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1、异面直异面直线线直线与直线的位置关系（直线与直线的位置关系（2）2021/8/8 星期日1一、新课引入：一、新课引入：在正方体在正方体A1B1C1D1-ABCD中，说出下列各对线段中，说出下列各对线段的位置关系的位置关系ABCDA1B1C1D1（1）AB和和C1D1；（2）A1C1和和AC；（3）A1C和和D1B：（4）AB和和CC1；（5）BD1和和A1C1；2021/8/8 星期日21.空间两直线的位置关系：空间两直线的位置关系：（1）从公共点的数目来看可分为：）从公共点的数目来看可分为：有且只有一个公共点则两直线相交有且只有一个公共点则两直线相交 两平行直线两平行直线 没有公共点则没有公
2、共点则 两直线为异面直线两直线为异面直线（2）从平面的性质）从平面的性质 来讲，可分为：来讲，可分为：两直线相交两直线相交 在同一平面内在同一平面内 两直线平行两直线平行 不在同一平面内则两直线为异面直线。不在同一平面内则两直线为异面直线。定义：定义：不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线的两条直线为异面直线二、异面直线：二、异面直线：2021/8/8 星期日32.判定异面直线的方法：判定异面直线的方法：（1）根据异面直线的定义；应用反证法来证明。）根据异面直线的定义；应用反证法来证明。3.异面直线的画法：异面直线的画法：ababa
3、b（2）过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内）过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内 不经过该点的直线是异面直线。（定理）不经过该点的直线是异面直线。（定理）2021/8/8 星期日4三、异面直线所成角的定义：三、异面直线所成角的定义：1.直线a、b是异面直线。经过空间任意一点O，作直线a1a，b1b。我们把直线a1和b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线异面直线a，b所成的角。所成的角。aa1b1Ob aO为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上。2.异面直线异面直线a和和b所成的角的范围：所成的角的范围：2021/8/8 星期日5abOa1b1Oab1b3.找角方法：找角方法
4、：2021/8/8 星期日6如果两条异面直线所成的角是直角，如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两就说这两条异面直线互相垂直条异面直线互相垂直。相交垂直（有垂足）相交垂直（有垂足）垂直垂直 异面垂直（无垂足）异面垂直（无垂足）OO因此，异面直线所成角的范围是（因此，异面直线所成角的范围是（0，4、特例：、特例：2021/8/8 星期日7例例1.如图，在正方体中，（如图，在正方体中，（1）哪些棱所在的直线与直线）哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线？（成异面直线？（2）求直线）求直线BA1和和CC1所成的角的所成的角的大小。大小。ABCDA1B1C1D1四、例题分析：四、例题分析：2021/
5、8/8 星期日8（1）平移法：平移法：即根据定义，以即根据定义，以“运动运动”的观点，用的观点，用“平移转化平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。的方法，使之成为相交直线所成的角。(1)(1)找出或作出有关的图形；找出或作出有关的图形；找出或作出有关的图形；找出或作出有关的图形；(2)(2)证明它符合定义；证明它符合定义；证明它符合定义；证明它符合定义；(3)(3)计算。计算。计算。计算。即：要求先证，要证先作。即：要求先证，要证先作。即：要求先证，要证先作。即：要求先证，要证先作。具体地讲是选择具体地讲是选择具体地讲是选择具体地讲是选择“特殊点特殊点特殊点特殊点”作异面直线的平行线，作
6、异面直线的平行线，作异面直线的平行线，作异面直线的平行线，构作构作构作构作含含含含异面直线所成异面直线所成异面直线所成异面直线所成(或其补角或其补角或其补角或其补角)的角的角的角的角的三角形，再求之。的三角形，再求之。的三角形，再求之。的三角形，再求之。2021/8/8 星期日9O1MBDB1A1D1C1AC2021/8/8 星期日10F1EFE1BDB1A1D1C1AC解法二解法二（补形法）（补形法）：2021/8/8 星期日11例例3.如图，正方体中，如图，正方体中，1.A1B1与与C1C所成的角所成的角2.AD与与B1B所成的角所成的角3.A1D与与BC1所成的角所成的角4.D1C与与A
7、1A所成的角所成的角5.A1D与与AC所成的角所成的角ABCDA1B1C1D12021/8/8 星期日12巩固：画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使它们成为：平行直线；相交直线；异面直线。abbaba2021/8/8 星期日13五、小结：求异面直线所成的角的方法与步骤是：五、小结：求异面直线所成的角的方法与步骤是：（1）根据定义找出或作辅助线找出所求的角并设为）根据定义找出或作辅助线找出所求的角并设为；（2）选取适当的三角形（）选取适当的三角形（为其一个内角），通过解为其一个内角），通过解 三角形求得三角形求得的值；的值；（3）异面直线所成的角的范围是）异面直线所成的角的范围是 0900，尽量用，尽量用 余弦定理；余弦定理；（4）若余弦值为负，则）若余弦值为负，则为其补角；为其补角；（5）如果两条异面直线所成的角为直角，只需证它们垂直而不）如果两条异面直线所成的角为直角，只需证它们垂直而不找角。找角。归纳为：归纳为：作辅助线找角；作辅助线找角；指出角（或其补指出角（或其补角）；角）；求角（解三角形）；求角（解三角形）；结论。结论。2021/8/8 星期日142021/8/8 星期日15