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1、方差分析方差分析1)1)方差分析的意义方差分析的意义 方差分析是数理统计的基本方法之一方差分析是数理统计的基本方法之一。方差分析的目的是确定观测对象的影响因方差分析的目的是确定观测对象的影响因子。即子。即,方差分析就是将总变异分裂为各个方差分析就是将总变异分裂为各个因素的相应变异因素的相应变异,作出其数量估计作出其数量估计,从而发从而发现各个因素在变异中所占的重要程度现各个因素在变异中所占的重要程度。因因此此,方差分析可帮助我们掌握客观规律的主方差分析可帮助我们掌握客观规律的主要矛盾或技术关键要矛盾或技术关键,是科学研究中分析数据是科学研究中分析数据的一种工具的一种工具。2)2)单因素试验的方
2、差分析单因素试验的方差分析 如果在一项实验中如果在一项实验中,只有一个因素在改变只有一个因素在改变,而其他因素保持不变的话而其他因素保持不变的话,我们称之为我们称之为单因素单因素实验实验。因素所处的状态称为因素所处的状态称为水平水平。在试验设在试验设计中计中,设因素设因素A A有有J J个水平个水平A A1 1,A,A2 2,A,AJ J,在在每个水平下都做了每个水平下都做了I I次等精度测试次等精度测试,水平水平A AJ J下下第第I I次实验数据用次实验数据用x xI,JI,J表示表示。如确定温度对某一化学反应速度的影响如确定温度对某一化学反应速度的影响,设设5 5个个不同温度等级不同温度
3、等级20,60,80,100,12020,60,80,100,120。每个等级进行每个等级进行6 6次等精度实验次等精度实验。在这里温度等于因素在这里温度等于因素A,5A,5个温度不个温度不同等级就是同等级就是5 5个水平个水平。方差分析方差分析方差分析方差分析2)2)单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析 A A1 1A A2 2 1 1x x1111x x1212x x1J1J2 2x x2121x x2222x x2J2J x xI1 I1x xI2 I2x xIJ IJ单因素试验安排表单因素试验安排表因素水平因素水平实验次数次数 若把每一个水平下的实验数据若把每一个水平下的实验数据(
4、每一列每一列)看做是看做是一个子样的话一个子样的话,可得可得J J个子样个子样,设这设这J J个子样相互独立个子样相互独立,且它们来自且它们来自J J个总体的方差都相同个总体的方差都相同,即即方差齐性的假设是方差分析的前提方差齐性的假设是方差分析的前提。这叫做这叫做方差齐性方差齐性。方差分析方差分析2)单因素因素试验的方差分析的方差分析单因素试验的方差分析是检验单因素试验的方差分析是检验J个总体的均值是否相等个总体的均值是否相等,亦即假设亦即假设确定确定检验的的统计量量定定义总变差差:其中其中 叫做叫做总平均平均值,整批数据的个数是因素水平的个数整批数据的个数是因素水平的个数J与与测定次数定次
5、数I的乘的乘积,令令n=IJ。故其故其总自由度自由度:总变差差 包括了包括了试验误差差(随机随机误差差)和和条件条件误差差(系系统误差差)。方差分析方差分析2)单因素因素试验的方差分析的方差分析 总变差差 中的中的试验误差差(随机随机误差差)和条件和条件误差差(系系统误差差)的的统计量量:水平水平Aj下的子下的子样平均平均值,即列数据的平均即列数据的平均值从从推推导出出 2 2 1 1 2 2 2222 21212 2 1 1 1212 11111 1 2 2 1 1 次数次数因素因素方差分析方差分析2)单因素因素试验的方差分析的方差分析因交叉乘因交叉乘积项求和求和因因为方差分析方差分析2)单
