《2018-2019学年高中数学讲义选修2-1全册教师用书.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高中数学讲义选修2-1全册教师用书.pdf（329页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第一章第一章 常用逻辑用语常用逻辑用语1.11.1 命题及其关系命题及其关系1 11.11.1命命题题 提出问题提出问题 观察下列语句：观察下列语句：(1)(1)三角形的内角和等于三角形的内角和等于 360360.(2)(2)今年校运动会我们班还能得第一吗？今年校运动会我们班还能得第一吗？(3)(3)这是一棵大树呀！这是一棵大树呀！(4)(4)实数的平方是正数实数的平方是正数(5)(5)能被能被 4 4 整除的数一定能被整除的数一定能被 2 2 整除整除问题问题 1 1：上述语句哪几个语句能判断真假？：上述语句哪几个语句能判断真假？提示：提示：(1)(4)(5)(1)(4)(5)问题问题 2
2、2：你能判断它们的真假吗？：你能判断它们的真假吗？提示：提示：能，能，(5)(5)真，真，(1)(4)(1)(4)为假为假 导入新知导入新知 真命题：判断为真的语句真命题：判断为真的语句命题命题 分类：分类：假命题：判断为假的语句假命题：判断为假的语句 形式：“若形式：“若p p，则，则q q”.其中其中p p叫做命题的条件，叫做命题的条件，q q叫做命题的结论叫做命题的结论定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 化解疑难化解疑难 1 1判断一个语句是命题的两个要素：判断一个语句是命题的两个要素：(1)(1)是陈述句，表达形式可
3、以是符号、表达式或语言；是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；(2)(2)可以判断真假可以判断真假2 2命题的条件与结论之间的关系属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举命题的条件与结论之间的关系属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可出一个反例即可命题的判断命题的判断 例例 1 1 判断下列语句是不是命题，并说明理由判断下列语句是不是命题，并说明理由(1)(1)是有理数；是有理数；3 3(2)3(2)3x x2 25 5；(3)(3)梯形是不是平面图形呢？梯形是不是平面图形呢？(4)(4)x x2 2x x7 70.0.解解(1)(1)“是有理数是有理数”是陈
4、述句，并且它是假的，所以它是命题是陈述句，并且它是假的，所以它是命题3 3(2)(2)因为无法判断因为无法判断“3 3x x2 25 5”的真假，所以它不是命题的真假，所以它不是命题(3)(3)“梯形是不是平面图形呢？梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题是疑问句，所以它不是命题1 12727x x 2 20 0，所以，所以“x x2 2x x7 70 0”是真的，故是命题是真的，故是命题(4)(4)因为因为 x x2 2x x7 7 2 2 4 4 类题通法类题通法 判断语句是不是命题的策略判断语句是不是命题的策略判断一个语句是不是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合判断
5、一个语句是不是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“是陈述句是陈述句”和和“可以判断真假可以判断真假”这两个条件，如果满足这两个条件，该语句就是命题，否则就不是这两个条件，如果满足这两个条件，该语句就是命题，否则就不是 活学活用活学活用 判断下列语句是否为命题，并说明理由判断下列语句是否为命题，并说明理由(1)(1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形；若平面四边形的边都相等，则它是菱形；(2)(2)任何集合都是它自己的子集；任何集合都是它自己的子集；(3)(3)对顶角相等吗？对顶角相等吗？(4)(4)x x3.3.解：解：(1)(1)是陈述句，能判断真假，是命题是陈述句，能判断真假，
6、是命题(2)(2)是陈述句，能判断真假，是命题是陈述句，能判断真假，是命题(3)(3)不是陈述句，不是命题不是陈述句，不是命题(4)(4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题是陈述句，但不能判断真假，不是命题.判断命题的真假判断命题的真假 例例 2 2 判断下列命题的真假，并说明理由判断下列命题的真假，并说明理由(1)(1)正方形既是矩形又是菱形；正方形既是矩形又是菱形；(2)(2)当当 x x4 4 时，时，2 2x x1 10 0；(3)(3)若若 x x3 3 或或 x x7 7，则，则(x x3)(3)(x x7)7)0 0；(4)(4)一个等比数列的公比大于一个等比数列的公比大于 1
