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1、关于二重极限与累次极限的一些讨论摘要 函数极限既是数学分析中一个重要的概念同时也是一种重要的研究工具，以极限作为工具研究函数是高等数学区别于初等数学的重要特征。二元函数中若自变量从任何方向沿任何路径向定点逼近时，对应的函数值都逼近一确定常数，则称该常数为二元函数在点定点处的二重极限，简称重极限。若两个自变量按一定的先后次序相继逼近定点时，两个一元函数的极限均存在，这就是累次极限。本文主要讨论二元函数的重极限和累次极限在存在性方面的关系以揭示这两种极限之间的内在区别和联系，同时讨论如何借助这种联系简化复杂的重极限的计算。关键词 二重极限 累次极限 存在性 Some discussions on
2、double limit and repeated limitAbstract The limit of function is not only an important concept in mathematical analysis but also an important research tool.In a binary function, if the independent variable approaches the fixed point along any path from any direction, the corresponding function value
3、 approaches a certain constant, then the constant is called the double limit of the binary function at the point and fixed point, referred to as the double limit.If two independent variables approach a fixed point in a certain order, the limits of two unary functions exist, which is the recurrent li
4、mit.In this paper, we mainly discuss the relation of the existence between the heavy limit and the recurrent limit of the function of two variables, so as to reveal the inner difference and relation between the two kinds of limits, and discuss how to simplify the calculation of the complicated heavy
5、 limit with the help of this relation.Key words Double limit Repeated limit Existence 目 录摘 要1Abstract1引 言11.绪论11.1研究背景11.2课题相关研究现状11.2.1国外研究现状11.2.2国内研究现状21.3研究意义21.4研究方法21.5研究思路22.二重极限与累次极限的概念32.1二重极限的概念32.2累次极限的概念33.二重极限与累次极限的存在性关系43.1重极限和一累次极限存在，它们必相等43.2重极限和两累次极限都存在，则三者是相等的43.3重极限存在，但两累次极限都不存在43
6、.4两累次极限存在且相等，但重极限未必存在53.5两累次极限存在但不相等，重极限一定不存在53.6两累次极限都不存在，重极限也不存在53.7两累次极限中仅有一个存在，重极限不存在54.二重极限与累次极限的应用65.结论7参考文献7致 谢7引言函数极限既是数学分析中一个重要的概念同时也是一种重要的研究工具，以极限作为工具研究函数是高等数学区别于初等数学的一个重要特征。一元函数因自变量只有一个，即自变量只能沿着数轴方向逼近，因此其极限问题较为简单。而多元函数，因自变量的个数多余一个，其自变量变化的方式也就更为复杂，以二元函数为例，自变量可以从任何方向沿任何路径向定点逼近，同时两个自变量，也可以按照
7、一定的先后次序相继逼近，这就导致了二元函数极限问题相较一元函数更为复杂。若自变量从任何方向沿任何路径向定点逼近 时，对应的函数值都逼近一确定常数，则称为二元函数在点的二重极限，简称重极限。若两个自变量，按一定的先后次序相继逼近定点时，对应的函数值能无限接近某一确定常数，则把该常数称为这一次序下的累次极限。本文主要讨论二元函数的重极限和累次极限在存在性方面的关系以揭示这两种极限之间的内在区别和联系，同时讨论如何借助这种联系简化复杂的重极限的计算。1.绪论1.1 研究背景数学分析是数学专业学习的三大基石课程之一，它的极限理论思想贯彻到数学的各个层次领域，我们学好极限的概念性质，能帮了解数学，认知数
8、学的价值。用极限方法解决数学问题，推动着人们研究数学应用数学，而二重极限更在多元函数中占主导地位，它不仅学生之前学习的一元函数的连续性收敛性进行巩固，更为后面学习累次极限多元函数连续性和求多元函数的偏导数打下坚实的基础。同时对于二重极限与累次极限人们经常混肴它们的概念，通过本文我们理清它们的区别和联系。1.2课题相关研究现状1.2.1国外研究现状古希腊大数学家欧多克斯提出了“穷竭法”，引起了人们对与“无限大”的好奇。由于当时的经济水平和发展力比较落后，人们对于无穷小这一概念还停留在摸索阶段，直到17世纪航航运动的兴起，带动了天文学，数学的发展，人们的测量工具和认知力有了进一步发展，踊跃出新一代
