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1、【题型归类大全】2023年高考一复习学案（理科数学）考点07：二次函数与幂函数考纲传真1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数yx，yx2，yx3，yx，y的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题题型归类1.幂函数的图象与性质2.利用幂函数比较大小问题3.与幂函数、二次函数有关的解不等式问题4.求二次函数的解析式5.二次函数的图象6.二次函数的单调性7.二次函数的最值8.含参数的二次函数的最值与值域9.与二次函数有关的恒成立问题10.二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系题型一：幂函数的图象与性质知识与方法幂函数(1)定义：
2、形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图象定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0)减，(0，)增增增(，0)和(0，)减公共点(1,1)规律方法幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)判断幂函数yx(R)的奇偶性时，当是分数时，一般将其先化为根式，再判断.(3)若幂函数yx在(0，)上单调递增，则0，若在(0，)上单调递减，则0.例1 幂函数yf(x)的图象过点(8,2)，则
3、幂函数yf(x)的图象是()AB CD解析：令f(x)x，由f(8)2得82，即232，解得，所以f(x)x，故选C.例2如图中曲线是幂函数yxn在第一象限的图象已知n取2，四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为()A2，2 B2，2C，2,2， D2，2，解析：选B由幂函数图象及其单调性之间的关系可知，曲线C1，C2，C3，C4所对应的n依次为2，2.例3幂函数yxm22m3(mZ)的图象如图所示，则m的值为()A1m3 B0C1 D2解析：选C从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m22m30，即1m(m2m1)，则实数m的取值范围是()A. B.C(1,2)
4、D.解析：因为函数yx的定义域为0，)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于解2m10，得m；解m2m10，得m或m.解2m1m2m1，得1m2，综上所述，m2.例3若(a1)(32a)，则实数a的取值范围是_解析：易知函数yx的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以解之得1a.例4已知点(m,8)在幂函数f(x)(m1)xn的图象上，设af，bf(ln)，cf，则a，b，c的大小关系为(A)Aacb BabcCbca Dbac解析：点(m,8)在幂函数f(x)(m1)xn的图象上，解得f(x)x3，且f(x)在(，)上单调递增，又1ln，acb，故选A.题型三：与幂函数、二次函数有关的解
5、不等式问题知识与方法例1 设函数f(x)则使得f(x)2成立的x的取值范围是_(，8当x1时，x10，ex1e012，当x0的解集为(D)Ax|2x2，或x2Cx|0x4，或x0.根据二次函数的性质可知，不等式f(2x)0的解集为x|2x2，或2x2x|x4，故选D.例3二次函数f(x)的图象经过点，且f(x)x1，则不等式f(10x)0的解集为()A(3,1) B(lg 3,0)C. D(，0)答案D解析由题意设f(x)ax2bx (a0)，则f(x)2axb，f(x)x1，f(x)x2x，令f(x)0，得3x0，不等式f(10x)0可化为010x1，x0，故选D.题型四：求二次函数的解析式
6、知识与方法)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点求二次函数解析式的方法二次函数解析式的求法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：(1)已知三个点坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x轴两交点坐标，宜选用两根式例1 若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.解析：由f(x)是偶函数知f(x
7、)图象关于y轴对称，所以a，即b2或a0，当a0时，则f(x)bx2，值域为(，0或0，), 不满足已知值域(，4，a0舍去，所以f(x)2x22a2，又f(x)的值域为(，4，所以2a24，故f(x)2x24.例2已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR)，xR.若函数f(x)的最小值为f(1)0，求f(x)的解析式，并写出单调区间自主解答由题意知解得f(x)x22x1(x1)2.故二次函数f(x)的单调递减区间为(，1，单调递增区间为1，)解析：例3已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8.求此二次函数的解析式解：依题意，知f(x)10的两根为x12，x21
