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1、11正弦定理正弦定理第一课时第一课时课课标标要要求求：1.通通过过对对三三角角形形中中边边角角关关系系的的探探索索，掌掌握握正正弦定理的推弦定理的推导过导过程程2理理解解正正弦弦定定理理及及适适用用范范围围，会会用用正正弦弦定定理理及及其其变变式式解决一些解决一些简单简单的解三角形的解三角形问题问题重重点点难难点点：本本节节重重点点：对对正正弦弦定定理理的的推推理理的的理理解解及及正正弦定理的掌握弦定理的掌握本本节难节难点：正弦定理的推理点：正弦定理的推理课标定位课标定位基础知识梳理基础知识梳理1正弦定理正弦定理在在一一个个三三角角形形中中，各各_和和它它所所对对角角的的_的的_相相等，即等，
2、即_.说说明明：(1)各各边边和和它它所所对对角角的的正正弦弦之之比比为为一一个个定定值值，这这个个定值为该三角形的外接圆直径；定值为该三角形的外接圆直径；(2)定理的变式定理的变式(R为为ABC外接圆的半径外接圆的半径)：边边正弦正弦比比2解斜三角形解斜三角形解解斜斜三三角角形形是是指指由由六六个个元元素素(三三条条边边和和三三个个角角)中中的的三三个个元元素素(至少有一个是至少有一个是边边)，求出其余三个未知元素的，求出其余三个未知元素的过过程程3正弦定理在解三角形中的作用正弦定理在解三角形中的作用(1)如如果果已已知知三三角角形形的的任任意意两两个个_与与一一_，由由三三角角形形_，可可
3、以以计计算算出出三三角角形形的的另另一一_，并并由正弦定理由正弦定理计计算出三角形的另两算出三角形的另两_(2)如果已知三角形的任意如果已知三角形的任意_与其中一与其中一边边的的_，应应用正弦定理，可以用正弦定理，可以计计算出另一算出另一边边的的对对角，角，进进而确定而确定这这个三角形其他的个三角形其他的_角角边边内角和为内角和为180角角边边两边两边对角对角边和角边和角课堂互动讲练课堂互动讲练题型一题型一题型一题型一已知两角及一边解三角形已知两角及一边解三角形如果已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角如果已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦
4、定理和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边计算出三角形的另两边已已知知在在ABC中中，c10，A45，C30，求求a、b和和B.【分析分析】已知两角及一已知两角及一边边，先利用内角和，先利用内角和为为180，求，求出出B，再利用正弦定理求解，再利用正弦定理求解例例例例1 1【点评点评】在运算过程中，要用到三角函数中在运算过程中，要用到三角函数中的公式，此题中对的公式，此题中对75角作了角作了“拆角拆角”变换变换1在在ABC中，中，a5，B45，C105，求边，求边c.变式训练变式训练变式训练变式训练已知三角形中两边和其中一边的对角解三角形问题，已知三角形中两边和其中
5、一边的对角解三角形问题，首先求出另一边的对角的正弦值，其次根据该正弦值首先求出另一边的对角的正弦值，其次根据该正弦值求角时，需对角的情况讨论是否有解，如果有解，是求角时，需对角的情况讨论是否有解，如果有解，是一解还是两解一解还是两解题型二题型二题型二题型二已知两边和其中一边的对角解三角形已知两边和其中一边的对角解三角形例例例例2 2【分析分析】ABC中已知两边和其中一边的对角，中已知两边和其中一边的对角，由正弦定理先求出另一边对角的正弦值，然后再求由正弦定理先求出另一边对角的正弦值，然后再求解其他边角解其他边角【点点评评】在在ABC中，已知两中，已知两边边a、b和和边边b的的对对角角B，解三角
6、形，解三角形时时可先用正弦定理求出角可先用正弦定理求出角A的正弦的正弦值值，确定，确定角角A时时解不确定，解不确定，应应注意注意讨论讨论，往往利用已知，往往利用已知边边a、b的的大小关系，得到角大小关系，得到角A与与B的大小关系，从而确定角的大小关系，从而确定角A的的解的个数解的个数互动探究互动探究互动探究互动探究判断三角形的形状主要有两条途径：判断三角形的形状主要有两条途径：化边为角；化边为角；化角为边化角为边题型三题型三题型三题型三利用正弦定理判断三角形的形状利用正弦定理判断三角形的形状在在ABC中中，若若acosAbcosB，求求证证：ABC是是等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角
7、形【分分析析】观观察察已已知知条条件件，可可以以应应用用正正弦弦定定理理把把边边化化为为角，再利用三角公式求解角，再利用三角公式求解【证证明明】由由正正弦弦定定理理的的变变式式得得a2RsinA，b2RsinB，acosAbcosB，2RsinAcosA2RsinBcosB，sin2Asin2B，2A2B或或2A2B，例例例例3 3【点评点评】利用正弦定理判断三角形的形状，关键是利用正弦定理判断三角形的形状，关键是将已知条件中的边角关系转化为角或边的关系本题将已知条件中的边角关系转化为角或边的关系本题应利用公式应利用公式a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC将边将边角统一后，再利用两角
8、和与差的正弦公式进行化简、角统一后，再利用两角和与差的正弦公式进行化简、判断，但由判断，但由sin2Asin2B，得角，得角A和和B的关系时容易漏的关系时容易漏掉掉2A2B.3在在ABC中，已知中，已知a2tanBb2tanA，试判断，试判断ABC的形状的形状变式训练变式训练变式训练变式训练规律方法总结规律方法总结常用的公式、结论常用的公式、结论ABC中角中角A、B、C的对边分别为的对边分别为a、b、c.(1)ABC180；(2)abAB2RsinA2RsinBsinAsinB；(3)若若角角A为为最最小小角角，则则0A60；若若角角A为为最最大大角角，则则A60；(4)勾股定理：勾股定理：ABC是以角是以角C为直角的直角三角形为直角的直角三角形a2b2c2sin2Asin2Bsin2CC90.ABC是以角是以角A为直角的直角三角形为直角的直角三角形b2c2a2sin2Bsin2Csin2AA90.ABC是以角是以角B为直角的直角三角形为直角的直角三角形a2c2b2sin2Asin2Csin2BB90.