6、因素因素试验的方差分析的方差分析所以所以若令若令于是可得于是可得 反反应了子了子样内的随机波内的随机波动,即即试验误差差。亦称亦称组内平均内平均误差差。反应了子样子间的差异反应了子样子间的差异(因素水平不同而引起的差异因素水平不同而引起的差异),亦称组间平亦称组间平方和方和。方差分析方差分析2)单因素因素试验的方差分析的方差分析 若判断因素若判断因素A对实验结果的影响是否果的影响是否显著著,就要判断条件就要判断条件变差与差与实验误差相差的程度差相差的程度。可用可用F检验来来进行行。令令F检验的的统计量量为统计量量F服从第一自由度服从第一自由度 ,第二自由度第二自由度 的的F分布分布。若若 则在
7、在显著水平著水平下拒下拒绝原假原假设H0,即因素即因素A对试验结果影响果影响显著著;否否则接受原假接受原假设H0,即因素即因素A对试验结果无果无显著影响著影响。方差分析方差分析2)单因素因素试验的方差分析的方差分析总和和组内内差异源差异源F值显著性著性组间上述分析常用排表的形式上述分析常用排表的形式进行行,称方差分析表称方差分析表 方差分析表中的方差分析表中的显著性著性结论,是根据是根据计算的算的F值与与临界界值Fa,(fA,fE)相相比比较,然后作出的然后作出的,通常分通常分4种情况种情况:(1)FF0.01,因素因素A的影响特的影响特别显著著,记为“”;(2)F0.01 FF0.05,因素
8、因素A的影响的影响显著著,记为“”;(3)F0.05 FF0.10,因素因素A有一定影响有一定影响,记为“（）（）”;(4)F F0.10,因素因素A的影响不的影响不显著著,记为“(0)”。否定原假否定原假设接受原假接受原假设方差分析方差分析2)单因素因素试验的方差分析的方差分析单因素因素试验的方差分析的方差分析计算表算表 2 2 1 1 2 2 2222 21212 2 1 1 1212 11111 1 2 2 1 1 实验数据数据次数次数因素因素方差分析方差分析2)单因素因素试验的方差分析的方差分析单因素因素试验的方差分析的方差分析计算表中的算表中的x 如下如下令令推推导出出方差分析方差分
9、析2)单因素因素试验的方差分析的方差分析单因素因素试验方差分析的步方差分析的步骤如下如下:(1)提出原假提出原假设,即即(2)由原始数据由原始数据计算各相关系数算各相关系数(3)计算和填写方差分析表算和填写方差分析表(4)比比较F值与与临界界值Fa,(fA,fE),作出相作出相应的分析的分析结论。例例:用用5种微生物种微生物处理被理被污染地下水中的染地下水中的N。求求5种微生物种微生物对地下水中地下水中的的N处理有无理有无显著影响著影响。A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4A A5 51 14.34.36.16.16.56.59.39.39.59.52 27.87.87.37.38
10、.38.38.78.78.88.83 33.23.24.24.28.68.67.27.211.411.44 46.56.54.14.18.28.210.110.17.87.8次数次数因素因素方差分析方差分析2)单因素因素试验的方差分析的方差分析解解:用用单因素因素试验的方差分析法的方差分析法。这里里(1)原假原假设(2)计算方差分析算方差分析计算表算表,按公式按公式计算各平方和算各平方和 A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4A A5 51 14.34.36.16.16.56.59.39.39.59.52 27.87.87.37.38.38.38.78.78.88.83 33.23.
