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1、|本科生毕业论文 题目：变量替换法在高等数学中的应用作者单位 数学与统计学院 作者姓名 何 瑞 专业班级 数学与应用数学2015级2班作者学号 2015121072 指 导 老 师 (职 称) 舒彬(讲师) 2019年5月学位论文原创性声明本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行研究工作所取得的研究成果.尽我所知，除文中已经注明引用的内容和致谢的地方外，本论文不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人或他人已申请学位或其他用途使用过的成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意.本学位论文若有不实或者侵犯他人权利的，本人愿意承担一切相关的
2、法律责任.作者签名： 日期： 年 月 日学位论文知识产权及使用授权声明书本人在导师指导下所完成的学位论文及相关成果，知识产权归属陕西学前师范学院.本人完全了解陕西学前师范学院有关保存、使用学位论文的规定，允许本论文被查阅和借阅，学校有权保留学位论文并向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，有权将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本论文.本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西学前师范学院.保密论文解密后适用本声明.作者签名： 日期： 年 月 日摘 要高等数学主要是一种研究变量的学科.变量替换法在高等数学中许多章节都有应用，
3、而且题型变化多样，本文阐述了用“变量替换法”在高等数学中求极限、导数、积分、重积分和微分方程的这五个部分的问题.通过把复杂问题转化为简单问题，从而使问题迎刃而解，这些研究可使同学们在解题过程中能够充分了解并熟练掌握此类方法，提高学生的解题能力.变量替换法不仅在高等数学中有重要应用，而且它的思想方法在生活中也有广泛的应用，如利用极坐标变换求椭球体的体积，利用傅里叶变换处理图像信号.关键词: 变量替换法，高等数学，解题 AbstractHigher mathematics is mainly a study of the variable. Variable substitution method
4、 has been applied in many chapters of higher mathematics, and the types of questions are vary wide. This paper expounds the problem of calculating limit, derivative, integral, multiple integral and differential equation in higher mathematics by using variable substitution method. Solving a problem b
5、y turning a complex problem into a simple one. These studies can be fully understood and mastered by students.Problem solving methods can improve students ability to solve problems. Variable replacement method is not only important in higher mathematics, but also widely used in our life. For example
