《学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定课件 新人教A必修2.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定课件 新人教A必修2.ppt（29页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2.3直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质2021/8/8 星期日12.3.1直线与平面垂直的判定2021/8/8 星期日21.理解并掌握直线与平面垂直的定义,明确定义中“任意”两字的重要性.2.掌握直线与平面垂直的判定定理,并能解决有关线面垂直的问题.3.了解直线和平面所成的角的含义,并知道其求法.2021/8/8 星期日31231.直线与平面垂直 2021/8/8 星期日4123名师点拨 1.定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同义,与“无数条直线”不是同义.2.直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况.3.由直线与平面垂直的定义,得如果一条直线垂直于一个平面,
2、那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线.2021/8/8 星期日5123【做一做1】已知直线l平面,直线m,则l与m不可能()A.平行B.相交C.异面D.垂直解析:因为直线l平面,所以l与相交,又因为m,所以l与m相交或异面.由直线与平面垂直的定义,可知lm.故l与m不可能平行.答案:A2021/8/8 星期日61232.判定定理 2021/8/8 星期日7123【做一做2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1AC,求证:AC平面BDD1B1.证明:因为四边形ABCD是正方形,所以BDAC.因为BB1AC,BD平面BDD1B1,BB1平面BDD1B1,BB1BD=B,所以AC平
3、面BDD1B1.2021/8/8 星期日81233.直线和平面所成的角(1)定义:一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)规定:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0的角.因此,直线与平面所成的角的范围是090.2021/8/8 星期日9123归纳总结斜线与平面所成的角(空间角)是用斜线和其射影所成的角(平面角)来
4、定义的,因此,其求解策略也是将空间问题转化为平面问题.要注意,斜线与平面所成角的大小不受选择点的位置的限制;作出斜线的射影是求斜线和平面所成角的关键.2021/8/8 星期日10123【做一做3】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角的度数是.解析:因为B1B平面ABCD,所以B1AB是AB1与平面ABCD所成的角.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1是正方形,所以B1AB=45.答案:452021/8/8 星期日11121.理解直线与平面垂直的判定定理剖析:(1)在判定定理的条件中,“平面内两条相交直线”是关键性词语,此处强调相交.(
5、2)要判断一条已知直线和一个平面是否垂直,只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.至于这两条直线是否与已知直线有交点,这是无关紧要的.(3)判定定理是由线线垂直推导出线面垂直,其最终仍归结为证明线线垂直,即证明线与平面内的两条相交直线垂直.(4)判定线面垂直的方法有:利用线面垂直的定义:一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则该直线垂直于这个平面;利用线面垂直的判定定理.2021/8/8 星期日1212知识拓展过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直,过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直.2021/8/8 星期日13122.一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,这条直线不一定垂直于这个平
6、面剖析:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,在棱AB上任取一点E,过点E作EFAD交CD于点F,则这样的直线能够作无数条.很明显直线AB垂直于平面AC内的无数条直线,而直线AB平面AC;直线A1B1也垂直于平面AC内的无数条直线,而直线A1B1平面AC.其原因是,虽然这两条直线都垂直于平面AC内的无数条直线,但是这无数条直线是互相平行的,没有两条相交的直线,所以不满足直线和平面垂直的判定定理的条件“两条相交直线”.因此,一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,这条直线不一定垂直于这个平面.2021/8/8 星期日14题型一题型二题型三题型四【例1】如图,已知PABC,AB是O的直径,C是
