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1、引言对于函数项，在高等数学阶段我们需要了解的是它的解析性质，其中函数项级数的一致收敛性的判定是高等数学的数学分析中一个尤为重要且基础知识点 ,函数项级数一致收敛为以后的学习和数学研究做了重要铺垫.他是我们数学研究中的一个基础.所以我们必须好好理解把握函数项级数一致收敛的判别法.函数项级数既可以可以看作是数项级数的推广,反过来数项级数也可以看作是函数项级数的一个特例 .它们的内容有许多相似之处 ,所以研究方法就会有大同小异的地方，比如它们很多问题都是借助数列和函数极限来解决 ,所以在我们研究他们是否一致收敛时也可以互相对比和借鉴，可以通过已经学过的函数列的一致收敛的判别法来研究函数项一致收敛性的
2、判别法方, 比如Cauchy 判别法 , 阿贝尔判别法 , 狄利克雷判别法等在判断函数列以及函数项级数是否收敛中都是相似和通用的.在教材中给出了对于函数项级数一致收敛性的判别法:魏尔斯特拉斯判别法 、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法以及柯西准则等, 而数项级数的判别法除阿贝尔判别法和狄利克雷判别法之外还有许多判别法,如比式判别法 、根式判别法等，然而作为数项级数的推广函数项级数 , 我们也可以对比式判别法 , 根式判别法等进行推广使其适用于函数项级数的一致收敛性的判定，这是本文我们需要讨论的.还有一些函数项正项级数一致收敛性的判别法得分析讨论.以下主要从函数项级数一致收敛性的定义及数项级数判别法展
3、开讨论, 将一些方法进行推广使得得适用于函数项级数一致收敛的判别方法.还当然包括正向级数中我们也可以用比式判别法和根式判别法对函数项级数的一致收敛性进行判别.下面我们就进一步讨论函数项级数一致收敛的基本方法.还有正项的函数项级数一致收敛的方法的推论， Gauss 型判别法.基础知识：函数项级数及其一致收敛性1. 函数项收敛与函数项一致收敛的概念.设是定义在数集上的函数项级数un(x)的部分和函数列，记，若在数集上收敛于，则称为un(x)的和函数，记为，,并称为函数项级数的收敛域.类似若在上一致收敛于，则称函数项级数un(x)在上一直收敛于，或称un(x)在上一致收敛.2. 一致收敛的柯西准则.
4、函数项级数un(x)在数集上一致收敛的充要条件为：对任给的正数，总存在某自然数，使得当时，对一切和一切自然数，都有或由此我们得到函数项级数un(x)在数集上一致收敛的必要条件是函数列在上一致收敛于零.3. 函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件是：，其中称为函数项级数un(x)的余项.正文内容对于函数项级数，研究其是否收敛非常关键，判断函数项级数是否具有一致收敛性在大学阶段是一个很重要的部分，可 是在实际问题中判 断 函 数 项 的 一致收敛性也是很复杂的，所以我们需要重点研究该部分知识点，为以后的进一步的数学研究打下牢固的基础.当然利用上面的定义可以用来判别函数项是否一致收敛，但是一般情况下
5、我们很难得到函数项级数的部分和，或无法得到函数项级数得部分和时就要寻找其他的方法，所以有的题目不能用定义来判别，故针对不同得题目就要用不同的方法，所以不能用定义来判断时就可以用下面几种判别函数项一致收敛的方法.首先给出我们熟 知的几种函数项级数一致收敛的判别法.在教材中学习过的几种对于函数项级数一致收敛性的熟知判别法:除定义法，柯西准则外，常用的方法有：魏尔斯特拉斯判别法 、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法等.还有推广的Dini定理.这些定理是我们已经学过和熟知地几种判别法.下面我们先复习巩固一下这些基本判别法.一、 函数项级数的基本一致收敛性判别法1. 维尔斯特拉斯判别法(或称M判别法，优先级判
