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1、 平新乔微观经济学十八讲第 10 讲 策略性博弈与纳什均衡跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。1假设厂商 A 与厂商 B 的平均成本与边际成本都是常数，MC =10 MC = 8，对厂AB商产出的需求函数是Q = 500 - 20 pD（1）如果厂商进行 Bertrand
2、竞争，在纳什均衡下的市场价格是多少？（2）每个厂商的利润分别为多少？（3）这个均衡是帕累托有效吗？解：（1）如果厂商进行 Bertrand 竞争，纳什均衡下的市场价格是p = 10 -e ，p =10BA其中e 是一个极小的正数。理由如下：假设均衡时厂商 A 和 B 对产品的定价分别为 和 ，那么必有p，即厂p 8pp 10ABA商的价格一定要高于产品的平均成本。其次，达到均衡时， 和 都不会严格大于 10。否BppAB则，价格高的厂商只需要把自己的价格降得比对手略低，它就可以获得整个市场，从而提高自己的利润。所以均衡价格一定满足，。但是由于 的下限也是 10，所以p 10pp 10AB，厂
3、商 B 的最优选择是令A均衡时。给 定e ，这里e 是一个介于 0 到 2p = 10 -p =10p =10AAB之间的正数，这时厂商B 可以获得整个市场的消费者。综上可知，均衡时的价格为，p =10Ap = 10 -e 。B（2）由于厂商 A 的价格严格高于厂商 B 的价格，所以厂商 A 的销售量为零，从而利润也是零。下面来确定厂商 B 的销售量，此时厂商 B 是市场上的垄断者，它的利润最大化问题为：max pq - cqe0()e ，把这两个式子代入式中，得到：q 500 20 10- -其中，p = 10 -e=()( )eemax 10- -8 500- 20 10- e0解得e =
4、 ，由于e 必须严格大于零，这就意味着e 可以取一个任意小的正数，所以厂商0( ) ( )e 。500- 20 10 - 10 -B 的利润为：e（3）这个结果不是帕累托有效的。因为厂商 B 的产品的价格高于它的边际成本，所以如果厂商 B 和消费者可以为额外 1 单位的产品协商一个介于 8 到 -e 之间的价格，那么厂10商 B 的利润和消费者的剩余就都可以得到提高，同时又不损害厂商 A 的剩余（因为 A 的利润还是零）。2（单项选择）在下面的支付矩阵（表 10-1）中，第一个数表示 A 的支付水平，第二个数表示 B 的支付水平， 、 、 、 是正的常数。如果 A 选择“下”而 B 选择“右”
5、，cabd那么： 表 10-1 博弈的支付矩阵（1）且b 1 d 1（2） 且c 1 b 1（3）（4）且b 1 c d且b cd 1（5） 且a 1 b d【答案】（3）【分析】由于（下，右）是均衡策略，所以给定 B 选择“右”，“下”是 A 的最优选择，这就意味着 ；同样的，给定A 选择“下”，“右”也是B 的最优选择，这就意味着b 1。c d3史密斯与约翰玩数字匹配游戏。每一个人选择1、2 或者 3。如果数字相同，约翰支付给斯密 3 美元。如果数字不同，斯密支付给约翰 1 美元。（1）描述这个对策的报酬矩阵，并且证明没有纯策略纳什均衡策略组。1（2）如果每一个局中人以 的概率选择每一个数
6、字，证明这个对策的混合策略确实有3一纳什均衡。这个对策的值是什么？解：（1）根据题意，构造如下的支付矩阵（表10-2）（其中每一栏中前一个数字是史密斯的支付，后一个数字是约翰的支付）：表 10-2 玩数字匹配游戏的支付矩阵首先由史密斯来选择，假设史密斯选择 1，并期望约翰选择 1，从而使自己得到 3 的支付。但是，如果史密斯选择1，则约翰一定会选择2 或者 3，从而使自己得到 1，而不是-3。假设约翰选择 2，他期望史密斯选择 1 或者 3，以使得自己得到 1，而实际上史密斯会选择 2，使得约翰得到-3，等等。不断的循环反复，最终也无法达成一个使得双方都能够接受的方案。因此，这个对策没有一个纯
