 D由已知 a，b，若 ， 相交，则 a，b 有可能异面5. 给出命题“方程 x2ax10 没有实数根”，则使该命题为真命题的 a 的一个值可以是()A4B2C0D3解析：选 C方程无实根时，应
13、满足 a240.故 a0 时适合条件二、填空题6. 下列语句中是命题的有 ，其中是真命题的有 (写出序号)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？一个数不是正数就是负数；大边所对的角大于小边所对的角；ABC 中，若AB，则 sin Asin B；求证方程 x2x10 无实根解析：是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；是假命题，0 既不是正数也不是负数；是假命题，没有考虑在同一个三角形内；是真命题；祈使句，不是命题答案： 7. 命题“若 a0，则二元一次不等式 xay10 表示直线 xay10 的右上方区域(包含边界)”的条件 p： ，结论 q： .它是 (填“真”或
14、“假”)命题解析：a0 时，设 a1，把(0,0)代入 xy10 得10 不成立，xy10 表示直线的右上方区域，命题为真命题答案：a0 二元一次不等式 xay10 表示直线 xay10 的右上方区域(包含边界)真8. 若命题“ax22ax30 不成立”是真命题，则实数 a 的取值范围是 解析：ax22ax30 不成立，ax22ax30 恒成立 当 a0 时，30 恒成立；a0， 当 a0 时，则有4a212a0，解得3a0.综上，3a0.答案：3,0 三、解答题9. 把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断真假，且指出 p 和 q 分别指什么(1)乘积为 1 的两个实数互为倒数； (
15、2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行解：(1)若两个实数乘积为 1，则这两个实数互为倒数它是真命题p：两个实数乘积为 1；q：两个实数互为倒数(2) 若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称它是真命题p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称(3) 若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行它是假命题，这两个平面也可能相交p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行10. 已知 A：5x1a，B：x1，请选择适当的实数 a，使得利用 A，B命题“若 p，则 q”为真命题构 造 的解：若视 A 为 p，则命题“若 p，则q”为“若 x1a，则x1”由命题为
16、真命题可 5知1a5 1，解得 a4.若视 B 为 p，则命题“若 p，则 q”为“若 x1，则 x1a1a 5 ”由命题为真命题可知 51，解得 a4.故 a 取任一实数均可利用 A，B 构造出一个真命题，比如这里取a1，则有真命题“若5”x1，则 x21.1.2 & 1.1.3四种命题四种命题间的相互关系四种命题提出问题观察下列四个命题：(1)若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形； (2)若一个四边形是矩形，则其两对角线相等；(3)若一个四边形两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形； (4)若一个四边形不是矩形，则其两对角线不相等问题：命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和
17、结论之间分别有什么关系？提示：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件；对于命题(1)和(3)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的 否定；对于命题(1)和(4)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的 否定导入新知1. 四种命题的概念一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件， 那么把这样的两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题，如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把第一个叫做原命题时
18、，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题2. 四种命题结构化解疑难1. 用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用綈 p 和綈 q 分别表示 p，q 的否定2. 四种命题是相对的，一个命题是什么命题不是固定不变的.四种命题之间的关系提出问题问题：我们同样观察知识点一中的四个命题，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？提示：命题(2)(3)是互为逆否命题，命题(2)(4)是互否命题，命题(3)(4)是互逆命题导入新知1. 四种命题之间的关系2. 四种命题的真假性之间的关系(1) 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2) 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系