6、,the volume of ellipsoid is calculated by polar coordinate transformation, and the image signal is processed by Fourier transform.Keywords:Variable substitution, Higher mathematics, Simplified solution目 录引 言11 利用变量替换法求函数的极限21.1 将极限化为两个重要极限2 1.1.1 关于第一重要极限2 1.1.2 关于第二重要极限31.2 复杂极限化为简单极限41.3 求未定式极限41.
7、4 求变上限积分极限52 利用变量替换法求函数的导数62.1 利用导数定义求函数的导数62.2 求复合函数的导数82.3 求变上限积分函数的导数82.4 求多元复合函数的偏导数103 利用变量替换法求函数的积分113.1 凑微分法113.2 三角替换法123.3 万能替换法133.4 通过变量替换证明积分不等式134 利用变量替换法求重积分154.1 利用极坐标变换计算二重积分154.2 利用柱面坐标变换计算三重积分164.3 利用球面坐标变换计算三重积分175 利用变量替换法解微分方程185.1 化为可分离变量方程185.2 化为齐次方程195.3 化为一阶线性非齐次方程206 变量替换法在
8、实例中的应用217 总结22参考文献23致 谢25V陕西学前师范学院2019届本科生毕业论文引 言在学习高等数学过程中，我们会发现变量替换法在许多章节中都有应用，而且题型变化多样1，若学生对此类解题方法不够熟悉，很难用最快最便捷的方法去求极限、导数、积分、重积分和微分方程的这五个部分的问题2.如今伴随着高等数学的不断发展，数学解题方法变得丰富多样，解题过程也越来越简捷，然而我们会发现许多数学方法来源于对数学本质或概念的应用及推导，因此掌握基本数学思想方法是极其重要的3.在不同的解题研究中，它会结合题目本身演绎出不同的名字，如在解数学计算题时通常叫做“换元法”.因此我们可以通过对变量替换法的研究
9、，使学生能够灵活解决各种高等数学中的相关问题，并且可以培养学生的数学思维能力4.通过对不同的数学问题的研究，学生能够体会到变量替换法的简便之处.变量替换法作为一种常见的数学思想，它不但在解题中具有较强的应用性，并且它在其他领域也做出了突出的贡献，因此对变量替换法的应用需做出进一步的探究，同时也要求我们在学习中需要学以致用，把数学知识推广到生活中的方方面面，可应用于物理，生物，化学等学科领域中5.变量替换法不仅在高等数学中有重要应用，而且它的思想方法在生活中也会有广泛的应用，如利用极坐标变换求椭球体的体积，利用傅里叶变换处理信号领域6.在未来变量替换法在高等数学的应用，还需要更多的学者专家对其进
10、行进一步研究，因为它将作为一种数学思想渗透于我们的日常生活中.1 利用变量替换法求函数的极限极限在高等数学中是一个重要的概念.变量替换法可以将复杂的极限简单化，通过把它化为第一重要极限、第二重要极限、一个简单的极限，也可以去替换求解未定式极限和变上限积分极限，使得极限更简便，方便问题的进一步求解.1.1 将极限化为两个重要极限我们通常会用两个标准型的重要极限公式去解极限的相关问题，但解题过程中，常常遇到的是非标准型的，那我们就必须熟练掌握“拓展型公式”，针对这一问题，可以总结出以下几种方法.1.1.1 关于第一重要极限第一重要极限通常需要对基本公式进行变换，得到“拓展型公式”7.当分子与分母出
11、现同一个变量时，就有下面的“拓展型公式”，根据以上分析，我们可以利用换元法求此类极限.例1.1.1 求极限.解 令,化为第一重要极限,可得.分析 根据例1.1.1的极限形式，我们并不能直接求出极限，但我们可以发现通过对式子进行变形，可令其满足第一重要极限的“拓展型公式”，进而使得式子方便求解.当我们遇到非标准型的时候，可以根据它的特征去判断，若极限符合型，那么我们可以对其形式进行变形，使得式子变为标准型再去求解.1.1.2 关于第二重要极限对于极限的求解除了可以采用第一重要极限，也可考虑第二重要极限8.通常会将基本公式或替换变成“拓展性公式”.我们常用的“拓展型公式”为：或，因此我们可以利用换
