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1、样条插值的算例样条插值的算例三次样条的概念三次样条的概念用一阶导数表示的样条用一阶导数表示的样条三次样条的极性三次样条的极性数值分析 16引引例例.sin x 在区间在区间0，上的插值逼近上的插值逼近 1.1.二次插值二次插值 2.两点埃尔米特插值两点埃尔米特插值 3.分段埃尔米特插值分段埃尔米特插值x 0 /2 Sin x 010Cos x 101x 0 Sin x 00Cos x 11 2/18x=-5:5;y=1./(1+x.2);plot(x,y,x,y,o)x=-5:5;y=1./(1+x.2);xi=-5:.05:5;yi=spline(x,y,xi);plot(xi,yi,b,x
2、,y,ro)被插值被插值函数函数:-5 x 53/18x=0,0.0155,0.1485,0.3493,0.6480,1.0547,2.0;y=0,0.1242,0.3654,0.4975,0.5472,0.4781,0;n=length(x);t=0:n-1;tt=0:.25:n-1;xx=spline(t,x,tt);yy=spline(t,y,tt);plot(xx,yy,x,y,o)4/18定义定义 5.4 给定区间给定区间a,b上的一个分划上的一个分划:a=x0 x1 xn=b已知已知 f(xj)=yj (j=0,1,n),如果如果满足满足:(1)S(x)在在 xj，xj+1上为三次
3、多项式上为三次多项式;(2)S”(x)在区间在区间a，b上连续上连续;(3)S(xj)=yj (j=0,1,n).则则称称 S(x)为三次样条插值函数为三次样条插值函数.5/18当当xxj,xj+1 (j=0,1,n-1)时时 Sj(x)=aj+bj x+cj x2+dj x3插值条件插值条件:S(xj)=yj (j=0,1,n)连续性条件连续性条件:S(xj+0)=S(xj-0)(j=1,n-1)S(xj+0)=S(xj-0)(j=1,n-1)S”(xj+0)=S”(xj-0)(j=1,n-1)由样条定义由样条定义,可建立方程可建立方程(4n-2)个！个！n个三次多项式个三次多项式,待定系数
4、共待定系数共4n个个！方程数少于未知数个数方程数少于未知数个数？6/18(1)自然边界条件自然边界条件:S”(x0)=0,S”(xn)=0例例 5.7 已知已知f(1)=1,f(0)=0,f(1)=1.求求1，1 上的三次自然样条上的三次自然样条(满足自然边界条件满足自然边界条件).解解 设设 则则有有:a1+b1c1+d1=1,d1=0,a2+b2+c2+d2=1 d1=d2,c1=c2,b1=b2 (2)周期边界条件周期边界条件:S(x0)=S(xn),S”(x0)=S”(xn)(3)固定边界条件固定边界条件:S(x0)=f(x0),S(xn)=f(xn)7/18由自然边界条件由自然边界条
5、件:6a1+2b1=0,6a2+2b2=0 解解方程组方程组,得得 a1=-a2=1/2,b1=b2=3/2,c1=c2=d1=d2=0问题的解问题的解 x=-1,0,1;y=1,0,1;f1=inline(0.5*x.3+1.5*x.2);f2=inline(-0.5*x.3+1.5*x.2);t1=-1:.1:0;t2=0:.1:1;p1=f1(t1);p2=f2(t2);plot(x,y,o,t1,t2,p1,p2,r)Hold on,plot(t1,t2,t1,t2.2)y=x28/18用用分段分段Hermite两点插值推导样条两点插值推导样条已知函数表已知函数表x x0 x1 xnf
6、(x)y0 y1 yn设设 f(x)在各插值节点在各插值节点 xj 处处的一阶导数为的一阶导数为 mj取取 xj+1 xj=h，(j=0,1,2,n).当当 xxj,xj+1时时,分段分段Hermite插值插值9/18由由S”(x)连续连续,有等式有等式:S”(xj+0)=S”(xj 0)考虑考虑 S”(x)在区间在区间xj,xj+1和和xj-1,xj上表达上表达式式.当当 xxj,xj+1时时,S(x)由基函数组合而成由基函数组合而成10/1811/18同理同理,有有联立两联立两式式,得得(J=1,2,n-1)自然边界条件自然边界条件:S”(x0)=0,S”(xn)=012/18例例 5.7
7、 已知函数表已知函数表x 1 0 1f(x)1 0 1 m0=-3/2 m1=0 m2=3/2 x 1 0 1H(x)1 0 1H(x)-3/2 0 3/2求求 1，1上的上的三次自然样条三次自然样条(满足自然边界条件满足自然边界条件).13/18x-1,0 x0,1第第1个小区间个小区间曲率计算公式曲率计算公式第第2个小区间个小区间14/18样条插值样条插值函数的极性函数的极性设设f(x)C2a,b,对于对于a=x0 x1 xn=b,有有f(xj)=yj(j=0,1,n).S(x)是满足是满足S(xj)=yj(j=0,1,n)的三次的三次自然样条自然样条.则有则有|S”(x)|f”(x)|证
8、明证明:15/18所以所以即即样条样条函数函数S(x)在在a,b上的总曲率最小上的总曲率最小.16/18一维插值一维插值:yi=interp1(x,y,xi,method)methodnearest 最近点插值最近点插值 linear 线性插值线性插值 spline 样条插值样条插值 cubic 立方插值立方插值 x=0:10;y=sin(x);xi=0:.25:10;yi=interp1(x,y,xi);plot(x,y,o,xi,yi)二维插值二维插值zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method)三维插值三维插值vi=interp3(x,y,z,v,xi,yi,zi,method)17/18例例1.正弦曲线数据插值试验正弦曲线数据插值试验