11、24.24.28.68.67.27.211.411.44 46.56.54.14.18.28.210.110.17.87.8 21.821.821.721.731.631.635.335.337.537.5147.9147.9（）2 2475.24475.24470.89470.89998.56998.5612461246140614064597.034597.032 2131.82131.82124.95124.95252.34252.34316316358.5358.51183.631183.63方差分析方差分析2)单因素因素试验的方差分析的方差分析(3)第一自由度及第二自由度第一自由度及
12、第二自由度,组间及及组内方差估内方差估计值分分别为方差分析方差分析2)单因素因素试验的方差分析的方差分析统计量量F值为(4)查附附录B-4,并建立方差分析表并建立方差分析表差异源差异源 MSMSFF值值F F0.01,(4,15)0.01,(4,15)F F0.05,(4,15)0.05,(4,15)F F0.10,(4,15)0.10,(4,15)显著性显著性组间组间55.5455.544 413.8813.886.066.064.8934.8933.0563.0562.3612.361*组内组内34.3734.3715152.2.2929总计总计89.9189.911919 (5)结论,由
13、于由于F=6.06F0.01,(4,15)=4.89,故拒故拒绝原假原假设,即微生物即微生物种种类的不同的不同对地下水中的地下水中的N处理有显著影响处理有显著影响。方差分析方差分析3)不等重复数的不等重复数的单因素因素试验的方差分析的方差分析 在在实际研究中研究中,有有时由于条件的限制由于条件的限制,不同因素水平下的不同因素水平下的试验重复数重复数不同不同,或某些或某些试验做的不理想做的不理想,数据不能用数据不能用,使数据缺少了一部分使数据缺少了一部分。不等不等重复数的单因素试验的方差分析与等重复数是完全类似的重复数的单因素试验的方差分析与等重复数是完全类似的,仅仅是计仅仅是计算时略有不同算时
14、略有不同。设在水平在水平Aj下的下的试验重复数重复数为Ij则试验总数数为此此时,相关相关计算公式中的算公式中的I相相应地改地改为Ij,则有有其中其中方差分析方差分析3)不等重复数的不等重复数的单因素因素试验的方差分析的方差分析令令 则可按上述公式可按上述公式计算各平方和算各平方和。其他其他计算及方差分析表与等重复数算及方差分析表与等重复数单因素因素试验完全相同完全相同。例例:测得得4条河的河水中硝酸条河的河水中硝酸态氮含量氮含量(ppm)如下如下,试问4条河水中条河水中的硝酸的硝酸态氮含量是否有氮含量是否有显著性差异著性差异。A1A1A2A2A3A3A4A41 10.540.540.750.7
15、50.630.630.850.852 20.700.700.800.800.610.610.870.873 30.710.710.720.720.590.590.720.724 40.520.520.710.710.560.560.780.785 50.750.750.560.560.420.420.630.636 60.780.780.680.680.400.400.900.907 70.610.610.660.660.530.538 8 0.610.610.550.55 方差分析方差分析3)不等重复数的不等重复数的单因素因素试验的方差分析的方差分析解解:这里里n=29,J=4(1)原假原假
16、设(2)计算方差分析算方差分析计算表算表,按公式按公式计算各平方和算各平方和 A1A1A2A2A3A3A4A41 10.540.540.750.750.630.630.850.852 20.700.700.800.800.610.610.870.873 30.710.710.720.720.590.590.720.724 40.520.520.710.710.560.560.780.785 50.750.750.560.560.420.420.630.636 60.780.780.680.680.400.400.900.907 70.610.610.660.660.530.538 8 0.61
17、0.610.550.55 4.614.615.495.494.294.294.754.7519.1419.14（）2 221.2521.2530.1430.1418.418.422.5622.56I Ij j7 78 88 86 62929（）2 2/I/Ij j3.043.043.773.772.302.303.763.7612.8612.862 23.103.103.813.812.352.353.813.8113.0713.07方差分析方差分析3)不等重复数的不等重复数的单因素因素试验的方差分析的方差分析 A A1 1A A2 2A A3 3A A4 44.614.615.495.494