12、元法求此类题型.例1.1.2 求极限.解 令,化为第二重要极限,可得.分析 上式并不是第二重要极限的标准型，但它通过替换可令,化为的形式，使得极限形式满足“拓展性公式”，并且我们可以发现与正好成倒数的关系，进而满足第二重要极限“拓展性公式”的特征.当我们遇到的极限形式满足“”时，那么可考虑用第二重要极限去求解.通过例1.1.1和例1.1.2我们可知极限的形式变化多样，只有我们熟练掌握变量替换法才能选择更为合适的解题方法，从而进行替换，将复杂的极限形式变为两个重要极限的“拓展性公式”,方便求解.1.2 复杂极限化为简单极限我们通常将算式中复杂极限化为简单极限，使得极限形式便于计算.应注意的是：极
13、限中相乘或相除的式子才能用来替换，而相加或相减的式子则不可直接替换.通常我们可利用等价无穷小替换极限9.例1.2.1 求极限解 通过等价无穷小因子来替换,可得分析 对于上式分子分母都可以分离出,则可以对它进行化简，再通过等价无穷小替换即可求解.注意：若极限的常数为时，将的值带入式子中使得其分母无意义，这时可以将分子做变量替换，从而使得分母有意义，再进行计算.1.3 求未定式极限 对于分子和分母中若出现有相同或者相似的未定式极限10，我们可以将其整体进行变量替换，通过将复杂式子简单化，使极限计算起来更加方便直接，便于运算.例1.3.1 求极限.解 令，则.分析 由于分子和分母中出现了相同的式子，
14、因此可以进行替换，再利用洛必达法则，使得式子变得简捷，从而可以求解这类极限.当分子分母中出现可以同时替换的因式时，对于未定式极限的求解，都可简便计算.1.4 求变上限积分极限对于含有求积分的极限，可以把积分上限进行替换，并且将极限中的所有变量进行替换，使得所求极限更加简便，便于计算11.例1.4.1 求变上限积分极限.解 作变量替换,得 分析 我们可以发现，例1.4.1中的积分上限在分子分母中可以找出相同的式子或者可以表示为式子的倍数或指数的形式，这样对上限进行替换可以使式子中含有同一个变量，令,我们发现积分上限通过替换可使极限计算更简便，再利用等价无穷小替换，化简即可得到结果.对积分上限进行
15、变量替换，可使式子求解简便.在遇到此类型题目，我们应灵活使用变量替换法.2 利用变量替换法求函数的导数根据导数的定义、基本的求导公式和求导法则等，对复杂公式进行替换，从而转化为对一个新变量的函数进行求导，使得问题变得简捷，方便运算.在题目中出现求导公式时，我们可对其进行变形再利用导数定义进行计算.对复合函数进行求导时，将所求函数的中间变量进行替换，并将相应的函数对应替换成等价形式，再进行运算；在多元复合函数求偏导数时，对中间变量分别进行替换，再利用链式法则求导，使得偏导更易求解.2.1 利用导数定义求函数的导数定义2.112：设函数在的某区间领域内有定义，若极限存在则函数在点处可导，并称该极限
16、为函数在点处的导数，记为 我们在学习导数时通常将注意力集中在求导公式上，但却忽略掉导数的定义.实际上，导数的定义不仅是导数的理论基础，而且可以更方便的解出极限.很多看似与导数定义无关的问题，比如求一些特殊类型的极限，若能够灵活使用导数定义的方法，可使计算简便.例2.1.1 若在上有定义,在点处可导,且对于任意的正数总有,试证在上连续可导,且有.证 在中令,于是有，根据在x=1点处可导，可得令即对于任意x0,在中，取，则有，那么则在上处处可导，于是就有.例2.1.2 如果存在,求极限 (其中 为非零常数).解 对极限作变量替换: .则, . 分析 通过以上例2.1.1和例2.1.2我们可以观察出
