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1、目录【摘要】1一、逆向思维是什么2二、如何培养数学逆向思维2（一）数学基础知识教学中逆向思维的培养。21.加强定理、定义的再认识和逆理解，对定理、定义的内涵进行深度挖掘。32.注意公式、法则的逆应用，发现公式、法则间的互逆运算。43.对数学性质的逆变形熟练掌握，分析性质的应用规律。5（二）对解题中逆向思维应用的培养。61.计算问题中逆向思维的培养。62.证明问题中逆向思维的培养。8三、结语10致谢11参考文献1212 对培养学生数学逆向思维的再认识【摘要】逆向思维是从某个事物相反面思考的一种思想方法。在数学教学过程中，教师习惯性按照正向思维的方向展开教学，忽视逆向思维在数学学习中的重要作用。培
2、养学生数学逆向思维有利于学生打破思维定势，转变思考方向，提高逻辑思维能力，以实现核心素养下的发散思维和创新能力。教师要在数学基础知识和解题应用两类教学情境中，逐步培养学生利用逆向思维思考问题，能够做到将正向思维和逆向思维两者结合，灵活运用。【关键词】逆向思维；高中数学；培养 Re-understanding of Cultivating Students Reverse Thinking in MathematicsAbsrtactReverse thinking is a method of thinking from the opposite side of something. In t
3、he process of mathematics teaching, teachers habitually carry out teaching according to the direction of positive thinking, ignoring the important role of reverse thinking in mathematics learning.Cultivating students mathematical reverse thinking is helpful for students to break the thinking set, ch
4、ange the direction of thinking, and improve the ability of logical thinking, so as to realize the divergent thinking and innovation ability under the core accomplishment. Teachers should gradually train students to use reverse thinking to think problems in two kinds of teaching situations: basic kno
5、wledge of mathematics and application of problem solving.Keywords reverse thinking,high school mathematics, cultivation一、逆向思维是什么逆向思维也叫做求异思维，它指的是对习以为常看起来板上钉钉的事物或观点反过来思考的一种思维方式。在生活中，按照思维习惯，人们往往顺应事物发展的正方向去思考问题，解决问题。此时，与这种正向思维相对的，当人们都朝着一个形成定势的思维方向思考问题的时候，而你却能够向着相反的思维方向思考。这种出其不意的逆向思维的方式往往能够快速简洁地解决问题，做到事半