7、1 时，该数列一定为递增数列时，该数列一定为递增数列 解解(1)(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形(2)(2)是假命题，是假命题，x x4 4 不满足不满足 2 2x x1 10.0.(3)(3)是真命题，是真命题，x x3 3 或或 x x7 7 能得到能得到(x x3)(3)(x x7)7)0.0.(4)(4)是假命题，因为当等比数列的首项是假命题，因为当等比数列的首项a a1 10 0，公比，公比 q q1 1 时，该数列为递减数列时，该数列为递减数列 类题通法类题通法 命题真假的判定方法命题真假的判定方法(1)(1
8、)真命题的判定方法：真命题的判定方法：真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法推理的一个过程判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法(2)(2)假命题的判定方法：假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法 活学活用活学活用 下列命题中真命题有下列命题中真命题有()mxmx2 22 2x
9、 x1 10 0 是一元二次方程；抛物线是一元二次方程；抛物线 y yaxax2 22 2x x1 1 与与 x x 轴至少有一个交点；轴至少有一个交点；互相包含的两个集合相等；空集是任何集合的真子集互相包含的两个集合相等；空集是任何集合的真子集A A1 1 个个B B2 2 个个C C3 3 个个D D4 4 个个解析：解析：选选 A A中当中当 m m0 0 时，是一元一次方程；中当时，是一元一次方程；中当 4 44 4a a0 0 时，抛物线与时，抛物线与 x x轴无交点；是正确的；中空集不是本身的真子集轴无交点；是正确的；中空集不是本身的真子集命题的结构形式命题的结构形式 例例 3 3
10、 将下列命题改写成“若将下列命题改写成“若 p p，则，则 q q”的形式，并判断命题的真假”的形式，并判断命题的真假(1)6(1)6 是是 1212 和和 1818 的公约数；的公约数；(2)(2)当当 a a1 1 时，方程时，方程 axax2 22 2x x1 10 0 有两个不等实根；有两个不等实根；(3)(3)平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的对角线互相平分；(4)(4)已知已知 x x，y y 为非零自然数，当为非零自然数，当 y yx x2 2 时，时，y y4 4，x x2.2.解解(1)(1)若一个数是若一个数是 6 6，则它是，则它是 1212 和和 1818 的公约
11、数是真命题的公约数是真命题(2)(2)若若 a a1 1，则方程，则方程 axax2 22 2x x1 10 0 有两个不等实根是假命题有两个不等实根是假命题(3)(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分是真命题若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分是真命题(4)(4)已知已知 x x，y y 为非零自然数，若为非零自然数，若 y yx x2 2，则，则 y y4 4，x x2.2.是假命题是假命题 类题通法类题通法(1)(1)把一个命题改写成把一个命题改写成“若若 p p，则，则 q q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，要将条件的形式，首先要确定命题的条件和结论，要将
12、条件写在前面，结论写在后面写在前面，结论写在后面(2)(2)若条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需若条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一 活学活用活学活用 把下列命题改写成“若把下列命题改写成“若 p p，则，则 q q”的形式，并判断命题的真假”的形式，并判断命题的真假(1)(1)奇数不能被奇数不能被 2 2 整除；整除；(2)(2)当当(a a1)1)2 2(b b1)1)2 20 0 时，时，a ab b1 1；(3)(3)两个相似三角形
13、是全等三角形；两个相似三角形是全等三角形；(4)(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行解：解：(1)(1)若一个数是奇数，则它不能被若一个数是奇数，则它不能被2 2 整除是真命题整除是真命题(2)(2)若若(a a1)1)2 2(b b1)1)2 20 0，则，则 a ab b1.1.是真命题是真命题(3)(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形是假命题若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形是假命题(4)(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行是假命题在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两
14、条直线平行是假命题1.1.命题条件不明致误命题条件不明致误 典例典例 将命题“已知将命题“已知 a a，b b 为正数，为正数，当当 a ab b 时，时，有有 a a2 2 b b2 2”写成“若”写成“若 p p，则则 q q”的形”的形式，并指出条件和结论式，并指出条件和结论 解解 根据题意，根据题意，“若若 p p，则，则q q”的形式为：已知的形式为：已知a a，b b 为正数，若为正数，若a ab b，则，则 a a2 2 b b2 2.其中条件其中条件 p p：a ab b，结论，结论 q q：a a2 2 b b2 2.易错防范易错防范 1 1易误把大前提“已知易误把大前提“已