18、.294.294.754.7519.1419.14（）2 221.2521.2530.1430.1418.418.422.5622.56I Ij j7 78 88 86 62929（）2 2/I/Ij j3.043.043.773.772.302.303.763.7612.8612.862 23.103.103.813.812.352.353.813.8113.0713.07方差分析方差分析3)不等重复数的不等重复数的单因素因素试验的方差分析的方差分析(3)方差分析表如下方差分析表如下差异源差异源 MSMSFF值值F F0.01,(4,25)0.01,(4,25)F F0.05,(4,25)0
19、.05,(4,25)F F0.10,(4,25)0.10,(4,25)显著性显著性组间组间0.230.233 30.0770.0779.349.344.684.682.992.992.322.32*组内组内0.210.2125250.0080.008总计总计0.440.442828 (4)结论,由于由于F=9.34F0.01,(3,25)=4.68,故拒故拒绝原假原假设,即即4条河的条河的河水中硝酸态氮含量河水中硝酸态氮含量(ppm)的差异是的差异是特别显著特别显著。方差分析方差分析多重比较多重比较（一）最小（一）最小显著差数法（著差数法（简称法）称法）检验检验是一个整体概念是一个整体概念仅仅
20、是指出平均数是否有是指出平均数是否有显显著差异。但是，著差异。但是，是否平均数是否平均数间间都有都有显显著差异？著差异？还还是是仅仅有一部分平均数有一部分平均数间间有有显显著差异著差异而另一部分平均数而另一部分平均数间间没有没有显显著差异？它不曾提供任何信息。要明确著差异？它不曾提供任何信息。要明确各个平均数各个平均数间间的差异的差异显显著性，著性，还还必必须对须对各平均数各平均数进进行多重比行多重比较较。用此法用此法检验检验多个平均数多个平均数时时，首先算得平均数差数的，首先算得平均数差数的标标准差准差 为样本容量本容量方差分析方差分析多重比较多重比较（一）最小（一）最小显著差数法（著差数法
21、（简称法）称法）查得所具有的自由度下水平得所具有的自由度下水平下的下的值，即有最小，即有最小显著差数著差数若两个平均数的差数若两个平均数的差数，即，即为水平上水平上显著。著。举例例说明如下；明如下；A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4A A5 51 14.34.36.16.16.56.59.39.39.59.52 27.87.87.37.38.38.38.78.78.88.83 33.23.24.24.28.68.67.27.211.411.44 46.56.54.14.18.28.210.110.17.87.8 差异源差异源 MSMSFF值值F F0.01,(4,15)0.01,
22、(4,15)F F0.05,(4,15)0.05,(4,15)F F0.10,(4,15)0.10,(4,15)显著性显著性组间组间55.5455.544 413.8813.886.066.064.8934.8933.0563.0562.3612.361*组内组内34.3734.3715152.292.29总计总计89.9189.911919 方差分析方差分析多重比较多重比较（一）最小（一）最小显著差数法（著差数法（简称法）称法）通通过单因素因素实验方差分析如下；方差分析如下；这里里样本容量，所以本容量，所以自由度自由度时，；方差分析方差分析多重比较多重比较（一）最小（一）最小显著差数法（著差
23、数法（简称法）称法）A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4A A5 51 14.34.36.16.16.56.59.39.39.59.52 27.87.87.37.38.38.38.78.78.88.83 33.23.24.24.28.68.67.27.211.411.44 46.56.54.14.18.28.210.110.17.87.8 平均数平均数 ；结论：和没有：和没有显著性差异，和在水平下有著性差异，和在水平下有显著差著差异，异，、和在水平下有极和在水平下有极显著性差异。著性差异。方差分析方差分析多重比较多重比较（二）最小（二）最小显著极差法（著极差法（简称法）称法）这一方