6、别法）设函数项级数定义在数集上，为收敛的正项级数，若对一切，有则数项级数在上一致收敛.2. 阿贝尔判别法.设1） 在区间上一致收敛；2） 对于每一个，是单调的，（即或）；3） 在上一致有界，即对一切和自然数，存在正数，使得，则级数在上一致收敛.3. 狄利克雷判别法.设1） 的部分和数列在上一致有界；2)对于任意，在上对是单调的；3）在上 ， 则级数在上一致收敛.4. Dini定理：1） 函数项级数的每一项均在有限区间上连续且为同号级数；2） 收敛于连续函数；则在一致收敛于证明:（反证法）假设在上非一致收敛，则存在，使得任意，存在，存在，取，存在，使；取，存在，存在，使，,如此下去得一子列，使得
7、, (1)有致密性定理，有界数列中存在收敛子列，有题设知是同号级数，因此关于单调递减，所以(1)由得：当时，由于在处连续，故当时，,这与在上收敛矛盾，故一致收敛.二、 比式判别法、跟式判别法在实际问题中往往比较复杂，所以我们要解决实际问题仅有上面几种方法远 远 不够，因此我们需要再进 一 步 研究 函 数项级数 一 致收敛的其他的方法.接下来就是对 函 数 项 级 数 一 致 收 敛的 基 本判别法的进一步讨论.函数列是否一致收敛的判别法中有比式判别法 、根式判别法，既然函数项级数是数项级数的推广,所以我们可以把比式判别法和根式判别法也进行推广，讨论推广改进后的比式，根式判别法是否适用于函数项
8、级数.当然也适用于正向的函数项级数.下 面 我 们 就 进一步讨论函数项级数一致收敛的另外的方法：比式判别法、根式判别法.(一) 比式判别法1. 定理1：设为定义在数集上正的函数列,记，若且在上一致有界，则函数项级数在上一致收敛.2. 定理2: 设为定义在数集上正的函数列,若存在，那么1） 若对任给，的，则函数项级数一致收敛；2） 若对任给，则函数项级数不一定收敛.证明：由定理条件知，对任给，存在使得对任给的，有，即，则当，对任给成立时，又，而当时收敛，由优级数判别法知函数项级数在上一致收敛；而当时对任给的成立时，有，而级数当时发散，从而函数项级数在上不一致收敛.3. 定义1：设函数项级数，其
9、中 是区间上的连续函数，且函数列在区间上单调递减收敛于0，则称这一级数为莱布尼兹型函数项级数.4. 定理3:若，为莱布尼兹型函数项级数，由此级数在上一致收敛.证明：因为是上的连续函数，在上收敛于连续函数；对，单调，所以由狄尼定理知在上一致收敛于 又因为，故一致有界；对任给的，单调有界，在上一致收敛于，所以由狄利克雷判别法知莱布尼兹型函数项级数在上一致收敛.5. 定理4：两个函数项级数和，若，当，有（其中为正常数）且函数级数在区间上绝对一致收敛.则函数项级数在区间上绝对一致收敛.证明：已知级数在区间上绝对一致收敛，即对，及，有.又由条件知有，当，有，取，有由级数一致收敛柯西准则知，函数级数在区间
10、上绝对一致收敛.6. 定理5：函数项级数和，若，当，有（其中为正常数）且函数级数在区间上绝对一致收敛.则函数项级数在区间上绝对一致收敛.证明：已知，当，（其中为正常数），又函数级数在区间上一致收敛，即，有.取，当，有从而函数项级数在区间上绝对收敛.7. 定理6：（比式判别法）设是定义在数集上的正项函数项级数， 在上有界，若，设则1）时，在上一致收敛；2）时，在上不一致收敛.证明：由当，取存在，当时，对一切有由在上有界，即存在，对一切有，由收敛，得收敛，由优先级数判别法知在上一致收敛.2）时，存在使得，因此不收敛，在上不一致收敛.(二) 根式判别法8. 定理7：（根式判别法）设是定义在数集上的正
