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1、 高高三三立立体体几几何何复复习习重重庆庆市市青青木木关关中中学学校校 陈陈 刚刚 一、一、06年试题分析年试题分析1、一种考法、一种考法考查基础知识的同时，注重考查能力考查基础知识的同时，注重考查能力平行、垂直平行、垂直存在性存在性唯一性唯一性任意性任意性2、两类题型、两类题型（1）定性）定性例例06重庆重庆若若P是平面是平面外一点，则下列外一点，则下列命题正确的是命题正确的是（A）过）过P只能作一条直线与平面只能作一条直线与平面相交相交（B）过）过P可作无数条直线与平面可作无数条直线与平面垂直垂直（C）过）过P只能作一条直线与平面只能作一条直线与平面平行平行 （D）过）过P可作无数条直线与
2、平面可作无数条直线与平面平行平行【说明说明】过一点作已知平面的垂线过一点作已知平面的垂线有且只有一条（唯一性）有且只有一条（唯一性）过平面外一点可作无数直线与已知过平面外一点可作无数直线与已知平面平行（存在性）平面平行（存在性）06重庆重庆4对于任意的直线对于任意的直线l与平面与平面，在，在平面平面内必有直线内必有直线m，使，使m与与l（）（A）平行）平行 （B）相交）相交 （C）垂直）垂直 （D）互为异面直线）互为异面直线 分析：分析：A反例：反例：lB反例：反例：lD反例：反例：lC：l斜交斜交垂直垂直 l【说明说明】本题考查线线关系、线面关系、分本题考查线线关系、线面关系、分类思想、任意
3、性问题类思想、任意性问题（2）定量）定量角角距离距离面积与体积面积与体积异面直线所成角异面直线所成角线面角线面角二面角二面角点面距离点面距离球面距离球面距离0606湖北湖北(文文)18)18如图，已知正三棱柱如图，已知正三棱柱ABC-ABC-A A1 1B B1 1C C1 1的侧棱长和底面边长均为的侧棱长和底面边长均为1 1，M M是底面是底面BCBC边边上的中点，上的中点，N N是侧棱是侧棱CCCC1 1上的点，且上的点，且CNCN2C2C1 1N.N.（）求二面角）求二面角B B1 1AMAMN N的平面角的余弦值；的平面角的余弦值；（）求点）求点B B1 1到平面到平面AMNAMN的距
4、离。的距离。【说明说明】图中有现成的二面角的平面角图中有现成的二面角的平面角MBCAB1A1C1N0606安徽安徽1919 如图，如图，P P是边长为是边长为1 1的正六边形的正六边形ABCDEFABCDEF所在平面外一点，所在平面外一点，P P在平面在平面ABCABC内的射内的射影为影为BFBF的中点的中点O O。（）证明：）证明：PABFPABF；（）求面与面所成二面角的大小。）求面与面所成二面角的大小。ABCDEFOPM分析：分析：()AOBF,()AOBF,由三垂线由三垂线定理得定理得APBFAPBF【说明说明】具有公共底边的两等具有公共底边的两等腰三角形构成的二面角腰三角形构成的二面
5、角()()计算可知计算可知BDBDPDPD又又ABABAPAP，故取，故取PBPB中点中点M M，则，则AMDAMD为所求角为所求角或或:PB:PB与与ADAD异面垂直异面垂直,过过ADAD作作PBPB的垂面交的垂面交PBPB于于M M，则，则AMDAMD为所求为所求【说明说明】用垂面法作二面角的用垂面法作二面角的平面角平面角3.3.三种问题三种问题接切问题、截面问题、折叠问题接切问题、截面问题、折叠问题，非主，非主干知识，考查的频率不高，但它们不会干知识，考查的频率不高，但它们不会被遗忘被遗忘06全国全国9已知各顶点都在一个球面上的正四已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为棱柱高为4，体积为
6、，体积为16，则这个球的表面积是，则这个球的表面积是A16 B20 C24 D32【说明说明】几个结论：几个结论：1）正四棱柱的对角线是外接球的直径）正四棱柱的对角线是外接球的直径2）正方体的对角线是外接球的直径）正方体的对角线是外接球的直径3）正方体的棱长是内切球的直径）正方体的棱长是内切球的直径4）若球与正方体的每条棱都相切，则正）若球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线是球的直径方体的面对角线是球的直径1)1)接切问题往往需要根据图形的对称性，进行空接切问题往往需要根据图形的对称性，进行空间想象，合情推理间想象，合情推理0606湖南湖南(理理)9)9棱长为棱长为2 2的正四面体的四