8、，故可设f(x)1a(x2)(x1)，a0.即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值ymax8，即8，解得a4.故函数解析式为f(x)4x24x7.解析：例4已知二次函数yx22kx32k，则顶点位置最高时函数的解析式为yx22x5.解析：由题意可知yx22kx32k(xk)2k22k3，所以该函数的顶点坐标为(k，k22k3)设顶点的纵坐标为yk22k3(k1)24，所以当k1时，顶点位置最高，此时函数的解析式为yx22x5.题型五：二次函数的图象知识与方法例1 已知abc0，则二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()DA项，因为a0，0，所以b0.又因为abc0，所以c0，而f(0)
9、c0，故A错B项，因为a0，0，所以b0.又因为abc0，所以c0，而f(0)c0，故B错C项，因为a0，0，所以b0.又因为abc0，所以c0，而f(0)c0，故C错D项，因为a0，0，所以b0.又因为abc0，所以c0，而f(0)c0，故选D.解析：例2已知函数yax2bxc，如果abc，且abc0，则它的图象是()A B CD解析：选Dabc，abc0，a0，c0，yax2bxc的开口向上，且与y轴的交点(0，c)在负半轴上解析：例3若函数f(x)x2axb的图象与x轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f(x)()A在(，2上单调递减，在2，)上单调递增B在(，3)上单调递增C在1,
10、3上单调递增D单调性不能确定解析：选A由已知可得该函数的图象的对称轴为x2，又二次项系数为10，所以f(x)在(，2上是单调递减的，在2，)上是单调递增的解析：例4设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()解析：(1)A项，a0，0，b0.又abc0，c0，由图知f(0)c0，故A错；B项，a0，0，b0，又abc0，c0，而f(0)c0，故B错；C项，a0，0，b0，又abc0，c0，而f(0)c0，故C错；D项，a0，0，b0，又abc0，c0，由图知f(0)c0，故选D.题型六：二次函数的单调性知识与方法例1 函数f(x)(m1)x22mx3为偶函数，则f(x)在区间(5，
11、3)上()A先减后增 B先增后减 C单调递减 D单调递增解析：选D因为f(x)(m1)x22mx3为偶函数，所以2m0，即m0.所以f(x)x23.由二次函数的单调性可知，f(x)x23在(5，3)上为增函数解析：例2已知f(x)4x2mx5在2，)上是增函数，则实数m的取值范围是_解析：因为函数f(x)4x2mx5的单调递增区间为，所以2，即m16.答案：(，16例3已知函数f(x)x22ax3，x4,6，(1)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数；(2)当a1时，求f(|x|)的单调区间解(1)函数f(x)x22ax3的图象的对称轴为xa，要使f(x)在4,6上为单调函
12、数，只需a4或a6，解得a4或a6.故a的取值范围是(，64，)(2)当a1时，f(|x|)x22|x|3其图象如图所示又x4,6，f(|x|)在区间4，1)和0,1)上为减函数，在区间1,0)和1,6上为增函数例4已知函数f(x)x22ax2，x5,5(1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数解(1)当a1时，f(x)x22x2(x1)21，x5,5，所以当x1时，f(x)取得最小值1；当x5时，f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)(xa)22a2的图象的对称轴为直线xa，因为yf(x)在区间5,5上是单调函数，所以a
13、5或a5，即a5或a5.故a的取值范围是(，55，)题型七：二次函数的最值知识与方法二次函数最值的求法,二次函数的区间最值问题一般有三种情况：对称轴和区间都是给定的；对称轴动，区间固定；对称轴定，区间变动.解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合，三点指的是区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴.具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解.对于、，通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论.例1 已知函数f(x)x22x，若x2,3，则函数f(x)的最大值为_. 答案8解析f(x)(x1)21，2x3(如图)，f(x)maxf(2)8.解析：例2已知函数f(x)x22x，若x2