15、知 a a，b b 为正数”当作条件，实际上若一个命题有大前提，则应把为正数”当作条件，实际上若一个命题有大前提，则应把它写在“若它写在“若 p p，则，则 q q”之前，不能写在条件中”之前，不能写在条件中2 2任一命题都可以改写成“若任一命题都可以改写成“若 p p，则，则 q q”的形式，关键是分清命题的条件和结论，并且”的形式，关键是分清命题的条件和结论，并且把它们补充成语意完整的句子把它们补充成语意完整的句子 成功破障成功破障 把命题“已知把命题“已知 a a，b b 为正数，当为正数，当 a ab b 时，有时，有 loglog2 2a aloglog2 2b b”写成“若”写成“
16、若 p p，则，则 q q”的形式”的形式解：解：“若若 p p，则，则 q q”的形式：的形式：已知已知 a a，b b 为正数，为正数，若若 a ab b，则，则 loglog2 2a aloglog2 2b b.随堂即时演练随堂即时演练 1 1下列命题中是真命题的是下列命题中是真命题的是()A A若若 abab0 0，则，则 a a2 2b b2 20 0B B若若 a ab b，则，则 acacbcbcC C若若 MMN NMM，则，则 N NMMD D若若 MMN N，则，则 MMN NMM解析：解析：选选 D DA A 项中项中，a a0 0，b b0 0 时时，a a2 2b b
17、2 20 0 不成立不成立；B B 项中项中，c c0 0 时不成立时不成立；C C项中项中，MMN NMM 说明说明 MMN N.故选项故选项 A A、B B、C C 皆错误皆错误2 2对于向量对于向量 a a，b b，c c 和实数和实数 ，下列命题中，真命题是，下列命题中，真命题是()A A若若 a a b b0 0，则，则 a a0 0 或或 b b0 0B B若若 aa0 0，则，则 0 0 或或 a a0 0C C若若 a a2 2b b2 2，则，则 a ab b 或或 a ab bD D若若 a a b ba a c c，则，则 b bc c解析：解析：选选 B Ba a b
18、b0 0，在在 a a，b b 为非零向量时可得为非零向量时可得 a ab b；a a2 2b b2 2可改写为可改写为|a a|2 2|b b|2 2，只能只能得出得出|a a|b b|；a a b ba a c c，可移项得可移项得 a a(b bc c)，不可两边同除以向量不可两边同除以向量3 3 命命 题题“函函 数数y y 2 2x x 1 1 是是 增增 函函 数数”的的 条条 件件 是是 _，结结 论论 是是_答案：答案：函数为函数为 y y2 2x x1 1该函数是增函数该函数是增函数4 4下列命题：下列命题：若若 xyxy1 1，则，则 x x，y y 互为倒数；互为倒数；二
19、次函数的图象与二次函数的图象与 x x 轴有公共点；轴有公共点；平行四边形是梯形；平行四边形是梯形；若若 a a c cb b c c，则，则 a ab b.其中真命题是其中真命题是_(_(写出所有真命题的序号写出所有真命题的序号)解析：解析：对于，二次函数图象与对于，二次函数图象与x x 轴不一定有公共点；对于，平行四边形不是梯形轴不一定有公共点；对于，平行四边形不是梯形答案：答案：5 5已知命题已知命题 p p：x x2 22 2x x2 21 1；命题命题 q q：0 0 x x4 4，若命题若命题 p p 是真命题，是真命题，命题命题 q q 是假命题，是假命题，求实数求实数 x x
20、的取值范围的取值范围解：解：由由 x x2 22 2x x2 21 1，即，即 x x2 22 2x x3 30 0，解得解得 x x1 1 或或 x x3.3.故命题故命题 p p：x x1 1 或或 x x3.3.又命题又命题 q q：0 0 x x4 4，且命题，且命题 p p 为真，命题为真，命题 q q 为假，为假，x x1 1或或x x3 3，则则 x x0 0或或x x4 4，所以所以 x x1 1 或或 x x4.4.故满足条件的实数故满足条件的实数 x x 的取值范围为的取值范围为(，1144，)课时达标检测课时达标检测 一、选择题一、选择题1 1下列语句不是命题的有下列语句
21、不是命题的有()若若 a ab b，b bc c，则，则 a ac c；x x2 2；3 34 4；函数函数 y ya ax x(a a0 0，且，且 a a1)1)在在 R R 上是增函数上是增函数A A0 0 个个B B1 1 个个C C2 2 个个D D3 3 个个解析：解析：选选 C C是可以判断真假的陈述句，是命题；不能判断真假，不是命题是可以判断真假的陈述句，是命题；不能判断真假，不是命题2 2下列命题中真命题的个数为下列命题中真命题的个数为()面积相等的三角形是全等三角形；面积相等的三角形是全等三角形；若若 xyxy0 0，则，则|x x|y y|0 0；若若 a ab b，则，
22、则 a ac cb bc c；矩形的对角线互相垂直矩形的对角线互相垂直A A1 1B B2 2C C3 3D D4 4解析：解析：选选 A A错；中，错；中，x x3 3，y y0 0，则，则 xyxy0 0，但，但|x x|y y|0 0，故错；正确；，故错；正确；中，矩形的对角线相等，但不一定互相垂直中，矩形的对角线相等，但不一定互相垂直3 3命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是()A A这个四边形的对角线互相平分这个四边形的对角线互相平分B B这个四边形的对角线互相垂直这个四边形的对角线互相垂直C C这个四边形的