11、项函数项级数，若，设，则1） 时，在上一致收敛；2） 时，在上不一致收敛证明：1）时，由，取，存在时，对一切有由，由先级数判别法知在上一致收敛.2）时，存在使由即在上不收敛.(三) 正项级数收敛性 Gauss 指标判别 法下面介绍一种正项级数收敛性的判别法，我们已经学过比式判 别 法 、根 式 判 别法和Raabe 型判别法，如果将他们进行推广，我们会得到正项级数收敛性的判别法Gauss 指标判别 法，下面把它应用于正项的函数项级数的一致收敛性的判别，给出了正项的函数项级数一致收敛的 Gauss 型判别法，它是已有的比值判别法和 Raabe 型判别法等一般化.定理8：设是在上的正项函数项级数1
12、） 如果，且或.且在上是一致有界，则在上一致收敛.2） 如果，且或，则在上发散.证明：1）我们仅证明的情况.因为1根据数列极限的性质，对于:,有 于是 (1)以下证明，使得，有 (2)i. 由（1）式，有 故由泰勒定理可得， 因为 所以 ii. 对于，有 即 ，于是 ，iii. 由于在上是一致有界，使得，有于是 ，其中是常数，这就证明了（4）式成立.因为正项级数 收敛，根据引理2，函数项级数在上一致收敛.2）仅证明的情况.因为，根据极限的性质，对于满足：，有，按1）中的证明方法，有即 ，于是， 即 ， 其中，. 由于对于任意，级数 发散，所以发散.(四) 函数项级数一致收敛柯西准则判断法的改进
13、形式1. 在函数项级数的和函数S(X)已知的情况下，记则有：定理1：函数项级数在上一致收敛于的充要条件是2. 含参变量广义积分一致收敛的柯西准则的改进设函数在上有定义，且对中任意，广义积分都收敛.定理9：广义积分关于在上一致收敛的充要条件是：对，当时，不等式，对上的所有的成立.定理10：广义积分关于在上一致收敛的充要条件是：存在，对任意，存在及，满足.记，则有，.定理11：广义积分关于在上一致收敛的充要条件是：.定理12：如果当时，不趋向于0，则积分关于在上不一致收敛.记定理13：广义积分关于在上一致收敛的充要条件是：.(五) 例题大致了解这些判别法之后，需要将其应用于实际问题中，在解决问题中
14、才能更好的理解掌握和巩固这些判别法各自的特点和适用于什么类型的题目.当然这类问题很多，但对这些问题进行总结归纳就会有很多问题属于同一类型.下面大致总结了一些我们经常会遇到的一些题目，通过对这些列题的分析，加深我们对函数项一致收敛的判别法的理解.例1、 设在上单调递减非负且收敛，证明.证明：由于收敛，存在，当时，.又在上单调递减非负，从而，故有.因此当时，所以.例2、 设在上可薇，可积，且当时，单调递减趋于零，又收敛，证明收敛.证明：首先非负，否则，若存在使得，则时，恒有，从而发散，而这与已知条件矛盾.其次由，且收敛可知，收敛与否取决于是否存在.由例1证明过程可知.故收敛.例3、 设在上由连续可
15、微函数，积分和都收敛，证明.证明：要证，有极限，由归结原则只要证恒有收敛.事实上，由收敛，由Cauchy收敛准则，存在，当时，恒有，于是，存在，当时，有，从而.由Cauchy准则，存在，所以收敛.由归结原则存在.下证若，由局部保号性，存在，当时有，从而时，（当时）这与收敛矛盾.同理可证也不可能，故.例4、 讨论级数的敛散性.解：设，由于又因为已知极限，由Rabbe判别法，当时级数收敛；当时级数发散；当时由Rabbe判别法的证明过程知级数发散.例5、 证明级数在上收敛而非一致收敛.分析：的每项因子有，否则很容易证明其发散.因此，在的任意领域，当从变化到时，能否大于某常数，若能则必非一致收敛.事实
