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1、【题型归类大全】2023年高考一复习学案（理科数学）考点08：指数与指数函数考纲传真1了解指数函数模型的实际背景2理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点4知道指数函数是一类重要的函数模型题型归类题型一：指数幂的化简与求值题型二：指数函数的图象题型三：指数函数的值域与最值题型四：指数函数的特征题型五：指数函数的单调性问题题型六：指数函数的性质及应用比较大小题型七：指数函数的性质及应用解不等式题型八：指数函数的性质及应用恒成立问题题型九：指数函数的性质及应用零点交点问题题型一 指数幂的化简与求值知识与方法1
2、根式(1)根式的概念若xna，则x叫做a的n次方根，其中n1且nN*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数a的n次方根的表示：xna(2)根式的性质()na(nN*)来2有理数指数幂(1)幂的有关概念：正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；负分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的性质：arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)指数幂的运算规律指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运
3、算规则进行化简，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂对于化简结果，形式力求统一(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数例1 (0.002)10(2)1()0.解析：原式150010(2)11010201.例2化简(x0，y0，b0)；解析：原式ab1.题型二 指数函数的图象知识与方法指数函数的图象与性质yax来ta10a1图象定义域R值域(0，)性质来过定点(0,1)当x0
4、时，y1；x0时，0y1当x0时，0y1；x0时，y1在R上是增函数在R上是减函数指数函数图象的画法画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.指数函数图象的应用(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解例1 若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_解析：曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所示，由图象可得：如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1,1例2若存在负实数使得方程2xa成立，则
5、实数a的取值范围是()A(2，) B(0，)C(0,2) D(0,1)解析：选C在同一坐标系内分别作出函数y和y2xa的图象，则由图知，当a(0,2)时符合要求例3设函数yx3与yx2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析(数形结合法)如图所示由1x2，可知1x38；1x20,1x21，b1，b0C0a0D0a1，b0解析：由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0，故选D.题型三 指数函数的值域与最值知识与方法
6、例1 函数f(x)3x1的值域为()A(1，) B(1，) C(0,1) D1，)解析：选B3x0，3x11，即函数f(x)3x1的值域为(1，)例2已知函数f(x)ex1，g(x)x24x3.若存在实数a，b，使得f(a)g(b)，则b的取值范围为()A2，2 B(2，2)C1,3 D(1,3)解析：选B由题易知，函数f(x)的值域是(1，)，要使得f(a)g(b)，必须使得x24x31，即x24x20，解得2x2.例3定义运算：a*b如1*2=1,则函数f(x)=2x *2-x的值域为 ()AR B(0，)C(0,1 D1，)解析f(x)2x*2xf(x)在(，0上是增函数，在(0，)上是
7、减函数，0f(x)1.答案C例4已知函数f(x)2x，函数g(x)则函数g(x)的最小值是0.解析：当x0时，g(x)f(x)2x为单调增函数，所以g(x)g(0)0；当xg(0)0，所以函数g(x)的最小值是0.题型四 指数函数的特征知识与方法例1 当a0且a1时，函数f(x)ax23的图象必过定点_解析：令x20，则x2，y132，故函数f(x)ax23的图象必过定点(2，2)答案：(2，2)例2若指数函数f(x)(a2)x为减函数，则实数a的取值范围为_解析：f(x)(a2)x为减函数，0a21，即2a3.例3不论a为何值时，函数y(a1)2x恒过定点，则这个定点的坐标是 ()A. B.
8、C. D.解析y(a1)2xa2x，令2x0，得x1，则函数y(a1)2x恒过定点.例4函数f(x)ax(a0，a1)的图象可能是()答案D解析函数f(x)的图象恒过(1,0)点，只有图象D适合题型五 指数函数的单调性问题知识与方法例1 若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_答案(，1)(1，)解析由y(a21)x在(，)上为减函数，得0a211，1a22，即1a或a0，b0，2a2a2b3b2b2b.令f(x)2x2x(x0)，则函数f(x)为单调增函数ab.例3设a，b，c，则a，b，c的大小关系是()Aacb BabcCcab Dbca解析：选A构造指数函数yx(
9、xR)，由该函数在定义域内单调递减可得bc；又yx(xR)与yx(xR)之间有如下结论：当x0时，有xx，故，即ac，故acb.例4已知a()，b2，c9，则()Abac BabcCbca Dcab解析：选Aa()22，b2，c93，由23得a，得ab，所以cab.故选A.题型七 指数函数的性质及应用解不等式知识与方法例1 若函数f(x)则不等式f(x)的解集为()A1,2)3，) B(，31，)C. D(1， 3，)解析：选B函数f(x)和函数g(x)的图象如图所示，从图象上可以看出不等式的解集是两个无限区间当x0时，是区间(，3，当x0时，是区间1，)，故不等式f(x)的解集为(，31，)
10、例2函数f(x) 的定义域为集合A，关于x的不等式2x2ax(aR)的解集为B，求使ABB的实数a的取值范围解：由0，解得x2或x1，于是A(，2(1，)，2x2ax2xax2xaxxa，所以B(，a)因为ABB，所以BA，所以a2，即a的取值范围是(，2例3 设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是()A(2,1) B(，2)(1，)C(1，) D(，1)(0，)解析：选B由f(a)1知或解得 或即a2或a1.例4若对于任意x(，1，都有(3m1)2x0，不等式(3m1)2x1对于任意x(，1恒成立等价于3m1x对于任意x(，1恒成立x1，x12，3m12，解得m1，m的取值范围是(
11、，1)故选C.题型八：指数函数的性质及应用恒成立问题知识与方法例1 设函数f(x)32x23xa2a5，当0x1时，f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是_解析：f(x)32x23xa2a5(3x1)2a2a6，0x1，13x3，函数f(x)32x23xa2a5在0x1上是增函数，f(x)0恒成立f(0)0，f(0)12a2a5a2a6(a3)(a2)0，a3或a2.例2已知f(x)x2，g(x)xm，若对x11,3，x20,2，f(x1)g(x2)，则实数m的取值范围是_解析x11,3时，f(x1)0,9，x20,2时，g(x2)，即g(x2)，要使x11,3，x20,2，f(x1)g(x2
12、)，只需f(x)ming(x)min，即0m，故m.答案例3若对于任意x(，1，都有(3m1)2x0，不等式(3m1)2x1对于任意x(，1恒成立等价于3m1x对于任意x(，1恒成立x1，x12，3m12，解得m0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_解析令axxa0即axxa，若0a1，yax与yxa的图象如图所示例2若直线y12a与函数y2|ax1|(a0且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是.解析：(数形结合法)当0a1时，作出函数y2|ax1|的图象，由图象可知02a1，0a1时，解得0a1矛盾综上，a的取值范围是.例3二次函数yx24x(x2)与指数函数yx的图象的交点个数是(C)A3 B2C1 D0解析：因为函数yx24x(x2)24(x2)，且当x2时，yx24x4，yx4，则在同一直角坐标系中画出yx24x(x2)与yx的图象如图所示，由图象可得，两个函数图象的交点个数是1，故选C.