19、化解疑难互逆命题、互否命题、互为逆否命题反映的是两个命题之间的相对关系，不具有特指性， 即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种，且唯一.四种命题的概念例 1把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题(1)全等三角形的对应边相等；(2)当 x2 时，x23x20.解(1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等； 逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等； 逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等(2)原命题：若 x2，则 x23x20； 逆命
20、题：若 x23x20，则 x2； 否命题：若 x2，则 x23x20； 逆否命题：若 x23x20，则 x2.类题通法(1) 由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题(2) 如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变活学活用把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断它们的真假：(1) 正数 a 的平方根不等于 0；(2) 平行于同一条直线的两条直线平行解：(1)原命题：若 a 是正数
21、，则 a 的平方根不等于 0.是真命题 逆命题：若 a 的平方根不等于 0，则 a 是正数是假命题否命题：若 a 不是正数，则 a 的平方根等于 0.是假命题逆否命题：若 a 的平方根等于 0，则 a 不是正数是真命题(2)原命题：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行是真命题 逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线是真命题否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行是真命题 逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线是真命题.四种命题真假的判断例 2有下列四个命题：(1) “若 xy0，则 x，y 互为相反数”的否命题；(2) “若 xy，则
22、x2y2”的逆否命题；(3)“若 x3，则 x2x60”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题 其中真命题的个数是()A0B1C2D3解选 B(1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若 x，y 互为相反数，则 xy0”，为真命题；(2) 原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题为假命题(如 x0，y1)，故其逆否命题为假命题；(3) 该命题的否命题为“若 x3，则 x2x60”，很明显为假命题； (4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题类题通法解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同
23、假，故只判断二者中的一个即可活学活用写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假(1) 在ABC 中，若 BCAC，则 AB；(2) 相等的两个角的正弦值相等解：(1)逆命题：在ABC 中，若 AB，则 BCAC.真命题 否命题：在ABC 中，若 BCAC，则 AB.真命题逆否命题：在ABC 中，若 AB，则 BCAC.真命题(2) 逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等假命题否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等假命题 逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等真命题.等价命题的应用例 3求证：已知函数 f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若 f(a)
24、f(b)f( a)f(b)，则 ab0.解证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数 f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若 ab0，则 f(a)f(b)f(a)f(b)”若 ab0，则 ab，ba.又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)即原命题的逆否命题为真命题原命题为真命题法二：假设 ab0，则 ab，ba.又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)f(a)f(b)f(a)f(b)这与已知条件 f(a)f(b)f(a)f(b)相矛盾 因此假设不成立，故 ab0.类题通法由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，
25、所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题活学活用证明：若 m2n22，则 mn2.证明：将“若 m2n22，则 mn2”视为原命题，则它的逆否命题为“若 mn2， 则 m2n22”由于 mn2，则 m2n212122，所以 m2n22(mn)222.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题2.否命题理解中的误区典例将命题“当 a0 时，函数yaxb 是增函数”写成“若 p，则q”的形式，并写出其否命题解“若 p，则 q”的形式：若 a0，则函数 yaxb 是增函数否命题：若 a0，则函数 yaxb 不是增函数易错防范1. “