7、O上不同于点A,B的任意一点,过点A作AEPC于点E.求证:AE平面PBC.证明:因为AB是O的直径,所以BCAC.因为PABC,PAAC=A,所以BC平面PAC.因为AE平面PAC,所以BCAE.因为PCAE,且PCBC=C,所以AE平面PBC.2021/8/8 星期日15题型一题型二题型三题型四反思利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤:(1)在这个平面内找出两条直线,使它和已知直线垂直;(2)确定这个平面内的这两条直线是相交直线;(3)根据判定定理得出结论.2021/8/8 星期日16题型一题型二题型三题型四【变式训练1】如图,在三棱锥S-ABC中,ABC=90,D是AC的
8、中点,且SA=SB=SC.(1)求证:SD平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD平面SAC.证明:(1)因为SA=SC,D是AC的中点,所以SDAC.在RtABC中,AD=BD,由已知SA=SB,所以ADSBDS.所以SDBD.又ACBD=D,所以SD平面ABC.(2)因为AB=BC,D为AC的中点,所以BDAC,由(1)知SDBD.又因为SDAC=D,所以BD平面SAC.2021/8/8 星期日17题型一题型二题型三题型四【例2】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA平面ABCD,PA=5,AB=4,AD=3.求直线PC与平面ABCD所成的角的大小.2021/8/8 星
9、期日18题型一题型二题型三题型四2021/8/8 星期日19题型一题型二题型三题型四反思求斜线与平面所成的角的步骤:(1)作图:作(或找)出斜线在平面上的射影,将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角),作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中的已知量有关,才能便于计算.(2)证明:证明找出的平面角是斜线与平面所成的角.(3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.2021/8/8 星期日20题型一题型二题型三题型四【变式训练2】如图,PA平面ABCD,ABCD为正方形,且P
10、A=AD,E,F分别是线段PA,CD的中点.求EF和平面ABCD所成的角的正切值.2021/8/8 星期日21题型一题型二题型三题型四2021/8/8 星期日22题型一题型二题型三题型四如图,已知矩形ABCD,过点A作SA平面AC,连接SB,SC,SD,再过点A作AESB交SB于点E,过点E作EFSC交SC于点F,连接AF.求证:AFSC.2021/8/8 星期日23题型一题型二题型三题型四证明:因为SA平面AC,BC平面AC,所以SABC.因为四边形ABCD为矩形,所以ABBC.又SAAB=A,所以BC平面SAB.因为AE平面SAB,所以BCAE.因为SBAE,且SBBC=B,所以AE平面S
11、BC.因为SC平面SBC,所以AESC.因为EFSC,且AEEF=E,所以SC平面AEF.因为AF平面AEF,所以AFSC.2021/8/8 星期日24题型一题型二题型三题型四反思证明两条直线垂直,常转化为证明直线与平面垂直,即把其中一条直线放在一个平面内,证明另一条直线垂直于该平面.2021/8/8 星期日25题型一题型二题型三题型四【变式训练3】如图,四边形ABCD为矩形,AD平面ABE,F为CE上的点,且BF平面ACE.求证:AEBE.证明:因为AD平面ABE,ADBC,所以BC平面ABE.又AE平面ABE,所以AEBC.因为BF平面ACE,AE平面ACE,所以AEBF.因为BF平面BC
12、E,BC平面BCE,BFBC=B,所以AE平面BCE.又BE平面BCE,所以AEBE.2021/8/8 星期日26题型一题型二题型三题型四易错点:证明线面垂直不严密而致错【例4】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,AC=BC,D是AB的中点,连接CD.求证:CD平面ABB1A1.错解:证明:因为AA1平面ABC,CD平面ABC,所以CDAA1.又BB1AA1,所以CDBB1.又AA1平面ABB1A1,BB1平面ABB1A1,所以CD平面ABB1A1.错因分析:错解中AA1和BB1是平面ABB1A1内的两条平行直线,不是相交直线,故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件.2021/8/8 星期日27题型一题型二题型三题型四正解:证明:因为AA1平面ABC,CD平面ABC,所以CDAA1.因为AC=BC,D是AB的中点,所以CDAB.因为AB平面ABB1A1,AA1平面ABB1A1,ABAA1=A,所以CD平面ABB1A1.反思证明线面垂直时,所满足的条件必须是明显的或已经证明成立的,且与直线与平面垂直的判定定理的条件严格一致,否则会导致证明不完整.2021/8/8 星期日282021/8/8 星期日29