16、上，当时，,因此，取,使，即只需，取即可.证明：令，由Dirichlet判别法知对任意收敛.取，有由Cauchy收敛准则知，在上非一致收敛.（可以证明在上一致收敛，其中，但在的任一领域内非一致收敛.例6、 设使单调递减的正数列，且级数在上一致收敛.证明.证明：由于 在上一致收敛，任意，存在，当时，对任意成立，取，则由于单调递减，有，所以，由迫敛性定理，同理可证.因此.（本题可推出在上不一致收敛.）例7、 设在开区间内有连续的导函数.令，证明对任意闭区间，函数列在上一致收敛于.证明：（1）取满足由于在上连续，从而一致连续，即任意存在，当时，且时，有（2）由微分中值定理，任意，存在使得，所以（3）
17、取，使得且，则当时，从而，这证明了在上一致收敛于.例8、 设，.证明函数列在上一致收敛于0.证明：由于，用数学归纳法可证对任意有，由此推出对任意与成立，由M判别法，所以在上一致收敛于0.例9、 证明在上一致收敛性.证明：（最大值法）记，则令得稳定点而，所以在上的最大值为从而由收敛知在上一致收敛于0.例10、 设是区间中有全体有理数，对任意，定义，求定积分的值.解：显然在上是单调递增有界函数，因而使可积的.令则.由于，且收敛，由Weierstrass判别法，级数在上一致收敛.由逐项积分定理，有例11、 设是区间中全体有理数.试讨论函数在的连续性，其中是符号函数.解：令，显然有唯一的间断点，且在上
18、一致收敛于.对任意，令，则.由于中每一项在连续，且该级数一致收敛（由和函数连续性定理），因此在连续，但是在不连续，所以在不连续（即在中有理点处间断同理可证在无理点是连续的.注：因在上含有可数个间断点，故可积，且级数在上一致收敛.由逐项积分定理，例12、 设是上的连续函数列，且在上一致收敛于，又在上无零点.证明当充分大时，在上无零点，且在上一致收敛于.证明：（1）由极限函数连续性定理，在上连续且恒不为零，在上无零点，因此在上同号.不妨设恒正.由连续函数的最值定理，在上有正的最小值，故.（2） 有一致收敛的定义，存在，当时，任意，有，所以这说明当充分大时，在上无零点（3） 又任意，存在，当时，任意
19、， .（4） 取，则当时任意有，由一致收敛的定义结论得证.例13、 证明Riemann函数在连续但不一致连续，且由各阶连续导数.证明：（1）任取，由实数的稠密性，存在，满足，则当时，.由于级数收敛，所以在上一致收敛.又每一项在上连续（又和函数的连续性定理）.所以在上连续，从而在点连续，由的任意性，在上连续.（2）再证在上不一致收敛，对任意， 当时，所以.若在上一致收敛，则存在且有限，这是不可能的，因此在上不一致连续.（3）记，由归纳法得：.任意，由实数的稠密性，存在，使得，在区间上，有而，收敛必有界，所以当充分大时，有，即，因收敛.由M判别法知：对任意正整数，级数在上一致收敛，进而可逐项可导，
20、即又每一个在上连续，由和函数连续性定理，在上连续，从而在点连续，故在上连续.因此，由数学归纳法知在上存在任意阶导数，从而在点存在任意阶导数，由的任意性知在上存在任意阶导数，且连续.例14、 证明：（1）在上不一致收敛；（2）.证明：（1）当时，；当时，.所以该级数的和函数为，由于，故在上不连续，从而在上非一致收敛.因此（1）成立.（2）任取使得.当时，由于级数收敛，由判别法，所以在上一致收敛.逐项积分得其中所以另一方面，由于因收敛，由判别法，所以与分别作为以为自变量的函数项级数在是一致收敛的.因此在（1）式中令，得.例15、 设，且在上有界可积.又任意，当时，在上一致收敛于0，试证.证明：（拟
21、合法）（1）已知则，因此只需证明：（2）由于，任意，存在，任意，有.（3）由已知条件，当时，在上有，故对上述，存在，当，任意，有.（4）再由的有界性假设可得：存在，于是当时，故命题为真. 例16、 设，在上连续，又任意，有，其中为常数.求证.证明：（1）由于在上连续，则在上一致连续，故任意，存在，当，且时，有.（2）取充分大，使得，将等分：，利用已知条件，由微分中值定理，存在，使得.（3），故所以在上一致收敛于0.（4）在上连续进而有界，在上一致收敛于0.从而可在积分号下取极限，即.例17、 证明级数在任何有穷区间上一致收敛，但在任何一点处不绝对收敛.证明：（方法一）任意，为Leibniz级数