26、a0”的否定易误为“a0”，“增函数”的否定易误为“减函数”，这是初学 者易犯的错误2. 在写一个命题的否命题、逆否命题时，一定要搞清楚所否定的对象及其所对应的性质，如本题中，实数 a 可能有三种取值，分别为 a0，a0，a0，从而 a0 的否定是 a0.成功破障(山东高考)设 mR，命题“若 m0，则方程 x2xm0 有实根”的逆否命题是() A若方程 x2xm0 有实根，则 m0B. 若方程 x2xm0 有实根，则 m0C. 若方程 x2xm0 没有实根，则 m0D. 若方程 x2xm0 没有实根，则 m0解析：选 D根据逆否命题的定义，命题“若 m0，则方程x2xm0 有实根”的逆否命题
27、是“若方程 x2xm0 没有实根，则 m0”故选 D.随堂即时演练1. 命题“若 aA，则 bB”的否命题是()A若 aA，则 bBC若 bB，则 aAB若 aA，则 bBD若 bB，则 aA解析：选 B命题“若 p，则 q”的否命题是“若綈 p，则綈 q”，“”与“”互为否定形式2. 给出命题：若函数 yf(x)是幂函数，则函数 yf(x)的图象不过第四象限在它的逆命题、否命题、逆否命题 3 个命题中，真命题的个数是()A3B2C1D0解析：选 C原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数 yf(x)的图象不过第四象限，则函数 yf(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原
28、命题的否命题也为假命题因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3 个命题中真命题只有 1 个3. 命题“若 x1，则 x0”的逆命题是 ，逆否命题是 答案：若 x0，则 x1若 x0，则 x14. 在原命题“若 ABB，则 ABA”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 解析：逆命题为“若 ABA，则 ABB”；否命题为“若 ABB，则 ABA”； 逆否命题为“若 ABA，则 ABB”； 全为真命题答案：45. 已知命题 p：“若 ac0，则二次不等式 ax2bxc0 无解”(1) 写出命题 p 的否命题；(2) 判断命题 p 的否命题的真假解：(1)命题 p 的否命题为：“若 ac0，则
29、二次不等式 ax2bxc0 有解”(2)命题 p 的否命题是真命题 判断如下：因为 ac0，所以ac0b24ac0二次方程 ax2bxc0 有实根ax2bxc0 有解所以该命题是真命题课时达标检测一、选择题1. 命题“若 ab，则|a|b|”的逆命题是() A若 ab，则|a|b|B若 ab，则|a|b| C若|a|b|，则 ab D若|a|b|，则 ab解析：选 D原命题的条件是 ab，把它作为逆命题的结论；原命题的结论是|a|b|， 把它作为逆命题的条件，即得逆命题“若|a|b|，则 ab”2. 命题“若 a3，则 a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为() A1 C3B
30、2 D4解析：选 B命题“若 a3，则 a6”的逆命题为“若 a6，则 a3”，为假命题，则它的否命题“若 a3，则 a6”也必为假命题；它的逆否命题“若 a6， 则 a3”为真命题故真命题的个数为 2.3. 与命题“能被 6 整除的整数，一定能被 3 整除”等价的命题是() A能被 3 整除的整数，一定能被 6 整除B. 不能被 3 整除的整数，一定不能被 6 整除C. 不能被 6 整除的整数，一定不能被 3 整除D. 不能被 6 整除的整数，能被 3 整除解析：选 B即写命题“若一个整数能被 6 整除，则一定能被 3 整除”的逆否命题4. 若命题 p 的否命题为 q，命题 p 的逆否命题为
31、 r，则 q 与 r 的关系是()A. 互 逆 命 题 C互为逆否命题B. 互 否 命 题 D以上都不正确解析：选 A设 p 为“若 A，则 B”，那么 q 为“若綈 A，则綈 B”，r 为“若綈 B，则綈 A”故 q 与 r 为互逆命题5. 下列四个命题：“若 xy0，则 x0，且 y0”的逆否命题；“正方形是矩形”的否命题；“若 ac2bc2，则 ab”的逆命题；若m2，则不等式 x22xm0.其中真命题的个数为( )A0B1C2D3解析：选 B命题的逆否命题是“若 x0，或 y0，则 xy0”，为假命题； 命题的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题； 命题的逆命题是
32、“若 ab，则 ac2bc2”，为假命题；命题为真命题，当 m2 时，方程 x22xm0 的判别式 0，对应二次函数图象开口向上且与 x 轴无交点，所以函数值恒大于 0.二、填空题6命题“若 x1，则 x210”的真假性为 解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若 x210， 则 x1”，因为 x210 时，x1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题答案：假命题7. 已知命题“若 m1xm1，则 1x2”的逆命题为真命题，则 m 的取值范围是 解析：由已知得，若 1x2 成立，则 m1xm1 也成立m11，m12.1m2.答案：1,28. 下列命题中：若一个四边形
33、的四条边不相等，则它不是正方形；若一个四边形对角互补，则它内接于圆；正方形的四条边相等；圆内接四边形对角互补；对角不互补的四边形不内接于圆；若一个四边形的四条边相等，则它是正方形其中互为逆命题的有；互为否命题的有；互为逆否命题的有(填序号)解析：命题可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断答案：和，和和，和和，和三、解答题 9写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假 (1)等高的两个三角形是全等三角形；(2)弦的垂直平分线