7、个顶点的正四面体的四个顶点都在同一个球面上都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如若过该球球心的一个截面如图图1,1,则图中三角形则图中三角形(正四面体的截面正四面体的截面)的面积是的面积是 ADCBFEHO2)2)截面问题难有定式可循，往往难度较大截面问题难有定式可循，往往难度较大AEHFDO123)3)折叠与展开的关键是在折叠与展开的过程中折叠与展开的关键是在折叠与展开的过程中各元素之间位置关系与数量关系是否变化各元素之间位置关系与数量关系是否变化折叠所得立体图形中元素之间的位置关系，折叠所得立体图形中元素之间的位置关系，数量关系需要在平面图形中寻找数量关系需要在平面图形中寻找展开所得平
8、面图形中元素之间的位置关系，展开所得平面图形中元素之间的位置关系，数量关系需要在立体图形中寻找，展开体现了数量关系需要在立体图形中寻找，展开体现了降维、化归思想降维、化归思想0606江西江西(文文)15)15如图，已知正三棱柱如图，已知正三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1的底面边长为的底面边长为1 1，高为，高为8 8，一质点自点，一质点自点A A出发，出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为长为 ABCA1B1C1AABCA1B1C1A1AABCA1B1C1A1B2B3C2C3A2平行问题垂直问题垂直问题角度问题角度问
9、题距离问题距离问题柱锥问题柱锥问题体积面积问题体积面积问题多面体与球的问题多面体与球的问题生活问题和翻折问题生活问题和翻折问题综合问题综合问题二、07年复习要点返回1、平行问题线线平行线面平行面面平行2、垂直问题 线线垂直线面垂直面面垂直返回3、角问题线线角（异面直线）面面角(二面角)线面角4、距离问题（1）点到直线距离）点到直线距离（2）点到平面的距离）点到平面的距离（3）两平行直线间的距离）两平行直线间的距离（4）两条异面直线间的距离）两条异面直线间的距离（5）直线与平面的距离）直线与平面的距离（6）两平行平面间的距离）两平行平面间的距离5、棱柱、棱锥综合问题以棱柱为载体的立体几何三大问题
10、以棱柱为载体的立体几何三大问题棱柱是一个重要的几何体，以棱柱为背景的空间线线、线面、面面的平行与垂直问题；空间的各种距离问题；空间的各种角的问题，是高考命题的热点，应引起高度重视。解此类问题可以充分利用棱柱的特定关系和有关性质，把问题简化。例、例、如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC的中点。（1）求证：BD1平面C1DE；（2）试在棱CC1上求一点，使得平面A1B1P平面C1DE；6、体积和面积问题求多面体的体积时常用的方法求多面体的体积时常用的方法（1）直接法）直接法（2）割补法）割补法（3）变换法）变换法7、多面体与球的问题1、球面距离、球面距离2、特殊多面体与球的中间结
11、论、特殊多面体与球的中间结论例、三棱锥例、三棱锥A-BCD的两条棱的两条棱AB=CD=6,其其余各棱长均为余各棱长均为5，求，求 三棱锥的内切球半径三棱锥的内切球半径.DCBA8、翻折问题与生活问题 例例：在在矩矩形形ABCD中中，AB=3，BC=4，沿沿对对角角线线BD对对折折成成二二面面角角A-BD-C，使使A在在平平面面BCD上的射影在上的射影在BC上。上。（1）求异面直线）求异面直线AB与与CD所成的角；所成的角；（2）求求AB和和CD间的距离。间的距离。如如图图代代表表未未折折叠叠正正方方体体的的展展开开图图，将将其其折折叠叠起起来来，变变成成正正方方体体后后图图形是（形是（）返回如
12、图是正方体的平面展开图，在这个正方体中如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中BM与与ED平行；平行；CN与与BE是异面直线；是异面直线；CN与与BM成成60的角；的角；DM与与BN垂直。垂直。以上四个命题中，正确以上四个命题中，正确命题的序号是（命题的序号是（）AEDCBFNMAEDCBFNM 返回9、立体几何中的转化思想立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化的思想方法，它贯穿立体几何教学的始终，在立体几何教学中占有很重要的地位。立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化，具体从以下几个方面入手。（1）位置关系的转化）位置关系的转化线线、线面、面面平行与垂直的位置关