17、，当求解的式子中出现求导公式为的形式时，通常我们对式子进行替换，写成导数定义求导的形式，再进行计算，使得问题迎刃而解.2.2 求复合函数的导数复合函数在求导过程中可以将所求函数的自变量进行替换，并且将相应的函数对应替换成等价形式13，再进行运算，即可得到与原来方程式相同的结果.这类方法可用于复合函数的证明题.具体思路：对于这类题型的解法是当出现两种以上的复合函数求导，通常是把函数分别进行替换，再分别求导，求得最后的结果，如下：例2.2.1 求的导数.解 令，得，于是分析 对上式进行求导很难直接求得结果，它是由对数函数、余弦函数、一次函数复合而成的函数形式，因此我们需要对每一个函数进行替换，可令
18、，替换后得，再应用链式法则对函数进行求导计算，使得计算准确、简便.2.3求变上限积分函数的导数 一般来说，对变上限积分函数求导就是把上限代入函数，得出的式子再乘以积分上限的导数14.例2.3.1 若连续，求.解 这可以通过积分换元法实现，令，具体过程如下：（令）,分析 当被积函数为,令将其化为积分变量为的形式，再进行替换,令，将分子中的被积函数分离出来，提到积分号外面去，再去化简极限，使得计算简便.当遇到型不定式极限，我们可以运用洛必达法则.2.4 求多元复合函数的偏导数 多元复合函数求导的链式法则定理：若函数在点可导，在点处偏导连续，则复合函数在点可导，且链式法则15.我们可以通过对替换，再
19、根据链式法则即可求解.例2.4.1 若,其中都具有二阶连续偏导数，求.解 对其作变量替换:,则，. 上式中是由复合而成的，在求二阶偏导数时，很难得到结果，因此可利用变量替换法，令,，函数就变成，再利用链式求导法则进一步进行计算.复合函数求偏导时，通过对其中间变量进行替换，再对函数求关于的偏导即可.3 利用变量替换法求函数的积分在求积分时，我们经常会学到变量替换的各类方法，例如：凑微分法、三角函数替换法、万能公式替换法.这些方法是通过转化的思想把一些较为复杂的积分变成最简积分公式，有便于我们进一步进行简便运算和求解，对于积分不等式的证明这类题型，也会有一个更加简洁明了的运算方法.3.1 凑微分法
20、凑微分的方法是根据实际情况，对于不容易发现其解法或者比较难求出其解法的不定积分，通过添凑一些简单公式或者字母，对其进行替换，让它变成最易一眼看出其解法的形式，或者基本积分公式的形式，从而进行下一步的求解，来解出不定积分16.例3.1.1 求.解 令，则原式.分析 如例3.1.1我们可知，被积函数是，是积分变量，我们可以将函数凑成积分变量为的形式，再在积分前乘以，使得积分大小不变，算得结果后再回代，即可得到原积分的结果.当对复杂的函数求积分时，可对积分变量进行添凑，再对新的积分变量进行替换，根据基本积分公式求解，最后一步则是回代，得到最终结果.3.2 三角替换法通过运用三角函数进行替换，最终将问
21、题转换成对新引入变量的讨论，则会减少许多解题步骤17.替换的越巧妙，解题将越会达到事半功倍的效果.这样解题构思别致，解题过程简便巧妙.例3.2.1 求的值域.解 由题意可知：,则.设，其中，则，当时，因为，所以，即，当时，因为，所以即， 综上所述，则函数的值域为.分析 题目出现了三角函数的形式，那我们可以考虑令，将题中根号去掉，需要注意对的取值范围进行分情况讨论，最后综合求得结果.3.3万能替换法运用万能替换法则需知道万能代换公式才能准确计算.万能替换公式为是：则18.当积分形式为复杂的三角函数形式时，可通过万能替换法将其变成简便式子从而计算，方便得出结果.例3.3.1 求.解 作变量替换,化
22、为简便积分 ,可得.分析 因为题中出现了不易求解的情况，所以可以通过万能公式进行替换，令使得题目变为只与t有关的定积分的形式，再进行化简，便于求解.应注意替换时也要替换积分上下限.3.4通过变量替换证明积分不等式如果所求的函数里含有三角函数的存在，则我们可根据变量替换法简化积分不等式，从而对不等式进行证明.例3.4.1 若在上连续且单调递增，证明：.证 可对求导，得，由于在上单调增加，且因为,所以有,再根据定积分性质，有.由此知在上单调增加，则，得证.分析 题目中出现积分不等式的形式，我们可以构造一个新函数形式，对其进行求导，得到与不等式相关的函数形式，再利用定积分的性质进行证明.4 利用变量