7、策略纳什均衡。（2）假设均衡时，约翰选择 1、2、3 的概率分别为 、 和x，那么此时史密x1- x - x1212斯在选择 1、2、3 之间是没有区别的，即：()()()3x - x - 1- x - x = -x + 3x - 1- x - x = -x - x + 3 1- x - x121212121212从而解得13x = x =1- x - x =1212类似的方法可以解得史密斯在均衡状态下选择1、2、3 的概率分别为 1/3。 Born to win经济学考研交流群 点击加入4假定世界上氪的整个供给由 20 个人控制，每一个人拥有这种强有力的矿物 10000克。世界对氪的需求是Q
8、 = 1000 -1000 p其中 是每克的价格。p（1）如果所有拥有者合谋控制氪的价格，他们设置的价格是多少？他们能够卖出的量是多少？（2）为什么（1）中计算的价格是不稳定的？（3）通过改变要求保持市场价格的产出，在没有厂商能够获利的意义下存在一个稳定的均衡时，氪的价格是多少？解：（1）所有拥有者合谋控制氪的价格，此时总的利润函数为：1利润最大化的一阶条件为：11解得总供应量为（克）。此时1Q =0.5 ，每个厂商的供应量为Q = 500p = -1000500 / 20 = 25（克）。（2）对第一个厂商而言，给定其他每个厂商的供应量为 25 克，那么他的利润最大化问题为：525- qma
9、xq1q111000根据一阶条件解得：q = 262.51可见在其他厂商的供应量为 25 克的条件下，厂商 1 增加供应量会提高自己的利润。类似的结论对市场上的其他厂商也成立，所以合谋是不稳定的。（3）题目要求完全竞争市场的均衡结果。令p = MC ，得到氪的价格为零。市场上的总供给量为 1000 克，每个成员的出售量为 50 克。5在下表所示的策略型博弈（表 10-3）中，找出占优均衡。表 10-3 博弈的支付矩阵答：对于行为人 2 而言， 优于 ，所以行为人 2 将会剔除掉 策略，只在 、 这RRMML两个策略中进行选择；对于行为人 1 来说，知道了行为人 2 会在 、 策略中选择，则 占
10、L RU优于 和 策略。当行为人 2 知道行为人 1 选择了 策略时，他则最终会选择 策略。所UMDL以，最终的占优均衡为（ ， ）。LU985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解 6模型化下述划拳博弈：两个老朋友在一起划拳喝酒，每个人有四个纯策略：杆子、老虎，鸡和虫子。输赢规则是：杆子降考虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降杆子。两个人同时出令。如果一个打败另一个，赢者的效用为 1，输者的效用为-1；否则，效用均为 0。写出这个博弈的收益矩阵。这个博弈有纯策略纳什均衡吗？计算出混合策略纳什均衡。答：（1）该题的支付矩阵（表 10-4）为：表 10-4
11、 划拳博弈的支付矩阵（2）这是一个零和博弈，没有纯策略纳什均衡。这是因为：对两个参与者，给定对方策略时，本方的占优策略对应的支付以下划线标注，均衡存在当且仅当在同一栏中出现两个下划线。由此可知，该博弈没有纯策略纳什均衡。（3）记游戏者 1 分别选择各个策略的概率为，游戏者 2 分别选择各个策p , p , p , p3124略的概率为。q ,q ,q ,q3124当游戏者 2 分别以概率选择四个策略时，游戏者 1 的四个策略的收益应该q ,q ,q ,q3124相等（根据同等支付原则）：( )( )( )( )1q + -1 q = -1 q +1q = -1 q +1q =1q + -1 q