34、平分弦所对的弧解：(1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高它是真命题 否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等它是真命题逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高它是假命题(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线它是假命题 否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧它是假命题 逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线它是真命题10判断命题“已知 a，x 为实数，若关于 x 的不等式 x2(2a1)xa220 的解集非空，则 a1”的逆否命题的真假解：原命题的逆否命题为“已知 a，x 为实数，若
35、a1，则关于 x 的不等式 x2(2a1)xa220 的解集为空集”判断其真假如下：抛物线 yx2(2a1)xa22 的图象开口向上，判别式 (2a1)24(a22)4a7.因为 a1，所以 4a70.即抛物线 yx2(2a1)xa22 的图象与 x 轴无交点所以关于 x 的不等式 x2(2a1)xa220 的解集为空集故原命题的逆否命题为真命题1.2充分条件与必要条件充分条件与必要条件提出问题在物理中，我们经常遇到这样的电路图：问题 1：图中 A 开关闭合时 B 灯一定亮吗？ 提示：一定亮问题 2：B 灯亮时 A 开关一定闭合吗？提示：不一定，还可能是 C 开关闭合导入新知命题“若 p，则
36、q”是真命题“若 p，则 q”是假命题真假推出pqpq关系条件关系p 是 q 的充分条件q 是 p 的必要条件p 不是 q 的充分条件q 不是 p 的必要条件充分条件与必要条件化解疑难1p 是 q 的充分条件是指“p 成立可充分保证 q 成立，但是如果没有 p，q 也可能成立”2q 是 p 的必要条件是指“要使 p 成立必须要有 q 成立”，或者说“若 q 不成立，则 p一定不成立”；但即使有 q 成立，p 未必会成立.充要条件提出问题如图是一物理电路图问题 1：图中开关 A 闭合，灯泡 B 亮；反之灯泡 B 亮，开关 A 一定闭合吗？ 提示：一定闭合问题 2：开关 A 闭合作为命题的条件 p
37、，灯泡 B 亮作为命题的结论 q，你能判断 p，q 之间的推出关系吗？提示：pq.导入新知充要条件如果既有 pq，又有 qp，记作 pq.则 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件化解疑难p 是 q 的充要条件时，q 也是 p 的充要条件，即充要条件是相互的，我们也称条件 p 和条件 q 是等价的，如果 p 和 q 是两个命题，则这两个命题是等价命题充分条件、必要条件、充要条件的判断例 1判断下列各题中 p 是 q 的什么条件 (1)在ABC 中，p：sin Asin B，q：AB； (2)p：x1，q：x21；(3)p：(a2)(a3)0，q：a3；b(4)a1.p：ab，q： 解(1)在
38、ABC 中，A(0，)，B(0，)，且 ABC.若 cos2Acos2B，则 AB；反之，若 AB，则cos2Acos2B.因此，p 是 q 的充要条件(2)由 x1 可以推出 x21；由 x21，得 x1，或 x1，不一定有 x1.因此，p 是q 的充分不必要条件(3)由(a2)(a3)0 可以推出 a2，或 a3，不一定有 a3；由 a3 可以得出(a2)(a3)0.因此，p 是 q 的必要不充分条件b(4)由于 ab，当 b0 时，a1；当 b0 时，a1，故若 ab，不一定有a1；bb当 a0，b0，a1 时，可以推出 ab；b当 a0，b0，a1 时，可以推出 ab.b因此 p 是
39、q 的既不充分也不必要条件类题通法充分、必要、充要条件的判断方法判断 p 是 q 的什么条件，其实质是判断“若 p，则 q”及其逆命题“若 q，则 p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p 是 q 的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则 p 是 q 的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p 是 q 的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用活学活用指出下列各组命题中 p 是 q 的什么条件 (1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形； (2)p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0.解：(1)四边形的对角线
40、相等 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形 四边形的对角线相等，p 是 q 的 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 (2)(x1)2(y2)20x1 且 y2(x1)(y2)0， 而(x1)(y2)0 (x1)2(y2)20，p 是 q 的充分不必要条件.充要条件的证明例 2求证：一元二次方程 ax2bxc0 有一正根和一负根的充要条件是 ac0.解(1)必要性：因为方程 ax2bxc0 有一正根和一负根，所以 b24ac0，x x c0(x ，x为方程的两根)，所以 ac0.1 2a12(2)充分性：由 ac0 可推得 b24ac0 及 x x c0(x ，x为方程的两根)所以方程 ax2bxc0 有两个相异实根， 且两根异号，即方程 ax2bxc0 有一正根和一负根1 2a12综上所述，一元二次方程 ax2bxc0 有一正根和一负根的充要条件是 ac0.类题通法充要条件的证明思路(1) 在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明在证明时，要注意：若证明“p 的充要条件是 q”，那么“充分性”是 qp，“必要性”是 pq；若证明“p 是 q 的充要条件”，则与之相反(2) 证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命