23、替换法求重积分在对重积分的求解时，经常可以采用的方法是极坐标、以及柱坐和球坐标的变量替换法,当题目中遇到明显特征时，我们可以通过变换进行求解.因为这样的方法更为准确具体，易于掌握和理解.4.1 利用极坐标变换求二重积分 当二重积分中出现时，我们可以通过对进行极坐标替换19，令，再进行求解.例4.1.1 求,其中解 由题意知，积分区域D如图所示:图4-1 积分区域示意图利用极坐标变换，令则 当题目中明显出现时，可令根据使其化为简单的积分形式，将根号开出来，则可转换为只与相关的二重积分，再进行求解即可.4.2 利用柱面坐标变换求三重积分 利用柱坐标变量替换求三重积分，令，根据三重积分的柱面坐标换元
24、公式20进行替换，再计算.例4.2.1 ,其中是由曲面和平面所围成的区域.解 由题可得，如图2：图4-2 积分区域示意图，应用柱坐标变换，令 得 对例4.2.1的三重积分，可以通过柱坐标变换将它换为与有关的积分形式，使得积分更易求解.并且需要注意对积分上下限分别进行替换，再将三重积分进一步求解化成只与有关的定积分形式，使得计算准确.对于此类题型，需要对题目中的进行替换，再将积分上下限进行替换，就可得出结果.4.3 利用球面坐标变换求三重积分利用球面坐标变换求三重积分，对三重积分的被积函数及积分变量进行替换可以得到：再进一步求解三重积分.例4.3.1 计算，其中是锥面，与球面所围的立体.解 由题
25、可得，如图：图4-3 积分区域示意图，利用球面坐标替换：于是 .分析 例4.3.1中三重积分可利用球坐标变换将其化为关于相关的简单定积分的形式，再对新的到的三重积分进行积分，得到关于的定积分的形式，使得计算方便.计算时需要注意的是对积分上下限要进行替换.5 利用变量替换法解微分方程在求某些微分方程的解时，一般可以采用的方法有变量分离法、齐次方程求解法、线性方程求解法，因为这样不仅可以使求解过程变得简单易懂，而且便于我们进行下一步的计算.5.1 化为可分离变量方程 各类微分方程的基础是最简便的分离变量法，把一般方程化成分离变量方程更加有利于我们进行各类微分方程的求解计算，使得运算简洁明了21.采
26、用变量替换的方法进行求解，进而将微分方程化为分离变量方程.通常把 称为可分离变量方程.利用变量替换法替换微分方程中的复合函数或复杂函数22，可减少运算量，方便理解和计算.例5.1.1 求.解 ，令，对替换，,得： ， ，所以原方程的通解为：. 分析 通过变形使得微分方程等号两边函数形式相同，即为，对函数进行替换得到一个新函数，再对其求积分使得式子更易求解.当我们求解微分方程的特殊形式时，需对方程的变式熟练掌握，进而掌握做题的技巧.5.2化为齐次方程 除了化为可分离变量方程，我们还可以将其化为齐次方程23，通过对微分方程进行变换，使得方程变为齐次方程，再进行求解.例5.2.1 求的通解.解 作变
27、量替换,则原方程可化为，即 分离变量并积分得： 得： 而故原方程通解为. 分析 例5.2.1通过令使得方程替换得到关于的方程.通过利用分离变量法得到，再对等式两边进行积分，求出不定积分，使得方程变为关于的齐次方程，用含的式子表示，进而对进行回代，从而得到方程的通解.对于此类变换是不易求解和掌握的，有时需要我们根据题目的特殊性去试求，采取多种替换才有可能得到齐次方程，有时也可用多种方法进行求解，比如例5.2.1就结合使用了将微分方程化为齐次方程和可分离变量方程两种类型，便于求方程的通解.5.3化为一阶线性非齐次方程 除了上边两种方法，我们还可以考虑将其化为一阶线性非齐次方程24，这类题型较为灵活
28、，通常遇到的题型需要进行进而适当的替换，再求解回代.例5.3.1 求微分方程:.解 作变量替换,则,再代入原方程得: ,解原方程的通解: ,即 .分析 例5.3.1中我们需要对进行替换，通过令，使得方程变为一阶线性非齐次方程，得到关于与的方程，再进行回代求解方程.这类方程我们不易求解，因为通常是n阶非齐次方程，只有熟练掌握运算技巧和替换方法，才能化成一阶线性非齐次方程.6 变量替换法在实例中的应用1.通过变量替换法可求维维安尼(Viviani)体,即求球体被圆柱面所割的体积25（如图6-1），运用极坐标变换来求解. 图6-1 维维安尼体也可通过用极坐标计算圆域，可达到简化被积函数的目的，进而方