12、2413241314又因为 q + q + q + q = 1，可以得到：q = q = q = q =。12341234同理，当对于游戏者 1 分别以概率选择四个策略时，游戏者 2 的四个策略p , p , p , p3124的收益应该相等（根据同等支付原则）：( )( )( )( )1 p + -1 p = -1 p +1 p = -1 p +1 p = 1 p + -1 p2413241314又因为，可以得到：。p + p + p + p = 1p = p = p = p =12341234因此混合策略纳什均衡为：（s ，s ），其中12 1 1 1 1 1 1 1 1 ， ， ， ，
13、， ，s =s =1 4 4 4 4 4 4 4 4 27巧克力市场上有两个厂商，各自都可以选择去市场的高端（高质量），还是去低端（低质量）。相应的利润由如下收益矩阵（表 10-5）给出：表 105 巧克力商的博弈 Born to win经济学考研交流群 0（2）当a g b 0985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解 证明：该博弈的支付矩阵如表 10-6和 10-7所示。表 10-6 G汽车厂生产 SM型汽车表 10-7 G汽车厂生产 LG型的汽车（1）该博弈存在纳什均衡。首先考虑三家选择的行动相同，那么任一个厂家都将得到数量为g 的利润。因
14、为a b g ，所以任何厂商只要选择和其他两个工厂生产不同型号的产 品，就可以获得更高的利润，所以三家工厂生产相同的产品不是纳什均衡。如果三个工厂生()()，因为a b g ，所以C厂已经获得了它产不同的产品，比如说 a a a= SM, LG,SMg, cf可能获得的最高利润，因此它不会背叛；给定其他厂商的选择，F 厂生产 LG 型号的汽车只能获得数量为 b 的利润，高于它生产 SM型号的汽车获得的数量为g 的利润，所以 F厂也不会背叛；给定其他厂商的选择，G厂在生产两种型号的汽车之间是没有差异的，因为无论那种情况下，他都只能获得数量为b 的利润，所以 G厂同样不会背叛。()(综上可知 a
15、a a)是一个纳什均衡。类似的分析表明，只要三个工厂= SM, LG,SMg,cf生产不同的产品，就是纳什均衡。（2）只要三个工厂生产的汽车型号不完全相同，这样的结果就是纳什均衡。分析类似于第（1）问。9考虑下列策略型博弈（表 10-8）：表 10-8 博弈的支付矩阵请问，该博弈里有几个均衡？为什么？答：（1）该博弈的纯策略均衡为（ ， ）。DR；（2）下面分析混合策略均衡。设参与人A分别选择策略 、 和 的概率为U MDp , p , p213 ；下面分三种情况讨论：设参与人 B分别选择策略 、 和 的概率为q ,q ,qLMR123达到混合均衡时，如果参与人 A分别选择策略 、 和 的概率
16、都严格大于零，那DUM么他选择策略 、 和 的期望收益就要相等，即：q - 2q = -2q + q = qUMD12123从而解得，矛盾，所以对参与人 B而言，不存在使得 ， ， 同时大于q q qq = q = -q123123 Born to win经济学考研交流群 点击加入零的混合均衡；对参与人 A 也有类似的结论成立。尽管如此，以上的分析并不能说明不存在混合均衡。因为达到均衡时，有可能存在参与人选择某一行动的概率为零的可能。对A 而言，在 、 、 三个行动中选择某一行动DUM的概率等于零的情况共有三种可能。对 B 也是一样，这样均衡时共有九种可能的情况，下面分别讨论：aA 选择行动
17、的概率为零，B 选择行动 的概率为零，即R0 ，从而得到如表Dp = q =3310-9 所示的支付矩阵：表 10-9 博弈的支付矩阵达到均衡时，A 选择 和 应当得到相同的期望支付，即U22，整理得到q - q = - q + qM1212；又因为p = p =0.5 。所q = qq =q + q =q = q =123121212以0.5,q =20.5,q =3p =10.5,p =20.5,0 就是一个混合均衡。13bA 选择行动 的概率为零，B 选择行动 的概率为零，采用类似于的做法可知，MD在这种情况下，不存在混合均衡。cA 选择行动 的概率为零，B 选择行动 L 的概率为零，采