13、系是立体几何中的一个重点内容，其精髓就是平行与垂直位置关系的相互依存及转化，平行与垂直问题不但能横向转化，而且可以纵向转化。例例1 已知三棱锥SABC中，ABC90，侧棱SA底面ABC，点A在棱SB和SC上的射影分别是点E、F。求证EFSC。图1ESFCBA（2 2）、降维转化）、降维转化）、降维转化）、降维转化由三维空间向二维平面转化，是研究立体几何问由三维空间向二维平面转化，是研究立体几何问题的重要数学方法之一。降维转化的目的是把空题的重要数学方法之一。降维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一个平面中去，用学生们间的基本元素转化到某一个平面中去，用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题。
14、如线面垂比较熟悉的平面几何知识来解决问题。如线面垂直的判定定理的证明就是转化为三角形全等的平直的判定定理的证明就是转化为三角形全等的平面问题。面问题。例例例例3 3 如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ABCA1B1C1ABCA1B1C1中，中，AB=BC=AB=BC=，BB1=2BB1=2，E E、F F分别为分别为AA1AA1、C1B1C1B1的的中点，沿棱柱的表面从中点，沿棱柱的表面从E E到到F F两点的最短路径的长两点的最短路径的长度为度为 .（3）、割、割补转补转化化“割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过“割”或“补”可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解
15、决问题的突破口。ABCPED图5例5 如图5，三棱锥PABC中，已知PABC，PABCn,PA与BC的公垂线EDh，求证：三棱锥PABC的体积Vn2h.（4）、等积转化）、等积转化“等积法”在初中平面几何中就已经有所应用，是一种很实用的数学方法与技巧。立体几何中的“等积转化”（或称等积变换）是以面积、体积（尤其是四面体的体积）作为媒介，来沟通有关元素之间的联系，从而使问题得到解决。例 如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1EBFD1的体积。A1 D1B1 E FD B C A1C1（5）、抽象向具体转化）、抽象向具体转化例8 三条
16、直线两两垂直，现有一条直线与其中两条直线都成60角，求此直线与另外一条直线所成的角。A D B C A1 D1 B1 C1 立体几何的教学，关键是要调动学生的学习兴趣，让他们学会联想与转化。立体几何的许多定理、结论源自生活实际，源自平面几何，要教会学生联想实际模型，联想平面几何中已经熟悉的东西，借助可取之材来建立空间想象，加强直观教学，这样就容易让学生接受，让他们喜欢上这一门学科，从而更有效地培养他们的空间想象力，提高他们解决立体几何问题的能力。10、立体几何中的排列组合概率问题、立体几何中的排列组合概率问题 例1.不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（）A.3个 B.4个 C.
17、6个 D.7个例2.过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A.18对 B.24对 C.30对 D.36对例3.以平行六面体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的概率P为三、三、07高考立几复习中知识呈现的高考立几复习中知识呈现的几点建议几点建议一堂课复习、基础训练、例题、练习之间一堂课复习、基础训练、例题、练习之间要有序要有序给知识点、解题方法与数学思想、常见题给知识点、解题方法与数学思想、常见题型、重要的几何模型配备相应的题目（知型、重要的几何模型配备相应的题目（知识点中定义有识点中定义有75个；定理、公理、性质共个；定理、公理、性质共29个）个）重要的几何模型有正方体、正四面体、底重要的几何模型有正方体、正四面体、底面是直角梯形的四棱锥面是直角梯形的四棱锥l正方体正方体BADCBADCDBACPBADC直角锥直角锥正四面体正四面体各面全为各面全为RTRT底面为直角梯形的四棱锥底面为直角梯形的四棱锥谢谢谢谢大大家家！