6、功倍的效果。逆向思维作为一种生活中常见的思维方式，它在数学解题中也发挥着重要的作用。对于一些数学问题来说，从它的论断推回去，从求结果回到原有条件，思考的反向化往往会简化问题。在数学学习过程中，受思维定势的影响，学生往往会按照固有的思维方式思考数学问题。但这种方式往往会造成问题思考不足，方向单一，缺乏灵活性，难以有效解决问题，而数学需要学生能够做到触类旁通和举一反三。因此，教师在教学经过中需要善于利用逆向思维对学生进行引导，培养学生的逆向思维。教师培养学生的逆向思维有助于学生发散思维，从各个方面理解数学知识并应用知识解决问题。另外，还有助于学生在求解过程中解析题目，找到更为简捷的求解方式，提升求
7、解效率。为此，教师应从教学中多个方面对学生的逆向思维进行培养。二、如何培养数学逆向思维（一）数学基础知识教学中逆向思维的培养。所谓的逆向思维也就是指从某物的对立方向去思考问题，寻找解题方法的一种思想方法。在中学数学基础知识教学过程中，利用逆向思维可以加深学生对定理、定义、公式、法则、性质等的理解和应用。对学生培养反向思考问题的方式，还可以增强学生利用逆向思维变形基础知识来剖析问题和解决问题的能力，提高学习效率。1.加强定理、定义的再认识和逆理解，对定理、定义的内涵进行深度挖掘。数学中的定理、定义是数学学习中最基础的知识点，也是最容易记忆的，大部分学生往往会把课本上给出的定理、定义背得滚瓜烂熟。
8、由于定义、定理是对某一事物的描述，内容相对更为枯燥，所以造成很多学生只知其一不知其二，一旦把定理、定义换种说法或者换个形式表达出来，他们就会觉得一片茫然、无从下手了。这种情况就会导致一部分学生虽然课本上的定理、定义都会背，但就是不会用，遇到题目看不懂。因此，在教学过程中，教师应多加强对定理、定义变形认识的讲解，注意在例题讲解中对学生逆向思维的训练，从多个方面挖掘定理、定义内涵，使学生学得会、用得清。以高中数学课本中关于等差数列的定义为例：“一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。”大部分学生通过这个定义可以知道什么叫做等差数列，那如果我们
9、给它换一个说法呢？比如，等差数列长什么样？（）和（）这样的是不是等差数列？这个时候就有学生迷糊了，不知道怎么判断了。这个时候就需要教师引导学生逆向思考等差数列的定义，把条件和结论相互颠倒理解。从第2项起后一项与前一项的差都是同一个常数的叫做等差数列，反过来，如果一个数列是等差数列，那么这个数列必须满足从第2项起后一项与前一项的差都是同一个常数。那对于这个数列只需要验证后一项与前一项的差是不是同一个常数，把第一个稍加变形为（），很显然第一个数列前后两项相差都为1，第二个数列前后两项相差不为同一个常数，所以（）是等差数列，（）不是等差数列。在这种形式下，教师在教学过程中对学生所熟悉的书本定义进行反
10、向引导理解，能够有效地发散学生思维，使学生熟悉定义，加深学生对定义的理解，进一步理解题目中隐藏的定义的变形，这也有利于后续关于该知识网络的构建。另外，从更广意义上来说，数学课本中许多定理、定义的引入也是为了方便学生逆向思维的培养，类似于倒数、逆否命题等概念都是逆向思维的一种体现，这些定理、定义的出现也是为后续学习中逆向思维应用做铺垫，并且在整个数学学习解题过程中应用极为频繁，教师对学生思维的反向引导也有利于整个数学解题网络的构建。2.注意公式、法则的逆应用，发现公式、法则间的互逆运算。在高中数学学习中，数学公式、法则往往是运用最广泛、变形最为多样的。与数学定义相比较，数学公式相对简洁易懂，记忆
11、起来也更有章法，但数学公式的难点在于其多变性，往往一个数学概念的背后紧跟着多个数学公式、法则，所以数学公式、法则的应用更为灵活，对学生的思维灵活性具有挑战。因此在教学过程中，教师应该注意发散学生思维，对相关公式、法则应着重培养学生的逆向思维，从而加强学生对公式的理解，另外，教师还要引导学生挖掘公式在题目中的逆应用，利用公式的互逆运算解决问题。在高中数学中，三角函数一直是学习的重难点，其中包含着许多三角函数公式，若是想要灵活地运用这些公式，就需要教师在教学过程中多给出一些有关公式逆应用题目的练习，例如这样一道题目：“化简”，这道题目刚看第一眼觉得很复杂，感觉不在所学的范围内，所以对于刚开始学三角