23、对角线既互相平分，也互相垂直这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D D这个四边形是平行四边形这个四边形是平行四边形解析：解析：选选 C C命题可改为命题可改为“若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直平分，也互相垂直”4 4已知已知 a a，b b 为两条不同的直线，为两条不同的直线，为两个不同的平面，且为两个不同的平面，且 a a，b b，则下列命，则下列命题中，假命题是题中，假命题是()A A若若 a ab b，则，则 B B若若 ，则，则 a ab bC C若若 a a，b b 相交，则相交，则 ，相交相
24、交D D若若 ，相交，则相交，则 a a，b b 相交相交解析：解析：选选 D D由已知由已知 a a，b b，若，若 ，相交，则相交，则 a a，b b 有可能异面有可能异面5 5给出命题“方程给出命题“方程 x x2 2axax1 10 0 没有实数根”，则使该命题为真命题的没有实数根”，则使该命题为真命题的 a a 的一个值可的一个值可以是以是()A A4 4B B2 2C C0 0D D3 3解析：解析：选选 C C方程无实根时，应满足方程无实根时，应满足 a a2 24 40.0.故故 a a0 0 时适合条件时适合条件二、填空题二、填空题6 6下列语句中是命题的有下列语句中是命题的
25、有_，其中是真命题的有，其中是真命题的有_(写出序号写出序号)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？一个数不是正数就是负数；一个数不是正数就是负数；大边所对的角大于小边所对的角；大边所对的角大于小边所对的角；ABCABC 中，若中，若A AB B，则，则 sinsin A Asinsin B B；求证方程求证方程 x x2 2x x1 10 0 无实根无实根解析：解析：是疑问句，是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；不是命题；是假命题，是假命题，0 0 既不是正数也不是负数；既不
26、是正数也不是负数；是假命题，没有考虑在同一个三角形内；是假命题，没有考虑在同一个三角形内；是真命题；是真命题；祈使句，不是命题祈使句，不是命题答案：答案：7 7命题“若命题“若 a a0 0，则二元一次不等式，则二元一次不等式 x xayay1 10 0 表示直线表示直线 x xayay1 10 0 的右上方区的右上方区域域(包含边界包含边界)”的条件”的条件 p p：_，结论，结论 q q：_._.它是它是_(_(填填“真”或“假”“真”或“假”)命题命题解析：解析：a a0 0 时，设时，设 a a1 1，把，把(0,0)(0,0)代入代入 x xy y1 10 0 得得1 10 0 不成
27、立，不成立，x xy y1 10 0 表示表示直线的右上方区域，直线的右上方区域，命题为真命题命题为真命题答案：答案：a a0 0二元一次不等式二元一次不等式 x xayay1 10 0 表示直线表示直线 x xayay1 10 0 的右上方区域的右上方区域(包含边包含边界界)真真8 8若命题“若命题“axax2 22 2axax3 30 0 不成立”是真命题，则实数不成立”是真命题，则实数 a a 的取值范围是的取值范围是_解析：解析：axax2 22 2axax3 30 0 不成立，不成立，axax2 22 2axax3 30 0 恒成立恒成立当当 a a0 0 时，时，3 30 0 恒成
28、立；恒成立；a a0 0，当当 a a0 0 时，则有时，则有 2 2 4 4a a1212a a0 0，解得解得3 3a a0.0.综上，综上，3 3a a0.0.答案：答案：3,03,0三、解答题三、解答题9 9把下列命题改写成“若把下列命题改写成“若 p p，则，则 q q”的形式，并判断真假，且指出”的形式，并判断真假，且指出 p p 和和 q q 分别指什么分别指什么(1)(1)乘积为乘积为 1 1 的两个实数互为倒数；的两个实数互为倒数；(2)(2)奇函数的图象关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称；(3)(3)与同一直线平行的两个平面平行与同一直线平行的两个平面平行解：解：(1)
29、(1)若两个实数乘积为若两个实数乘积为 1 1，则这两个实数互为倒数它是真命题，则这两个实数互为倒数它是真命题p p：两个实数乘积为：两个实数乘积为 1 1；q q：两个实数互为倒数：两个实数互为倒数(2)(2)若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称它是真命题若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称它是真命题p p：一个函数为奇函数；：一个函数为奇函数；q q：函数的图象关于原点对称：函数的图象关于原点对称(3)(3)若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行它是假命题，这两个平面也可能若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行它是假命题，这两个平面也可能相交相交p p：两个平面与同
