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1、立体几何立体几何专题复复习2 22021/8/8 星期日1一、概念名称名称定义定义图形图形两条异面直线 所成的角直线与平面所成的角二面角及它的平面角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。2021/8/8 星期日2abo.aO是空间中的任意一点 点o常取在两条异面直线中的一条上bo o o o o2021/8/8 星期日3一、概念名称名称定义定义图形图形两条异面直线 所成的角直线与平面所成的角二面角及它的平面角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线
2、a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，特别地，若L则L与所成的角是直角，若L/或 L ，则L与所成的角是0的角。2021/8/8 星期日4oLBA2021/8/8 星期日5一、概念名称名称定义定义图形图形两条异面直线 所成的角直线与平面所成的角二面角及它的平面角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于
3、棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。LoBA平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，特别地，若L则L与所成的角是直角，若L/或 L ，则L与所成的角是的角。2021/8/8 星期日6ALBO2021/8/8 星期日7一、概念名称名称定义定义图形图形两条异面直线 所成的角直线与平面所成的角二面角及它的平面角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂
4、直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。LoBAALBO平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，特别地，若L则L与所成的角是直角，若L/或 L ，则L与所成的角是的角。2021/8/8 星期日8二、数学思想、方法、步骤：二、数学思想、方法、步骤：解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。2.方法：3.步骤：b.求直线与平面所成的角：a.求异面直线所成的角：c.求二面角的大小：作（找）证 点 算1.数学思想：平移 构造可解三角形找（或作）射影 构造可解
5、三角形找（或作）其平面角 构造可解三角形2021/8/8 星期日9A1ABB1CDC1D1FEG解：如图，取AB的中点G，O（证）A1D1FGAD又ADA1D1FG四边形A1GFD1为平行四边形A1G D1FA1G与AE所成的锐角（或直角）就是AE与D1F所成的角。（点）（算）FG，A1G，A1G与AE交于O连结（作）三、例题三、例题例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD中点。求中点。求AE与D1F所成的角。即直线AE与D1F所成的角为直角。E是BB1的中点tRA1AGABEAOG=90GA1A=GAO2021/8/8 星期日10例2.已知，在矩形ABCD中
6、，AB=4，BC=3，E为DC边上的中点，沿AE折成60的二面角，分别求DE、DC与平面AC所成的角。ABDE34C34DEABC2二面角 DAEB 为60 2021/8/8 星期日112021/8/8 星期日12解：如图（1），作DMAE于M，延长DM交CB于N，ABCD2234MEMDEACBNDDDD DD DFN图（图（1）图（图（2）过D作DF平面ABCE,连结EF、DC、CF.沿沿AE折成折成60的二面角后如图（的二面角后如图（2）于是DEF是DE与平面ABCE所成的角，DCF是DC与平面ABCE所成的角.2021/8/8 星期日13ABCD2234MEN图（图（1）EACBMNF
7、图（图（2）DDMAE，MNAE DMN=60，且AE 平面 DMN又AE 平面ABCE 平面DMN平面ABCE,从而垂足F在MN上.F如图（1）在RtADE中，DM=ME=2021/8/8 星期日14在RtDFM中，DEF=即DE与平面AC所成的角为ABCD2234MENEACBMNF图（图（2）D图（图（1）在RtEFM中，在RtDFE中，CosDEF=F2021/8/8 星期日15在图（1）中，设EDM=，在RtDME中，DF=DM+MF=在在DFC中，由余弦定理得：中，由余弦定理得：CF=DF+DC-2DFDCCos=73/13在RtDFC中，即DC与平面AC所成的角为：ABCD223
8、4MENEACBMNF图（图（2）D图（图（1）FDF=在图（2）中2021/8/8 星期日16ABCD2234MENEACBMNF图（图（2）D图（图（1）F另外，过D作DF 平面ABCE于F；过F作FM AE于M；连结DM，则DM AE，从而 DMF=60 也可。2021/8/8 星期日17注：在求解图形翻折问题时，注：在求解图形翻折问题时，（1 1）分别画好平面图形和翻折后的立体图，）分别画好平面图形和翻折后的立体图，字母一定要一致；字母一定要一致；（2 2）弄清平面图中的量与位置关系在翻折后的变）弄清平面图中的量与位置关系在翻折后的变 与不变的情况；与不变的情况；（3 3）按题意作出包
9、含已知与未知的图形，然后）按题意作出包含已知与未知的图形，然后 计算和证明。计算和证明。2021/8/8 星期日18B1A1C1 ABC例3：如图，在直三棱柱ABC-A1 B1 C1中，BAC=90，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成30的角，求二面角B B1C A的余弦值。分析：求二面角B B1C A的度数，要作出平面角，显然二面角的棱为B1C，故需在B1C上取一点，然后分别在两个面内作垂直于棱的两条射线。2021/8/8 星期日19C1 AA1B1BC解：作AN BC于N，则AN 平面BCC1B1，作NQ B1C于Q，则AQ B1C AQN是二面角B B1C A的平面角。AN BC
10、=AB ACAN=AB ACBC=36 612 23 3=ANAQ又AC AB1 AQ B1C=AC AB1 AQ=1 AB1ACB1C2 22 2233 3SinCosAQN=36 6AQN=QN2021/8/8 星期日20ABCA1C1B1另解：AC AB AC AA1 AC 平面AA1B1B 又 AC 平面ACB1 平面ACB1 平面AA1B1B设E为AB1的中点，连接BE则BE 平面ACB1作EF B1C于F，连接BF，则BF B1C EFB是二面角B B1C A的平面角。33 3即二面角B B1CA的平面角的余弦值为AB BB1=AB1 BEBE=AB BB1AB1=1 12 2又B
11、C BB1=B1C BF=22 2BF=BC BB1B1C=3 321=23 3SinEFB=BEBF=23 322 2=36 6CosEFB=33 3FE2021/8/8 星期日21B1B1例4：如图，已知在正三棱柱ABC-中，侧棱长大于底面边长，M、N分别在侧棱AA1、B 上，且 N=2 M，求截面 MN与底面 所成的二面角的大小。A1B1C1B1A1A1C1 A1B1C1分析：由题意平面 MN与平面 的 公共点是 ，但二面角没有棱，需要作出，再找平面角。C1C1B1 A1C1A1B1C1ABCNM2021/8/8 星期日22A1B1C1ABCNMD解：连结NM并延长交 的延长线于点D，连
12、结 D，则截面 MN与底面 所成二面角的棱为 D。C1 A1B1C1 A1B1C1C1在 N D中，N=2 M，且 N M，D =2D D =又 为等边三角形 D=180-60=120 D=30，又 =60 D=90，即D 又 C 平面 C D D 平面 BC A1B1B1 A1B1C1 A1C1B1A1B1B1A1A1C1A1C1A1B1A1C1A1C1B1C1C1B1C1 A1B1C1C1C1C1C1B1又 N 平面 ，D N N 是平面 MN与底面所成二面角的平面角。C1C1C1 C1B1BCC1B1C1t B1C1 A1B1C1C1S，S4 a6 624 a3 322 2 2又 在R N 中，B1N=B1C1 NC1B1=45即截面 MN与底面 所成二面角为45利用面积也可作出Cos =（）/（）=45 2021/8/8 星期日23谢谢！再再见2021/8/8 星期日242021/8/8 星期日25