12、函数恒等变化这一部分内容的学生来说，遇上这样的题目觉得束手无策，但我们把这个冗长的题目分开比较来看，发现它们的分母可以进行通分，那么进行通分运算后变成了，再去括号得，进行到这一步，根据之前学过的三角函数倍角公式，我们可以很容易的发现它恰巧是和的逆运算，所以显而易见，这道题目需要我们把它进行二倍角逆变形成，而后再进行的步骤就是把我们所熟悉的代入,最终化简的结果为。由这道题目推及到更多的题目，可以发现数学中许多公式都存在着逆应用，并且以这些公式的逆应用为基础，衍生出更为复杂的问题。因此，教师应注意以例题训练学生，以公式、法则逆应用考察学生，锻炼学生自主思考以逆向思维理解和应用公式的方式。在公式、法
13、则中培养学生的逆向思维，一方面有利于提高学生对公式逆运算的敏感度，加深对公式、法则的认识，另一方面也可以帮助学生在数学解题过程中分析题目，提高学生的逻辑思维能力，培养其思维的灵活性。3.对数学性质的逆变形熟练掌握，分析性质的应用规律。在高中数学知识点中，数学性质与数学概念相比，数学性质更容易记忆和理解理解，也更经常应用在题目之中，两者之间学生更喜欢数学性质。因此，数学性质的难点不在于理解，而是在于应用。在课堂上讲授性质这一内容时，教师往往采用的是比较观察、总结规律的方式，而到了性质应用的时候，往往有一些题目并不适合直接套用性质，这一类题目考察的是性质的逆应用，也就是“反其道而行之”。要想能够用
14、得好性质，就需要教师在指导学习数学性质教学过程中，注意对学生逆向思维的培养，让学生能够对逆变形后的性质熟练掌握，进一步加深对数学概念和性质的理解。高中阶段的性质很多，其中函数的性质占据了很大一部分，函数的单调性、奇偶性、周期性等在各类题目中均有涉及，在这里我们以这样一道题目为例：“已知函数是奇函数。（i）求实数m的值；（ii）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围。”首先分析该题，根据题目中的条件，已知的是函数是奇函数。关于奇函数，我们说对于函数的定义域内的任意一个x,都有，那么就叫做奇函数。既然题目已经告诉我们结论了，我们就可以利用逆向思维方式，把函数的奇偶性进行逆变形，把结论当条件去推
15、导原条件。因此，我们把函数的奇偶性变形成：“如果函数是奇函数，那么对于函数的定义域内的任意一个x,都有。”根据逆向变形后的性质，第一问轻而易举地能解出来，因为函数是奇函数，所以，代入得，所以。有了第一问的铺垫，第二问已知函数在区间是单调递增的，我们再把函数的单调性进行逆应用，若函数在区间上单调递增，那么当时，都有，结合的图像知，函数在区间上是单调递增的，因此有，所以实数a的取值范围是。我们这里选取的例题涉及的是函数的基本性质，而在后续的学习过程中，由此基础下性质的变形会更复杂。因此，教师在教学过程中要注重性质的推导过程，对性质进行深入解析，引导学生观察性质是否正逆都能行得通，并利用相应的例题辅
16、佐，在教学过程中打好性质逆变形的基础，这不仅有利于学生能够分析数学性质之间的联系，总结性质在应用中的规律，还有利于教学效率的提高，实现基于核心素养下的素质教育。（二）对解题中逆向思维应用的培养。逆向思维方式不仅在学习数学基础知识的过程中发挥着重要的作用，还在解题过程中发挥着更重要的作用。数学基础知识的学习是为解决题目打基础，所以对于某些题目来说，将逆向思维方法应用到解题过程中，既能事半功倍、行之有效地解决问题，又能巩固数学基础知识，加深对基础知识的理解。一般而言，学生的思维方式是顺着题目正向解题，但由于数学题目的多样性，对于一些题目来说，这种思维方式往往会造成解题过程复杂繁琐，分类讨论形式多种
17、多样，解题结果五花八门，有的甚至无法得到结果，准确率极低。因此，对于这样的题目教师就需要加以引导，指导学生转变思维方式，利用逆向思维解决问题，发散学生思维，让学生体会到逆向思维方法解决题目既方便快捷，准确率又高，从而学生能够在以后的解题过程中灵活运用。对于高中数学而言，考察的题目类型主要分为计算和证明两大类型，而逆向思维方法常常在这两类题目中发挥着重要的作用。在两大题目类型下的函数、概率、数列、几何图形等问题中，许多解题方法例如逆推法、分析法、反证法、举反例等等，都与逆向思维有着不可分割的联系。教师要在这些题目中教授解题方法，培养学生利用逆向思维方法解题的能力，构建逆向思维解题网络。1.计算问