30、一条直线平行；：两个平面与同一条直线平行；q q：两个平面平行：两个平面平行1010已知已知 A A：5 5x x1 1a a，B B：x x1 1，请选择适当的实数，请选择适当的实数 a a，使得利用，使得利用 A A，B B命题“若命题“若 p p，则，则 q q”为真命题”为真命题1 1a a解：解：若视若视 A A 为为 p p，则命题，则命题“若若 p p，则，则q q”为为“若若 x x，则，则x x1 1”由命题为真命题可由命题为真命题可5 5知知1 1a a1 1，解得，解得 a a4.4.5 51 1a a1 1a a若视若视 B B 为为 p p，则命题则命题“若若 p p
31、，则则 q q”为为“若若 x x1 1，则则 x x”由命题为真命题可知由命题为真命题可知5 55 5构构 造造 的的1 1，解得，解得 a a4.4.故故 a a 取任一实数均可利用取任一实数均可利用A A，B B 构造出一个真命题，比如这里取构造出一个真命题，比如这里取a a1 1，则有真命题，则有真命题“若若2 2x x1 1，则，则 x x”5 51 11.2&1.1.31.2&1.1.3四种命题四种命题四种命题间的相互关系四种命题间的相互关系四种命题四种命题 提出问题提出问题 观察下列四个命题：观察下列四个命题：(1)(1)若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形；若一个四
32、边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形；(2)(2)若一个四边形是矩形，则其两对角线相等；若一个四边形是矩形，则其两对角线相等；(3)(3)若一个四边形两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形；若一个四边形两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形；(4)(4)若一个四边形不是矩形，则其两对角线不相等若一个四边形不是矩形，则其两对角线不相等问题：命题问题：命题(1)(1)与命题与命题(2)(3)(4)(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？的条件和结论之间分别有什么关系？提示：提示：命题命题(1)(1)的条件是命题的条件是命题(2)(2)的结论，且命题的结论，且命题(1)(1)的结论是命
33、题的结论是命题(2)(2)的条件；的条件；对于命题对于命题(1)(1)和和(3)(3)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；否定；对于命题对于命题(1)(1)和和(4)(4)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定否定 导入新知导入新知 1 1四种命题的概念四种命题的概念一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，
34、那么把这样的两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么那么把这样的两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题，如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样把这样的两个命题叫做互否命题，如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题，的两个命题叫做互为逆否命题，把第一个叫做原命题时，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题否命题、逆否命题2 2四种命题结构四种命题结构 化解疑难化解疑难 1 1用用 p p 和和 q q
35、分别表示原命题的条件和结论，用分别表示原命题的条件和结论，用綈綈 p p 和和綈綈 q q 分别表示分别表示 p p，q q 的否定的否定2 2四种命题是相对的，一个命题是什么命题不是固定不变的四种命题是相对的，一个命题是什么命题不是固定不变的.四种命题之间的关系四种命题之间的关系 提出问题提出问题 问题：我们同样观察知识点一中的四个命题，你能说出其中任意两个命题之间的相互关问题：我们同样观察知识点一中的四个命题，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？系吗？提示：提示：命题命题(2)(3)(2)(3)是互为逆否命题，命题是互为逆否命题，命题(2)(4)(2)(4)是互否命题，命题是互否命题
36、，命题(3)(4)(3)(4)是互逆命题是互逆命题 导入新知导入新知 1 1四种命题之间的关系四种命题之间的关系2 2四种命题的真假性之间的关系四种命题的真假性之间的关系(1)(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 化解疑难化解疑难 互逆命题、互逆命题、互否命题、互否命题、互为逆否命题反映的是两个命题之间的相对关系，互为逆否命题反映的是两个命题之间的相对关系，不具有特指性，不具有特指性，即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关