24、法的特点是不同平均数一方法的特点是不同平均数间的比的比较采用不同的采用不同的显著差数著差数标准，因而就克服了法的局限性，可用于平均数准，因而就克服了法的局限性，可用于平均数间的所有相互的所有相互比比较。其常用方法有。其常用方法有新复极差新复极差测验和和测验两种。两种。新复极差新复极差测验（）又称）又称测验。原假。原假设为 ，即任两个，即任两个总体平均数的极差体平均数的极差为。然后然后计算平均数的算平均数的标准准误，当各，当各样本的容量皆本的容量皆为 时再再查表，表，查得所具有的自由度下，得所具有的自由度下，时的的 值（为某两极差某两极差间所包含的平均数）。所包含的平均数）。进而算得各个下的最小
25、而算得各个下的最小显著极差著极差方差分析方差分析多重比较多重比较（二）最小（二）最小显著极差法（著极差法（简称法）称法）A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4A A5 51 14.34.36.16.16.56.59.39.39.59.52 27.87.87.37.38.38.38.78.78.88.83 33.23.24.24.28.68.67.27.211.411.44 46.56.54.14.18.28.210.110.17.87.8 将各平均数按大小循序排列，用各个的将各平均数按大小循序排列，用各个的值即可即可测验各平均各平均数两极差数两极差显著性：凡两极差著性：凡两极差 者者
26、为接受接受；凡两极差；凡两极差则否否定定，即两极差在，即两极差在水平上水平上显著。著。举例例说明如下；明如下；差异源差异源 MSMSFF值值F F0.01,(4,15)0.01,(4,15)F F0.05,(4,15)0.05,(4,15)F F0.10,(4,15)0.10,(4,15)显著性显著性组间组间55.5455.544 413.8813.886.066.064.8934.8933.0563.0562.3612.361*组内组内34.3734.3715152.292.29总计总计89.9189.911919 方差分析方差分析多重比较多重比较（二）最小（二）最小显著极差法（著极差法（简
27、称法）称法）自由度自由度时，时，和如下和如下p p2 23 34 45 5SSRSSR0.050.053.013.013.163.163.253.253.313.31SSRSSR0.010.014.174.174.374.374.504.504.584.58LSRLSR0.050.052.282.282.402.402.472.472.522.52LSRLSR0.010.013.163.163.323.323.423.423.483.48方差分析方差分析多重比较多重比较（二）最小（二）最小显著极差法（著极差法（简称法）称法）A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4A A5 51 14.
28、34.36.16.16.56.59.39.39.59.52 27.87.87.37.38.38.38.78.78.88.83 33.23.24.24.28.68.67.27.211.411.44 46.56.54.14.18.28.210.110.17.87.8 平均数平均数因素因素平均平均值值A5A59.389.38A4A48.828.82A3A37.97.9A1A15.455.45A2A25.425.42平均平均值按大小循序排列按大小循序排列方差分析方差分析多重比较多重比较（二）最小（二）最小显著极差法（著极差法（简称法）称法）因素因素平均平均值值A5A59.389.38A4A48.828
29、.82A3A37.97.9 A1A15.455.45A2A25.425.42p p2 23 34 45 5SSRSSR0.050.053.013.01 3.163.163.253.253.313.31SSRSSR0.010.014.174.17 4.374.374.504.504.584.58LSRLSR0.050.052.282.28 2.402.402.472.472.522.52LSRLSR0.010.013.163.16 3.323.323.423.423.483.48得出如下得出如下结论，结论的表示方法如下；的表示方法如下；因素因素平均平均值值 差异显著性差异显著性A5A59.389
30、.38 A4A48.828.82 A3A37.907.90 B BA1A15.455.45 c cB BA2A25.425.42c cB B4)双因素双因素试验的方差分析的方差分析 双因素双因素试验考考虑两个因素两个因素A和和B,因素因素A分成分成J个水平个水平;因素因素B分成分成I个个水平水平。实验安排是安排是让因素因素A和因素和因素B的每个水平都碰到的每个水平都碰到,即在即在AjBi的的条件下做一次条件下做一次试验,共有共有JI种配合种配合,得得JI个个试验数据数据,如下表表示如下表表示。方差分析方差分析4)双因素双因素试验的方差分析的方差分析 1 1 2 2 B B1 1 1111 12