9、的中坚力量，他们发现“无穷小”在思维上有很大缺陷，打开了人们狭隘的思维，进而导致了“第二次数学危机”，其中最突出的是：柯西变量极限的提出。他打破了常规思维首次将极限引入到数轴上，推动了极限向计算发展，同时他提出了一致性连续性的概念，使得极限的概念更加直观易懂。维尔斯特拉斯总结了前人的经验提出了“”理论，奠定了我们今天学习数学分析的基础。二重极限和累次极限对我们学习极限起着巩固加深的作用，极限理论的提出开拓了我们的视野，加之计算机的广泛应用，它经常出现在数学建模上，用于分析数据的变化趋势。1.2.2国内研究现状我国的极限思想最早追溯于战国末期的庄子，它开启了我们学习极限的开端，再后来刘微发明了“
10、割圆术”，在时代的进步中，一切的一切无不透露着极限的气息。近现代数学家许汪涛在关于多元极限提出了二重极限和累次极限是两种不同的概念，我们不能混淆它们；5与此同时，张俊显和罗志敏他们为我们深入探究二重极限与累次极限举出了一些特例等等。1.3研究意义二元函数与一元函是相似的，对它深入了解有利于我们研究多元函数。我们学习完二重极限与累次极限，为我们计算多边形面积和多面体体积打开了心思路，同时让数学应用于生活。1.4研究方法1.文献调查法研究通过阅读文章、参考文献，收集、分析国内外有关的论文或著作，了解了二重极限与累次极限的相关信息，从而对二重极限与累次极限化的研究现状和未来发展趋势也有了深一步的认识
11、。2.文献研究法通过阅读文献，广泛收集资料，对资料进行探索等，了解课题的一些发展现状，帮助我确定课题，有助于我对二重极限与累次极限进行全面的认识或理论铺垫，形成论文的理论部分。3.文献分析法通过阅读分析文件，对于如何解决对二重极限与累次极限有了更深刻的思考，对二重极限与累次极限有了更深层次的理解，更加科学的把握二重极限与累次极限的本质特点。1.5研究思路我们首先回顾下一元函数的极限的定义引出我们要学习的二元函数的极限的定义，再由自变量的变化方式不同进行剖析，将二元函数的极限分为二重极限与累次极限，再探讨二重极限与累次极限的存在性关系。2.二重极限与累次极限的概念2.1二重极限的概念 我们知道一
12、元函数极限的定义，当时的极限：,存在，当时，有。下面给出二元函数在点的二重极限的概念定义1 设二元函数，定义域D。是D的一个聚点，A为常数，若,当时，对应的函数值满足,则称A为的，当X趋近于时的二重极限。记作，或。定义2 设二元函数定义在上，为D的一个聚点，A是一个实数。若，,使得当时都有，则称在上当时以A为极限，记作.注：自变量的变化方式是任意的；一元函数的一些结论二元函数可以套用；二重极限直观上表示。 几何意义：,的去心邻域，当点落在内时函数对应的曲面夹在平面及之间.2.2累次极限的概念定义3 设，在x轴，y轴上的投影分别为X，Y，即，分别是X，Y的聚点。若对每一个，存在极限，它一般与y有
13、关，记作；如果进一步还存在极限，则称此L为先对后对的累次极限，记作.注 累次极限是先固定一个变量，将二元函数变为一元函数，然后再求极限.3.二重极限与累次极限的存在性关系 按排列组合知识，二元函数的二重极限和累次极限之间存在以下八种可能性： 情形一 当重极限存在时，有以下可能 1.两累次极限存在且相等； 2.两累次极限存在但不等； 3.两累次极限都不存在； 4.两累次极限中一个存在，另一个不存在. 情形二 当重极限不存在时，有以下可能 1.两累次极限存在且相等； 2.两累次极限存在但不等； 3.两累次极限都不存在； 4.两累次极限中一个存在，另一个不存在.下面将依次论证以上八种情况是否成立。3
14、.1重极限和一累次极限存在，它们必相等。 定理1 若在点存在重极限与累次极限或，则它们必相等。证明：假设函数在区域D:，上有定义,，有两累次极限存在且恒成立且有恒成立。1) ,使得,时，有,，则,故当时，有。2) 对于,令，有。综上： 定理1表明，当重极限和一累次极限存在时，它们一定是相等的。3.2 重极限和两累次极限都存在，则三者是相等的。根据定理1可以得到一个有用的推论推论1若累次极限，和重极限都存在，则它们相等。推论2若累次极限与存在但不相等，则重极限必不存在。3.3重极限存在，但两累次极限都不存在. 例1.在点处的二重极限和累次极限是否存在?解 对，因为，但不存在，所以不存在.同理 也
15、不存在.而，故.例1表明当重极限存在时，两累次极限可以均不存在。3.4两累次极限存在且相等，但重极限未必存在.例2 在点的二重极限和累次极限是否存在？解 当时，从而，同理.因为，所以二重极限不存在.例2表明即使两累次极限都存在且是相等的，重极限仍然可能不存在。3.5两累次极限存在但不相等，重极限一定不存在.反证法：假设二重极限存在，且两种累次极限都存在，分别设为A和B但，则由上述结论知二重极限要等于A和B，矛盾.（由之前的讨论得到二重极限与累次极限存在时，它们的关系时是相等的）所以二重极限不存在.3.6两累次极限都不存在，重极限也不存在.例3 设，求它的累次极限与二重极限.解 分别求x趋于0与
16、y趋于0的极限没有实际意义，所以累次极限不存在，相似可得二重极限也不存在.例3表明重极限，两累次极限可以都不存在。3.7两累次极限中仅有一个存在，重极限不存在。例4求在的二重极限与累次极限？解：易知在的二重极限不存在，其中一个累次极限也不存在。由以上讨论知道两种极限之间没有任何关系，从定理1和推论1的结论可以看出，当存在性有保证时，它们是相等的。4.二重极限与累次极限的应用若函数在某点存在极限，可以看出某一动点沿数轴诼渐逼近该点所求的极限值，即为该点的函数值。同理，二元函数的累次极限可以看作先按照一条轴平行运动到该点的方向坐标，到达分量再改变方向沿另一轴做方向运动，所得的函数值即为极限值。4.
