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1、空间空间“角度角度”问题问题一、复习引入一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。（化为向量问题
2、）（化为向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形）（回到图形）空间空间“夹角夹角”问题问题1.异面直线所成角异面直线所成角lmlm若两直线若两直线 所成的所成的角为角为 ,则则例例1解：以点解：以点C C为坐标原点建立空间直角坐标系为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设如图所示，设 则：则：所以：所以：所以 与 所成角的余弦值为2.线面角线面角l设设直直线线l的的方方向向向向量量为为 ，平平面面 的的法法向向量量为为 ，且且直直线线 与平面与平面 所成的所成的角为角为 (),则则N解：如图建立坐标系A-xyz,则即在长方体在长方体 中，中，例例2：N又又在长方体在长方体 中，中
3、，例例2：练习：的棱长为的棱长为1.题型二：线面角题型二：线面角正方体正方体练习、如练习、如 图所示，在四棱锥图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC，E是是PC的的中点。中点。(1)证明：证明：PA/平面平面EDB；(2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyz方方向向向向量量法法 将将二二面面角角转转化化为为二二面面角角的的两两个个面面的的方方向向向向量量（在在二二面面角角的的面面内内且且垂垂直直于于二二面面角角的的棱棱）的夹角。如图（的夹角。如图（2），设二面角），设二面
4、角 的大小为的大小为其中其中AB DCLBA2、二面角、二面角注意法向量的方向：同进同注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角等于法向量夹角L将将二二面面角角转转化化为为二二面面角角的的两两个个面面的的法法向向量量的的夹夹角角。如图，向量如图，向量 ，则二面角则二面角 的大小的大小 2、二面角、二面角若二面角若二面角 的的大小为大小为 ,则则法向量法法向量法二面角的范围：设平面例例2 正正三三棱棱柱柱 中中，D是是AC的的中点，当中点，当 时，求二面角时，求二面角 的余弦值。的余弦值。CADBC1B1
5、A1解解法法：如如图图，以以C为为原原点点建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系C-xyz。设设底底面三角形的边长为面三角形的边长为a，侧棱长为侧棱长为b,则则 C(0,0,0)故则可设=1，则B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1CADBC1B1A1由由 得得解得解得所以，可取所以，可取二面角二面角 的大小等于的大小等于 cos=即二面角即二面角 的余弦值为的余弦值为1.已知正方体的边长为2，O为AC和BD的交点，M为的中点（1）求证：直线面MAC（2）求二面角的余弦值巩固练习巩固练习B1A1C1D1DCBAOM【巩固练习巩固练习】1 三棱锥三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC,
6、E为为PC中点中点,则则PA与与BE所成角所成角的余弦的余弦值为值为_.2 直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中,A1A=2,AB=AC=1,则则AC1与截面与截面BB1CC1所成所成角的余弦角的余弦值为值为_.3正方体正方体中中ABCD-A1B1C1D1中中E为为A1D1的的中点中点,则则二面角二面角E-BC-A的大小是的大小是_如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的角的所成的角的余弦值余弦值(2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值(3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值OABCSxyz【综合应用综合应用】