18、题中逆向思维的培养。在高中数学中，计算问题是最基础也是最常出现的“常青树”，由于数学公式、法则的数量繁多，所以计算问题的类型也是变化多样的。在高考中，计算问题占了不小的一部分，无论是选择题、填空题，还是解答题，都有计算的影子，在一些热门的函数、概率问题中常常选用计算作为考察方式。对于一些计算问题，按照题目给出的正向解题方向解题不仅步骤复杂，计算量大，而且还正确率偏低，这时，如果对这些题目运用逆向思维的方法解题，解题效率就会大大提高，所以，教师在这类计算问题中要注意培养学生逆向思维，精讲思考解题过程，引导学生养成利用逆向思维灵活解决问题。例如，给出这样一道题目：“甲选手参加射击比赛，甲射中的概率
19、为，假设各局比赛相互独立，那么五局过后甲至少射中一次的概率为多少？”这是一道很典型的概率题目，我们按照题目给出的信息分析问题，要求的是甲至少射中一次的概率记为事件A，最直接的方法就是按照我们一贯的思维方式正向解题，分类讨论。按照甲射中一次、两次、三次、四次、五次的情况分别考虑，一共有5种情况，我们把这些考虑到的情况一一算出来，再把这些结果加起来就是我们要求的问题。那回过头来再看整个的解题步骤，考虑的情况多，计算量大，过程相当繁琐，并且一不小心漏掉一个情况或者算错了一个数就会前功尽弃，这个时候，我们就可以考虑换种思维方式，从题目分析，问题是甲至少射中一次的概率记为事件A，那它的对立面就是甲全都没
20、有射中的概率记为事件B，两者互补，即,因此我们只要考虑事件B这一种情况，那么原来的问题就迎刃而解了。这种逆向思维解题法与前一种正向思维解题法相对比，两者优劣显而易见。从这样一个概率问题中学生就可以体会到逆向思维解题方便快捷，过程简洁，同时还能学习到一种方法补集法，这种方法也是逆向思维方法的一种，所以对于这种问题，教师在讲授时注意引导学生对正向思维和逆向思维的优劣的比较，引导学生主动选择逆向思维方式思考问题，逐步培养学生的逆向思维。其实，逆向思维不仅在这种概率问题中发挥着作用，它还在其他类型的计算问题中有所体现，当我们面对看似复杂的题目该怎么做呢？以一道高中模拟题为例：“求方程的实数解”，从题目
21、中我们得到的隐藏信息是x0（原方程左边必为正数得知右边也为正数），所以可以把原方程变形为，再根据隐藏信息去括号为，这道题目变形到这里如果还按照等式的计算方向是行不通的，那么我们就要思考既然正向走不通，那我们就从它的反向试试，等的逆向就是不等，根据变形出的等式的特点，我们可以考虑利用均值不等式对其进行转化，那么这道题目就可以变成，上式等号成立，其充要条件是，（x0）,解得，即原方程的实数解为1，这样我们就把问题解决了。由此可以看出，当遇到等式解决不了的时候，我们可以考虑利用不等式，这种由等向不等的转化也是逆向思维方法。在这种计算问题中，我们可以总结出，当正向思维方向行不通的时候，逆向思维或许就是
22、正确的解题方向。一道题目往往给出的不是方向，而是条件，教师要在计算问题中训练学生正向思维和逆向思维相结合，两者灵活运用，拓宽解题思路，明晰计算方向，从而更好地培养学生的发散思维和创造力。2.证明问题中逆向思维的培养。逆向思维就是指从事物表述的反向进行思考，基于这一特征，逆向思维方法在证明题中是较为常见且应用较为频繁的，我们所熟知的分析法、反证法都属于逆向思维的方法，在某些证明题中的应用逆向思维方法不仅能够快速理清思路，行之有效地解决问题，而且还能有效地降低解题的复杂度，缩短解题步骤。在以证明题训练学生逆向思维的过程中，教师要注意引导学生反向思考，逆向解题，逐步在学生的脑海中构建逆向思维解题框架