37、系中的一种，且唯一即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种，且唯一.四种命题的概念四种命题的概念 例例 1 1 把下列命题改写成“若把下列命题改写成“若 p p，则，则 q q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题命题(1)(1)全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应边相等；(2)(2)当当 x x2 2 时，时，x x2 23 3x x2 20.0.解解(1)(1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等；原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等；逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；
38、逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等；否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等；逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等(2)(2)原命题：若原命题：若 x x2 2，则，则 x x2 23 3x x2 20 0；逆命题：若逆命题：若 x x2 23 3x x2 20 0，则，则 x x2 2；否命题：若否命题：若 x x2 2，则，则 x x2 23 3x x2 20 0；逆否命题：若逆否命题：若 x x2 23 3x x2 2
39、0 0，则，则 x x2.2.类题通法类题通法(1)(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题否命题(2)(2)如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变命题中的大前提不变 活学活用活学活用 把下列
40、命题改写成“若把下列命题改写成“若 p p，则，则 q q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，然”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断它们的真假：后判断它们的真假：(1)(1)正数正数 a a 的平方根不等于的平方根不等于 0 0；(2)(2)平行于同一条直线的两条直线平行平行于同一条直线的两条直线平行解：解：(1)(1)原命题：若原命题：若 a a 是正数，则是正数，则 a a 的平方根不等于的平方根不等于0.0.是真命题是真命题逆命题：若逆命题：若 a a 的平方根不等于的平方根不等于 0 0，则，则 a a 是正数是假命题是正数是假命题否命题：若否命题：若 a
41、a 不是正数，则不是正数，则 a a 的平方根等于的平方根等于 0.0.是假命题是假命题逆否命题：若逆否命题：若 a a 的平方根等于的平方根等于 0 0，则，则 a a 不是正数是真命题不是正数是真命题(2)(2)原命题：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行是真命题原命题：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行是真命题逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线是真命题逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线是真命题否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行是真命题否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行是真命题逆否命题：若两条
42、直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线是真命题逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线是真命题.四种命题真假的判断四种命题真假的判断 例例 2 2 有下列四个命题：有下列四个命题：(1)(1)“若“若 x xy y0 0，则，则 x x，y y 互为相反数”的否命题；互为相反数”的否命题；(2)(2)“若“若 x xy y，则，则 x x2 2y y2 2”的逆否命题；”的逆否命题；(3)(3)“若“若 x x3 3，则，则 x x2 2x x6 60 0”的否命题；”的否命题；(4)(4)“对顶角相等”的逆命题“对顶角相等”的逆命题其中真命题的个数是其中真命题的个数是(