31、12 1 1 B B2 2 2121 2222 2 2 1 1 2 2 双因素双因素试验安排表安排表(无重复无重复测试)定定义双因素双因素试验的的总平方和平方和总平方和可分解平方和可分解为方差分析方差分析4)双因素双因素试验的方差分析的方差分析其中其中各平方和的自由度分各平方和的自由度分别为各平方和除以相各平方和除以相应的自由度得各方差估的自由度得各方差估计值,即即方差分析方差分析4)双因素双因素试验的方差分析的方差分析检验因素因素A和因素和因素B对实验结果有无果有无显著影响所用的著影响所用的统计量分量分别为以上以上结果列方差分析表如下果列方差分析表如下:差异源差异源 MSMSFF值值F F0
32、.010.01F F0.050.05F F0.100.10显著性显著性因素因素A AF FA AF F0.01(fA,fE)0.01(fA,fE)F F0.05(fA,fB)0.05(fA,fB)F F0.10(fA,fB)0.10(fA,fB)因素因素B BA AB BF F0.01(fB,fE)0.01(fB,fE)F F0.05(fB,fE)0.05(fB,fE)F F0.10(fB,fE)0.10(fB,fE)误差误差总和总和 方差分析方差分析4)双因素双因素试验的方差分析的方差分析实际计算各平方和算各平方和时,采用下面的采用下面的计算公式算公式,令令则方差分析方差分析4)双因素双因素
33、试验的方差分析的方差分析例例:为了考察蒸了考察蒸馏水的水的pH值和硫酸和硫酸铜的的浓度度对化化验血清中蛋白血清中蛋白质与与球蛋白的影响球蛋白的影响,将将硫酸铜的浓度硫酸铜的浓度(因素因素A)分为分为3个水平个水平:0.04,0.08,0.10,相应地记为相应地记为A1,A2,A3;蒸馏水的蒸馏水的pH值值(因素因素B)分为分为4个水平个水平:5.40,5.60,5.70,5.80相应地记为相应地记为B1,B2,B3,B4。在在AiBj的条的条件下各做一次件下各做一次试验,试验结果如下果如下,试分析分析察蒸馏水的察蒸馏水的pH值和硫酸和硫酸铜的的浓度度对试验结果有无果有无显著影响著影响。B1B1
34、B2B2B3B3B4B4A1A13.53.52.62.62.02.01.41.4A2A22.32.32.02.01.51.50.80.8A3A32.02.01.91.91.21.20.30.3方差分析方差分析4)双因素双因素试验的方差分析的方差分析解解:B1B1B2B2B3B3B4B4（）2 2A1A13.53.52.62.62.02.01.41.49.59.590.390.3A2A22.32.32.02.01.51.50.80.86.66.643.643.6A3A32.02.01.91.91.21.20.30.35.45.429.229.27.87.86.56.54.74.72.52.521
35、.521.5163.0163.0（）2 260.8460.8442.2542.2522.0922.096.256.25131.43131.432 221.5421.5414.3714.377.697.692.692.6946.2946.29 方差分析方差分析4)双因素双因素试验的方差分析的方差分析代入公式得代入公式得152方差分析方差分析4)双因素双因素试验的方差分析的方差分析差异源差异源 MSMSFF值值F F0.010.01FF0.050.05FF0.100.10显著性显著性行行间间(A)(A)2.222.222 2 1.1111.11125.8025.8010.9210.925.145.
36、143.463.46列列间间(B)(B)5.295.293 3 1.7631.76340.9540.959.789.784.764.763.293.29误差误差0.260.266 6 0.0430.043总计总计7.777.771111 方差分析表方差分析表 分析分析结果是因素果是因素A,B对实验结果均果均为有特有特别显著的影响著的影响,因素因素B的的影响更大一些影响更大一些。要明确同一因素不同水平之要明确同一因素不同水平之间的的显著性差异著性差异,要要进行行LSD法法(t测验)及及LSR法法(新复极差新复极差测验 A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4A A5 51 13.33.34.14.17.57.59.69.69.89.82 25.85.84.34.38.98.98.98.99.59.53 33.23.24.24.28.58.58.88.810.210.24 43.53.54.14.18.68.610.010.09.79.7 确定因素之确定因素之间的的显著性差异如何？著性差异如何？