23、。在高中阶段，函数问题一直是个热门，在证明题中更是变化多样，如：“设二次函数，求证：，中至少有一个不小于”，分析这道题目，这是一个一元二次函数，题目中有x、p、q三个未知数，因此直接证明，中至少有一个不小于不是那么容易，既然正向走行不通，那么就要用逆向思维方法反向解题，这里我们可以运用反证法，反证法是逆向思维方法的一种，指的是证明某个命题时，先假定该命题的否定命题成立，然后从这个命题的否定命题出发，概括命题的条件和已知的真命题，逐步推理，得出与事实相矛盾的结果，证明命题的否定命题不成立，从而间接证明原命题的成立。因此，根据这道题目，先假设，都小于，则，这是我们得到的第一个式子，另一方面，由绝对
24、值不等式的性质得，而根据二次函数又有，所以，这是我们得到的第二个式子，由于第一、二两式的结果相互矛盾，所以假设不成立，原来的结论是正确的，此题得证。反证法作为逆向思维的典型代表，其在证明题中使用的频率很高，这也从侧面反映了逆向思维在解题方法中占据了较为重要的地位。在高考题目中，函数也常常与数列结合在一起考察，当两者同时出现时，我们又怎样以逆向思维的方法解题呢？例如，给出一道题目：“已知函数，数列满足，。求证：（I）；（II），。”首先，我们分析题目，有函数，有数列，根据已知条件，第一问，得证。那么第二问我们可以记，之后如果强行把拿过来用就会觉得难以进行，那如何运用反向解题法呢？此时就需要借用到
25、之前提到过的倒数，倒数的概念也是逆向思维方式的一种体现，因此，有了第一问的铺垫，对，对其取倒数，可得，所以 ，运算到这一步就可以发现与的联系，因此，经计算数列是递增数列，而当时，所以当时，因此，原不等式得证。回顾整道题目，关键的一步在对取倒数，取倒数在一些分数型的代数题中较为常见，在数列题中是一种重要的解题法，与之前的反证法相比，取倒数法较为局限，但两者都同属于逆向思维方法，还有我们所熟知的数学归纳法、分析法等，这些方法一起共同构成了逆向思维解题网络，教师是网络中的绘点者，学生就是网络路线的连接者，对于证明题，教师要在例题中传授逆向思维解题方法，注意先证明什么，后证明什么，引导学生多思考，尽可
26、能的把每一个证明步骤细致入微，让学生理解逆向证明的好处，逐步养成双向思考问题的习惯，为逻辑思维能力的提升打下坚实的基础。三、结语 经过以上的分析，我们可以得出，当遇到正面比较抽象、比较困难无法解决的问题时，不妨从它的反面入手解决问题。逆向思维能力不仅是学生核心素养中的重要素养，同时也是学生思维能力中，特别是发散思维的主要表现。然而事物都有利弊两面，逆向思维也并不是适用于任何问题，教师要做的就是培养学生把正向思维和逆向思维结合，摆脱思维定式，将两者灵活运用于不同的问题。从另外的意义上说，我们要将正向思维和逆向思维结合形成“定势”，只有两者都能熟练掌握，双向思考，才能相辅相成，在学习和解题过程中做
27、到事半功倍的效果，从而真正促进数学学习和解题能力的提升。致谢首先要我要感谢我的指导老师，本次论文是在xxx老师的悉心指导下完成的。导师对我的教诲如沐春风，他丰富的专业知识，缜密的治学态度，一丝不苟的工作作风，淳淳教导的高尚师德时时刻刻激励着我。本次论文从选题到完成，每一步都是在导师的悉心指导下完成的，在此谨向傅老师致以衷心的感谢和崇高的敬意。此外，我完成这篇论文的每一块基石都是由多年来传授我知识的老师们、帮助我和支持我的同学们、给我提供优良条件的学校共同搭建的，我要感谢所给予遇我帮助、不断激励我的同学、老师和学校。最后，我要感谢的是我的家人们，是你们永远都在的鼓励和支持给了我最坚强的后盾，无论在我快乐还是在我失意的时候都一如既往的陪着我，我会更加努力。不服你们的期望。不忘初心，砥砺前行，前路漫漫，走出校园后我依然会乘风破浪，奋勇直前。参考文献1 郑毓信.数学方法论M.广西：广西教育出版社,1996.2 王银军.中学数学教学中逆向思维能力的培养J.学周刊,2015,No.247,156-157.3 沈文选，杨清桃.数学方法溯源M.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社,2018.4 于健.中学数学教学中逆向思维的培养J.数学之友,2015,21-22.