22、，故收敛,且余和得绝对值：（当时）（其中）.故当时，在上一致收敛于0.因此此级数在上一致收敛.又，而任意，级数收敛，发散，故原级数在任何一点处不绝对收敛.（方法二），级数皆为Leibniz级数，故收敛，自然是关于为一致收敛.又因为在上为有界函数，一致收敛级数各项各乘以有界函数后，仍一致收敛，所以一致收敛.进而两个一致收敛级数的和函数也是一致收敛的.在任何一点处不绝对收敛同解法一.（注：本例说明一致收敛并不意味着绝对收敛.）例18、 设是以为周期的周期函数，且.求与的Fourier级数,它们的Fourier级数是否一致收敛并证明.解：是按段光滑的奇函数，所以的Fourier级数是正弦函数，即所以
23、，当时，有，当时，Fourier级数收敛于.是按段光滑的偶函数，所以的Fourier级数是余弦函数，即，且有所以，当时，有，当时，Fourier级数收敛于.的Fourier级数在内非一致收敛，这是因为，如果它在一致收敛，而它在一致收敛，故在上一致收敛，这样和函数必在上连续，矛盾，故非一致收敛.的Fourier级数在内一致收敛，由判别法可得.通过对上面例题的分析，我们会发现常用的判别法主要为柯西准则判别法和魏尔斯特拉斯判别法以及阿贝尔判别法，所以我们要重点把握这些方法的应用，其次，在我们遇到比较复杂的问题时，我们将会运用这些由函数列一致收敛的方法推广而来的比式判别法，根式判别法以及正项级数的Ga
24、uss指标判别法，和对柯西准则的改进，即要求我们要理解把握这些判别法.26结语综上介绍了多种中全体方法用来解决了判断一个函数项级数是否一致收敛的问题.在这些方法中，柯西准则判别法和魏尔斯特拉斯判 别 法以及阿贝尔判别法 是使用频率较高的一 致 收 敛 判 别法，在经常遇到的问题中，一般情况下我们会首先想到这几种方法，当然这几种方法也是我们所学习的基础知识部.其他方法都需要我们深刻理解和把握.但是我们应该明白实际问题中很多问题会比较复杂，所以往往需要我们根据已知的条件和掌握的熟知的判定方法来决定需要应用哪个或者哪些来解决问题，因为比较复杂的问题可能会应用多个判别法才可以解决.还有一点需要说明，很
25、多问题的解决方法不是唯一的.这就是上面我们说的一个问题可以分别利用多个判别法来解决，有的问题又同时需要多个判别法才能得出结果.所以我们要枢机以及深 刻 理 解 这些方 法，根据每种方法的不同特点来选择我们需要的方法，每类问题对应不同的方法.这点需要我们在实际做题中自己总结归纳.27参考文献 :【1.】 华东师范大学数学系.数学分析(第四版)M.北京:高等教育出版社,2010.【2.】 裴礼 文 数 学 分 析 中 的 典 型 问 题 与 方 法M 北京: 高等教育出版社，2002【1.】 陈传章 , 金福临 , 宋学 炎 , 等 .数学 分析 (下册) M .北京 :高等教育出版社 , 1983 .【2.】 陈纪修，於 崇 华，金 路 数 学 分 析 ( 下 册) M 2版北京: 高等教育出版社，2003【3.】 邢家省，杨义川. 函数项级数一致收敛柯西判别法的改进形式A,2017【4.】 石会萍. 函数项级数非一致收敛判别方法的归纳分析A,2012【5.】 李苓玉，范进军. 函数项级数一致收敛性及其应用A,2016【6.】 鲍倚天.函数项级数一致收敛基本判别法的讨论A,2017 【7.】 侯晓磊，张璐.对于函数项级数一致收敛判别法的进一步讨论A,2016【8.】 王瑜, 钟粤敏.正项函数项级数一致收敛的Gauss指标判别法A,201928