29、便求圆域或求圆域的一部分.也可通过应用广义极坐标变换来求椭球体的体积.利用球坐标去求解球体的质量.极坐标不仅用于解决各类高数问题，也可用于物理，化学，军事等各个领域中，很多学者、专家对极坐标变换进行深入研究，这也使变量替换法在各个领域得到充分的发挥和应用. 2.变量替换法在傅里叶变换中得到体现.傅里叶变换不仅可以是通过数学分析周期现象，还可以用作求傅里叶级数的极限，还可以是分析信号.傅里叶变换也是有许多不同类型的（如图6-2）.对称的delta函数和它的傅里叶变换 洛伦兹函数和它的傅里叶变换 图6-2 傅里叶变换傅里叶变换的应用广泛，使得变量替换法在高等数学和生活中得到广泛应用.25陕西学前师
30、范学院2019届本科生毕业论文7 总结综上所述，我们可知，变量替换法的思想方法贯穿了整个高等数学的学习.本文是对变量替换法在高等数学五个章节的题型做了细致的分类及解析，我们可发现变量替换法不仅可以用于计算和证明，还可以用于解决实际问题.利用变量替换法求函数的极限，将极限化为两个重要极限时，需对非标准型极限进行替换，得到“拓展型公式”再求解.求复杂极限时，可利用等价无穷小替换极限，使得式子变简单.对分子和分母出现有相同或者相似的未定式进行替换，进而简化式子.对多元复合函数求偏导数时，利用变量替换法得到中间变量，进而应用链式法则求解，使得结果准确.若式子中出现求导公式时，通常我们对其进行变形再采用
31、导数定义进行计算.在求二重积分和三重积分时，我们可以通过极坐标变换、柱坐标变换和球坐标变换使得积分变得简便，结果更加准确.求解微分方程时使用变量替换法是学生不易掌握的一个部分，通常需要将其化为可分离变量方程、齐次方程、一阶线性非齐次方程来求解.因为关于求极限、求导、求积分、求重积分以及求微分方程的题型变化多端，这也无疑使得解题方法更为灵活，通常我们接触到的往往是不易求解的题目，需要对复杂形式进行替换，得到简单的式子，进而求解.最后介绍的是变量替换法在解决生活实际问题方面的应用，可通过利用极坐标变换求维维安尼体、圆域、椭球体的体积等,也可通过利用傅里叶变换分析周期现象，求傅里叶级数的极限，以及分
32、析信号.变量替换法不仅是一种运算技巧，而且它具有多变性，可以将这种数学思想方法进行推广，从而应用于更多领域，应用于解决生活中的实例中去.参考文献1李金霞.变量代换法在高等数学中应用探讨J.科技创新导报,2008(32):147.2吉林大学数学系.数学分析M.北京:人民教育出版社,1979:1-70.3Nohda Nobuhiko. Mathematis Education For Promoting Students Viability: Teaching method for supporting Mathematical ThinkingJ. JSSE Research Report, 1
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39、文的资料查找、任务书、开题和必要的每一个环节，一直到最后一刻论文的反复润色，舒彬老师始终语重心长地给予我各方面深刻而细致地指导，她帮助我展开研究思路，热忱鼓励、精心点拨.在闲聊中老师总是能像知心朋友一样鼓励我，在论文的写作和措辞等方面他们又会以“专业标准”严格要求我，正是舒彬老师的无私帮助与热忱鼓励，我的毕业论文才能够得以顺利完成.在这里我要首先感谢我的指导老师舒彬老师，她从一开始就对我进行了严格的指导和细心的帮助，不厌其烦的帮助我进行论文的修改和润色.我在这段时间跟着老师学习到了渊博的专业知识和严谨的治学态度，感谢我的家人朋友和大学期间认识的挚友们，正是因为有他们的支持，我才能更自由的成长.论文采用了些许前辈和学者的发表文章，在此也特别感谢.我的学术水平有限，若有不足之处，恳请各位老师和学者务必批评和指正，谢谢！30