18、用类似于的做法可知，D在这种情况下，不存在混合均衡。dA 选择行动 的概率为零，B 选择行动 R 的概率为零，采用类似于的做法可知，M在这种情况下，不存在混合均衡。eA 选择行动 的概率为零，B 选择行动 的概率为零，采用类似于的做法可知，MM在这种情况下，不存在混合均衡。fA 选择行动 的概率为零，B 选择行动 L 的概率为零，采用类似于的做法可知，M在这种情况下，不存在混合均衡。gA 选择行动 的概率为零，B 选择行动 R 的概率为零，采用类似于的做法可知，U在这种情况下，不存在混合均衡。hA 选择行动 的概率为零，B 选择行动 的概率为零，采用类似于的做法可知，MU在这种情况下，不存在混
19、合均衡。iA 选择行动 的概率为零，B 选择行动 的概率为零，采用类似于的做法可知，LU在这种情况下，不存在混合均衡。 =0.5,0.5,0 。综合上述分析可知，唯一的混合均衡就是：s0.5,0.5,0 ，s=AB均衡时，如果 A 选择某两个行动的概率都等于零，即 A 只能选择一个行动。这就要求在 B 的行动中，至少有一对行动可以给自己带来相同的支付，但是由支付矩阵可知，这一条件并不满足，这样均衡时，B 也只能选择一个行动，这就退化成了纯策略均衡。所以A 选择某两个行动的概率都等于零的混合均衡是不存在的；同理 B 选择某两个行动的概率都等于零的混合均衡也是不存在的。综合上述分析可知，该博弈只有
20、唯一的混和均衡，即： 0p =q = 0.5,q = 0.5,q = 0和p =10.5,p = 0.5,21233985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解 10考虑如表 10-10 和 10-11 所示的策略型博弈表 10-10 参与人 3 选择 A 时的支付矩阵表 10-11 参与人 3 选择 B 时的支付矩阵每一格左边的数字是游戏者 1 的得益，中间的数字为游戏者 2 的得益，右边的数字为游戏者 3 的得益。游戏者 3 的策略是选 A 矩阵或选 B 矩阵。（1）上述博弈中有几个纯策略纳什均衡？为什么？（2）如果三个游戏者中可以有两个人结盟
21、共同对付另一个人，会出现什么结果？解：（1）上述博弈中有两个纯策略纳什均衡。它们分别为（ ， ， ）和（ ， ，DULAR）。对任意的参与人，给定其他两个参与者的行动，他的占优行动用下划线表示出来，由B此可以得到这两个纯策略纳什均衡。（2）若三人中有两人结盟，则不外乎下面三种情况：参与人 1 和 2 结盟，支付矩阵如表 10-12 所示，该博弈的均衡是（DR ， ）。B表 10-12 参与人 1 和 2 结盟后博弈的支付矩阵参与人 1 和 3 结盟，支付矩阵如表 10-13 所示，该博弈的均衡是（UA L， ）和（，DB）。R表 10-13 参与人 1 和 3 结盟后博弈的支付矩阵参与人 2
22、和 3 结盟，支付矩阵如表 10-14 所示，该博弈的均衡是（ ， ）和（LA U，RB Born to win经济学考研交流群 时，N 2，所以参与人 的最优选择是i。=0-1 0FiN由于所有行动者的行为相同，所以当 时，纳什均衡为N 2， = ，2， ；NF = 0 i 1i( )当 = 时，纳什均衡为N 2， = ，2；i 1F 0,+i当 = 时，纳什均衡为N 1。F +i Born to win经济学考研交流群 :经济学考研解题技巧跨考经济学考研辅导提醒您: 成功的原因千千万,失败的原因就那么几个，加入我们的经济学考研交流群，考研经验交流，规避风险，锁定名校一次进!985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解