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1、34.2基本不等式的应用基本不等式的应用课标定位课标定位基础知识梳理基础知识梳理1基本不等式与最值基本不等式与最值已知已知x、y都是正数，都是正数，(1)若若xys(和为定值和为定值)，则当，则当xy时，积时，积xy取得取得_.(2)若若xyp(积为定值积为定值)，则当，则当xy时，和时，和xy取得取得_.上上述述命命题题可可归归纳纳为为口口诀诀：积积定定和和最最小小，和和定定积积最最大大2利用基本不等式求最值时，应注意的问题利用基本不等式求最值时，应注意的问题(1)各项均为正数，特别是出现对数式、三角函数式等各项均为正数，特别是出现对数式、三角函数式等形式时，要认真判断形式时，要认真判断(2
2、)求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值值(3)确保等号成立确保等号成立以上三个条件缺一不可可概括为以上三个条件缺一不可可概括为“一正、二定、三一正、二定、三相等相等”(4)连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则不能求出最值条件是否一致，若不能同时取等号，则不能求出最值课堂互动讲练课堂互动讲练题型一题型一题型一题型一利用基本不等式求函数的最值利用基本不等式求函数的最值1运用该不等式求最值时，要注意三个条件：运用该不等式求最值时，要注意三个条件：(1)一一“正正
3、”(使用基本不等式时，各项必须为正数使用基本不等式时，各项必须为正数)；【分析分析】由题目可获取以下主要信息：由题目可获取以下主要信息：函数解析式为分式且分子的次数高于分母；函数解析式为分式且分子的次数高于分母；由由x1得得x10.解解答答本本题题可可先先对对分分子子添添项项凑凑出出因因式式x1，将将分分子子中中变变量量分分离离出出来来，再再添添项项凑凑出出乘乘积积为为定定值值的的形形式式，用用基本不等式求最值基本不等式求最值例例例例1 1【点评点评】(1)利用基本不等式求最值的关键是获得定利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的值条件，解题时应对照已知
4、和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式等方法创设应用基本不等式的条件的条件(2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法，等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法，如利用单调性、数形结合、换元法、判如利用单调性、数形结合、换元法、判变式训练变式训练变式训练变式训练在在利利用用基基本本不不等等式式求求最最值值时时，除除注注意意“一一正正、二二定定、三三相相等等”的的条条件件外外，最最重重要要的的是是构构建建“定定值值”，恰恰当当变变形、合理拆分形、合理拆分项项或配凑或配凑项项是常用的解是常用的解题题技巧技巧题型二题型二题型二题型二含条件
5、的最值的求法含条件的最值的求法已已知知x0，y0，且且xy4xy12，求求xy的最小值的最小值【分分析析】解解答答本本题题可可先先通通过过不不等等式式的的放放缩缩把把方方程程转转化化为为不不等等式式，然然后后通通过过解解不不等等式式求求范范围围例例例例2 2【点点评评】对于通过方程求条件的最值，一般有两种对于通过方程求条件的最值，一般有两种思路：一是通过不等式的放缩将其变为不等式；二是思路：一是通过不等式的放缩将其变为不等式；二是转化为函数问题比较来看，法一运算量小，但对转化为函数问题比较来看，法一运算量小，但对x、y的范围有限制，且要求取到的范围有限制，且要求取到“”；法二的适用范围更；法二
6、的适用范围更广，更好地体现了函数的思想广，更好地体现了函数的思想互动探究互动探究互动探究互动探究求求实际问题实际问题的步的步骤骤：(1)设设变变量量，建建立立目目标标函函数数，注注意意实实际际意意义义对对变变量量范范围围的影响的影响(2)利用基本不等式，求函数的最利用基本不等式，求函数的最值值(3)得出得出实际问题实际问题的解的解题型三题型三题型三题型三利用基本不等式解应用题利用基本不等式解应用题如如图图所所示示，动动物物园园要要围围成成相相同同面面积积的的长长方方形形虎虎笼笼四四间间，一一面面可可利利用用原原有有的的墙墙，其其他他各各面面用用钢钢筋筋网网围围成成(1)现现有有36 m长长的的
7、材材料料，每每间间虎虎笼笼的的长长、宽宽各各设计为设计为多少多少时时，可使每，可使每间间虎虎笼笼面面积积最大？最大？(2)若若使使每每间间虎虎笼笼面面积积为为24 m2，则则每每间间虎虎笼笼的的长长、宽宽各各设设计计为为多多少少时时，可可使使围围成成四四间间虎虎笼笼的的钢钢筋筋网网总长总长最小？最小？例例例例3 3【分分析析】由由题题目目可可知知，问问题题(1)中中材材料料一一定定，问问题题(2)中虎笼面积为定值中虎笼面积为定值解解答答本本题题可可设设每每间间虎虎笼笼长长x m，宽宽y m，则则问问题题(1)是是在在4x6y36的的前前提提下下求求xy的的最最大大值值；而而问问题题(2)则则是
8、是在在xy24的的前前提提下下求求4x6y的的最最小小值值，所所以以可可用用基基本本不不等式求解等式求解【解解】(1)设每间虎笼长设每间虎笼长x m，宽为，宽为y m，则由条件得则由条件得4x6y36，即，即2x3y18，设每间虎笼面积为设每间虎笼面积为S，则，则Sxy.【点评点评】在应用基本不等式解决实际问题时，应注在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最
9、小值问题；大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案正确写出答案变式训练变式训练变式训练变式训练规律方法总结规律方法总结1要要注注意意应应用用过过程程中中基基本本不不等等式式成成立立的的条条件件，尤尤其其是是取等号的条件是否具备，否则可能会出现错解取等号的条件是否具备，否则可能会出现错解2用用均均值值不不等等式式求求函函数数的的最最值值，是是值值得得重重视视的的一一种种方方法法，但但在在具具体体求求解解时时，应应注注意意考考查查下下列列三三个个条条件件：(1)函函数数的的解解析析式式中中，各各项项均均为为正正数数；(2)函函数数的的解解析析式式中中,含含变变数数的的各各项项的的和和或或积积必必须须有有一一个个为为定定值值；(3)函函数数的的解解析析式式中中，含含变变数数的的各各项项均均相相等等时时取取得得最最值值，即即用用均均值值不不等等式式求求某某些些函函数数的的最最值值时时，应应具具备备三三个个条条件件：一一正二定三相等正二定三相等