43、)A A0 0C C2 2B B1 1D D3 3 解解 选选 B B(1)(1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为其逆命题为“若若 x x，y y 互为互为相反数，则相反数，则 x xy y0 0”，为真命题；，为真命题；(2)(2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题为假命题原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题为假命题(如如 x x0 0，y y1)1)，故其，故其逆否命题为假命题；逆否命题为假命题；(3)(3)该命题的否命题为该命题的否命题为“若若 x x3 3，则，则 x x2 2x x6 60 0”，很明显为假命
44、题；，很明显为假命题；(4)(4)该命题的逆命题是该命题的逆命题是“相等的角是对顶角相等的角是对顶角”，显然是假命题，显然是假命题 类题通法类题通法 解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可 活学活用活学活用 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假(1)(1)在在ABCABC 中，
45、若中，若 BCBCACAC，则，则 A AB B；(2)(2)相等的两个角的正弦值相等相等的两个角的正弦值相等解：解：(1)(1)逆命题：在逆命题：在ABCABC 中，若中，若 A AB B，则，则 BCBCACAC.真命题真命题否命题：在否命题：在ABCABC 中，若中，若 BCBCACAC，则，则 A AB B.真命题真命题逆否命题：在逆否命题：在ABCABC 中，若中，若 A AB B，则，则 BCBCACAC.真命题真命题(2)(2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等假命题逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等假命题否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等假命
46、题否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等假命题逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等真命题逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等真命题.等价命题的应用等价命题的应用 例例 3 3 求证：已知函数求证：已知函数 f f(x x)是是(，)上的增函数，上的增函数，a a，b bR R，若，若 f f(a a)f f(b b)f f(a a)f f(b b)，则，则 a ab b0.0.解解 证明：证明：法一：法一：原命题的逆否命题为原命题的逆否命题为“已知函数已知函数 f f(x x)是是(，)上的增函数，上的增函数，a a，b bR R，若，若 a ab b0
47、 0，则，则 f f(a a)f f(b b)f f(a a)f f(b b)”若若 a ab b0 0，则，则 a ab b，b ba a.又又f f(x x)在在(，)上是增函数，上是增函数，f f(a a)f f(b b)，f f(b b)f f(a a)，f f(a a)f f(b b)f f(a a)f f(b b)即原命题的逆否命题为真命题即原命题的逆否命题为真命题原命题为真命题原命题为真命题法二：法二：假设假设 a ab b0 0，则，则 a ab b，b ba a.又又f f(x x)在在(，)上是增函数，上是增函数，f f(a a)f f(b b)，f f(b b)f f(a
48、 a)f f(a a)f f(b b)f f(a a)f f(b b)这与已知条件这与已知条件 f f(a a)f f(b b)f f(a a)f f(b b)相矛盾相矛盾因此假设不成立，故因此假设不成立，故 a ab b0.0.类题通法类题通法 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题 活学活用活学活用 证明：若证明：若 m m2 2n n2 22 2
49、，则，则 m mn n2.2.证明：证明：将将“若若 m m2 2n n2 22 2，则则 m mn n2 2”视为原命题，视为原命题，则它的逆否命题为则它的逆否命题为“若若 m mn n2 2，则则 m m2 2n n2 22 2”1 11 1由于由于 m mn n2 2，则，则 m m2 2n n2 2(m mn n)2 22 22 22 2，所以，所以 m m2 2n n2 22.2.2 22 2故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题2.2.否命题理解中的误区否命题理解中的误区 典例典例 将命题“当将命题“当 a a0 0 时，函
50、数时，函数y yaxaxb b 是增函数”写成“若是增函数”写成“若 p p，则，则q q”的形式，并”的形式，并写出其否命题写出其否命题 解解“若若 p p，则，则 q q”的形式：若的形式：若 a a0 0，则函数，则函数 y yaxaxb b 是增函数是增函数否命题：若否命题：若 a a0 0，则函数，则函数 y yaxaxb b 不是增函数不是增函数 易错防范易错防范 1 1“a a0 0”的否定易误为“”的否定易误为“a a0 0”，“增函数”的否定易误为“减函数”，这是初学”，“增函数”的否定易误为“减函数”，这是初学者易犯的错误者易犯的错误2 2在写一个命题的否命题、逆否命题时，