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1、3.1.1数系的扩充与复数的概念教学目标教学目标理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。教学重点教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。教学难点教学难点：复数及其相关概念的理解 引言：在人和社会的发展过引言：在人和社会的发展过程中，常常需要立足今天，回顾程中，常常需要立足今天，回顾昨天，展望明天。符合客观发展昨天，展望明天。符合客观发展规律的要发扬和完善，不符合的规律的要发扬和完善，不符合的要否定和抛弃。那么，在实数集要否定和抛弃。那么，在实数集向复数集发展的过程中，我们应向复数集发展的过程中，我们应该如何发扬和完善，否定和抛弃该如何发扬和完善，否定和
2、抛弃呢？呢？数数系系的的扩扩充充自然数自然数整数整数有理数有理数实数实数？NZQR用用图形表示包含关系：图形表示包含关系：复习回顾复习回顾复习回顾复习回顾知识引入知识引入知识引入知识引入对于一元二次方程对于一元二次方程 没有实数根没有实数根我们已知知道：我们已知知道：我们能否将实数集进行扩充，使得在新的我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？数集中，该问题能得到圆满解决呢？思考思考？引入一个新数：引入一个新数：满足满足满足满足 现在我们就引入这样一个数现在我们就引入这样一个数 i，把把 i 叫做虚数单位，叫做虚数单位，并且规定：并且规定：（1）i21；（2）实数可以
3、与实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结包括交换率、结合率和分配率合率和分配率)仍然成立。仍然成立。形如形如a+bi(a,bR)的数叫做复数的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做全体复数所形成的集合叫做复数集复数集，一般用字母一般用字母C表示表示.实部实部实部实部复数的代数形式：复数的代数形式：通常用字母通常用字母 z 表示，即表示，即虚部虚部虚部虚部其中其中 称为称为虚数单位虚数单位。复数集复数集C C和实数集和实数集R R之间有什么关系？之间有什么关系？讨论讨论？复数复数a+bia+b
4、i复数集，虚数集，实数集，复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？纯虚数集之间的关系？思考？思考？复数集复数集虚数集虚数集实数集实数集纯虚数集1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。5 +8，0 02 2、判断下列命题是否正确：、判断下列命题是否正确：（1 1）若）若a a、b b为实数，则为实数，则Z=a+biZ=a+bi为虚数为虚数（2 2）若）若b b为实数，则为实数，则Z=biZ=bi必为纯虚数必为纯虚数（3 3）若）若a a为实数，则为实数，则Z=aZ=a一定不是虚
5、数一定不是虚数例例1 实数实数m取什么值时，复数取什么值时，复数 是（是（1）实数？）实数？（2）虚数？）虚数？（3）纯虚数？）纯虚数？解解:（1）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是实数是实数（2）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是虚数是虚数（3）当当即即 时，复数时，复数z 是是纯虚数纯虚数练习练习:当当m m为何实数时，复数为何实数时，复数 是是 （1 1）实数）实数 （2 2）虚数）虚数 （3 3）纯虚数）纯虚数则我们知道若我们知道若如何定义两个复数的相等？如何定义两个复数的相等？注意注意：一般对两个复数只能说相等或不相等；：一般对两个复数只能说相等或不相等；不能比较大小不能比较
6、大小。00 如果两个复数的如果两个复数的实部实部和和虚部虚部分别相等，那分别相等，那么我们就说这两个么我们就说这两个复数相等复数相等例例2 已知已知 ，其中，其中 求求2.2.若若(2x(2x2 2-3x-2)+(x-3x-2)+(x2 2-5x+6)=0-5x+6)=0，求，求x x的的值值.1 1、若、若x x，y y为实数，且为实数，且 求求x x，y y解题思考：解题思考：复数相等复数相等的问题的问题转化转化求方程组的解求方程组的解的问题的问题一种重要的数学思想：一种重要的数学思想：转化思想转化思想1.1.虚数单位虚数单位i的引入；的引入；2.2.复数有关概念：复数有关概念：复数的代数
7、形式复数的代数形式:复数的实部复数的实部、虚部、虚部复数相等复数相等虚数、纯虚数虚数、纯虚数1-1B 你能否找到用来表示复数的你能否找到用来表示复数的几何模型几何模型呢？呢？xo1实数可以用实数可以用数轴数轴上的点来表示。上的点来表示。一一对应一一对应 规定了规定了正方向，正方向，直线直线数轴数轴原点，原点，单位长度单位长度实数实数 数轴数轴上的点上的点(形形)(数数)(几何模型几何模型)复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角建立了平面直角坐标系来表示复数的坐标系来表示复数的平面平面x轴轴-实轴实轴y轴
8、轴-虚虚轴轴（数）（数）（形）（形）-复数平复数平面面 (简简称称复平面复平面)一一对应一一对应z=a+bi概念辨析概念辨析例题例题平面向量平面向量实数绝对值的实数绝对值的几何意义几何意义:能否把绝对值概念推广到复数范围呢？能否把绝对值概念推广到复数范围呢？XOAa|a|=|OA|实实数数a在在数数轴轴上上所所对对应应的的点点A到到原原点点O的距离。的距离。xOz=a+biy|z|=|OZ|复数的绝对值复数的绝对值(复数的模复数的模)Z(a,b)复数复数 z=z=a+bia+bi在复在复平面上对应的点平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。到原点的距离。例例3 求下列复数的模：求下列复数的模：
9、(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i(3)(3)满足满足|z|=5(zC)|z|=5(zC)的的z z值有几个？值有几个？思考：思考：(2)(2)满足满足|z|=5(zR)|z|=5(zR)的的z z值有几个？值有几个？(4)z4=1+mi(mR)(5)z5=4a-3ai(a0)(1)(1)复数的模能否比较大小？复数的模能否比较大小？这些复这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形数对应的点在复平面上构成怎样的图形？图示图示xyO设设z=z=x+yi(x,yRx+yi(x,yR)满满足足|z|=5(zC)|z|=5(zC)的的复复数数z z对对应应的的点点在在复复平
10、平面面上上将将构构成成怎怎样的图形？样的图形？5555(A)在复平面内，对应于实数的点都在实在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上；轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上；虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数；数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。数都是纯虚数。辨析：辨析：1下列命题中的假命题是（下列命题中的假命题是（）D 2“a=0”是是“复数复数a+bi(a,bR)所所对应的点在虚轴上对应的点在虚轴上”的（的（）。）。(A)必要不充
11、分条件必要不充分条件 (B)充分不必要条件充分不必要条件(C)充要条件充要条件 (D)不充分不必要条件不充分不必要条件C例例2 已知复数已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数求实数m允许的取值范围。允许的取值范围。变式：变式：证明对一切证明对一切m，此复数所对应的此复数所对应的点不可能位于第四象限。点不可能位于第四象限。解题思考：解题思考：表示复数的点所表示复数的点所在象限的问题在象限的问题复数的实部与虚部所满复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题足的不等式组的问题转化转化(几何问题几何问题)(代数问题代数问题)一种重要的数学思想：一种重要的数学思想：数形结合思想数形结合思想