17、1由推论2知，我们可以通过两累次极限不相等间接判定重极限不存在. 例5 判定在点的二重极限是否存在？解： 故累次极限存在但不相等，由推论2可知的二重极限不存在.4.2某些情况下直接计算二元函数的二重极限是较困难的，若已知重极限和两累次极限都存在，由推论1的结论，我们可以将复杂的重极限转化为简单的累次极限来计算。例6 求的二重极限？解：观察发现直接计算二重极限是比较困难的，我们利用累次极限来计算二重极限。首先求它关于的极限，故二重极限等于0.5.结论 二元函数相较一元函数由于变量的个数多了一个，因此其自变量变化的方式更为多样化和复杂，当两个变量，同时逼近时，若函数值能无限接近某一常数，这就是二重
18、极限，若变量，按一定的先后次序相继逼近时，极限存在，这就是累次极限。本文通过讨论发现，重极限和累次极限在存在性方面没有必然的联系，但若保证存在性，它们又是相等的，我们可以利用这一结论来简化某些复杂的重极限的计算问题。 参考文献1华东师范大学数学系.数学分析：下册M.4版.北京：高等教育出版社，2010.2裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京：高等教育出版社，2001.3周述歧.数学思想和数学哲学 M .北京:中国人民大学出版社, 1993.4程其襄.实变函数与泛函分析 M .北京:高等教育出版社, 1996. 5吴良森，毛羽辉，韩士安，吴 畏 数学分析学习指导书M 北京: 高等教育出版社
19、，20046张民欢.二重极限计算的方法探讨J.山西煤炭管理干部学院学报，2010.7吴振英，陈湛本.论极限的思想方法J.州大学学报（自然科学版），2003.8赵丽琴,白云芬.累次极限与二重极限的关系研究J.石家庄学院学报，2005.9张玉凤.二重极限的求法J.学科探究中学教学，2011.10黄梦莉.研析二重极限与累次极限的更关心J.2016.11张同琦.浅议二元函数重极限与累次极限的关系J.渭南师范学院报，2000，15(5).致谢由于本人尚处于本科在读阶段，对知识的认识和运用还处于生疏时期，对二重极限和累次极限的探究相对浅薄，面对无穷无尽的数学世界，难免有许多不足之处等待完善，辟如二元函数极
20、限的连续性可微性可积性与本知识点有何关系，还未细细讨论。本论文仅仅借助文献查阅法，对二重极限与累次极限还停留在表面上，等待着我们进一步的学习去发现和完善它们的关系问题。随着论文的落幕，我的大学生涯即将结束，在这一过程充满着喜悦与忧伤，过程是痛苦的，结果是美好的，好好荡荡的毕业论文曾经令我一筹莫展无从下手，但在老师不辞辛劳循循善诱的启发下，让我知道了如何去写好一篇毕业论文。好的开头便是成功的一半，从选题开始老师就默默的付出，一点一点拓宽我对二重极限与累次极限的认识，使我从对书本的狭隘认知发散到结合具体实例进行研究，这开拓了我写论文的思维，一些想法便油然而生。在论文撰写过程中，我遇到了许多挫折和疑惑，老师更是提出了许多宝贵的意见，让我的论文不断改善变好。同时老师治学严谨，一丝不苟，她教会我们对待学习要静得下心来才能做好研究。尽管毕业是无奈的选择，我们无法再聆听老师的谆谆教诲，但我们仍要秉持老师的优良传统。本此论文还需感谢我们的各位任课老师，他们使我对数学认识连成一个整体，让我从不同的课程，解释和印证了二重极限与累次极限关系的正确性，使我的发散思维得到了训练，同时又体第9页