14、，a，求f(x)的最小值解函数yx22x(x1)21，对称轴为直线x1，x1不一定在区间2，a内，应进行讨论，当21时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当x1时，y取得最小值，即ymin1.综上，当21时，ymin1.题型八：含参数的二次函数的最值与值域知识与方法二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的最值情况进行分类讨论由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数直接求最值两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离这两个思路的依
15、据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.例1 已知函数f(x)ax22ax1在区间1,2上有最大值4，则实数a的值为_解析：f(x)a(x1)21a.(1)当a0时，函数f(x)在区间1,2上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a；(3)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，最大值为f(1)1a4，解得a3.综上可知，a的值为或3.例2已知函数f(x)x24x，xm,5的值域是5,4，则实数m的取值范围是(C)A(，1) B(1,2C1,2 D2,5解析：f(x)x24x(x
16、2)24，当x2时，f(2)4，由f(x)x24x5，解得x5或x1，要使函数在m,5的值域是5,4，则1m2，故选C.例3已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_答案1,2解析如图，由图象可知m的取值范围是1,2例4已知函数f(x)x22ax2a4的定义域为R，值域为1，)，则a的值为_答案1或3解析由于函数f(x)的值域为1，)，所以f(x)min1.又f(x)(xa)2a22a4，当xR时，f(x)minf(a)a22a41，即a22a30，解得a3或a1.题型九：与二次函数有关的恒成立问题知识与方法规律方法形如f(x)0(f(x)0)恒成立问题的求解
17、思路(1)xR的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解.(2)xa，b的不等式确定参数范围时，根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求参数的取值范围.分离参数，变为ag(x)或ag(x)恒成立问题，然后再求g(x)的最值.(3)已知参数ka，b的不等式确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.例1 已知x1,1时，f(x)x2ax0恒成立，则实数a的取值范围是()A(0,2) B(2，) C(0，) D(0,4)解析：二次函数图象开
18、口向上，对称轴为x，又x1,1时，f(x)x2ax0恒成立，即f(x)最小值0.当1，即a2时，f(1)1a0，解得a，与a2矛盾；当1，即a2时，f(1)1a0，解得a2，与a2矛盾；当11，即2a2时，(a)240，解得0a2.综上得实数a的取值范围是(0,2)例2对于任意a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，那么x的取值范围是()A(1,3) B(，1)(3，)C(1,2) D(3，)解析：选Bf(x)x2(a4)x42a(x2)ax24x4，令g(a)(x2)ax24x4，由题意知即解得x3或x1，故选B.解析：例3设函数f(x)ax22x2，对于满足1x0，则实数a
19、的取值范围为_解析：由题意得a对1x4恒成立，又22，.例4设函数f(x)mx2mx1，若对于x1,3，f(x)m4恒成立，则实数m的取值范围为(D)A(，0 B.C(，0) D.解析：由题意，f(x)m4对于x1,3恒成立即m(x2x1)5对于x1,3恒成立当x1,3时，x2x11,7，不等式f(x)m4等价于m.当x3时，取最小值，若要不等式m对于x1,3恒成立，则必须满足m，因此，实数m的取值范围为，故选D.题型十： 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系例1 对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A是的零点 B1是的极值
20、点 C3是的极值 D. 点在曲线上1.解析 观察四个选项会发现B,C这两个选项是“配套”的，所以以此为切入点，假设B,C正确，即为的顶点.由于抛物线开口向下时，D肯定错；抛物线开口向上时，A肯定错. 由此说明A与D中必有一个错误.假设A正确，则有，与条件为整数矛盾，说明A错误. 故选A.例2已知函数f(x)x24xa3，aR.(1)若函数f(x)在(，)上至少有一个零点，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在a，a1上的最大值为3，求a的值解：(1)由164(a3)0，得a1.故实数a的取值范围是(，1(2)f(x)(x2)2a1.当a12，即a2，即2时，f(x)maxf(a1)a2a3，解得a，a(舍去)综上，a0或a.