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1、样条插值的算例样条插值的算例三次样条的概念三次样条的概念用一阶导数表示的样条用一阶导数表示的样条三次样条的极性三次样条的极性数值分析 16例例1.飞机机翼剖面图飞机机翼剖面图 1.1.数据采集数据采集2/172.数据插值处理数据插值处理X 0 -0.4552 -0.6913 -0.8640 -0.9689 -0.9996Y 0 0.3285 0.3467 0.2716 0.1408 -0.0160T=1:6;t=1:.2:6;x=spline(T,X,t);y=spline(T,Y,t);例例2:龙格函数的插值逼近龙格函数的插值逼近 3/177结点等距插值结点等距插值7结点切比雪夫插值结点切比
2、雪夫插值7结点样结点样条插值条插值7结点埃尔米特插结点埃尔米特插值值利用龙格函数的数据表做样条插值第一步利用龙格函数的数据表做样条插值第一步4/17 x-5.0-3.33 -1.66 0 1.66 3.33 5.0 y0.038 0.082 0.264 1.0 0.264 0.082 0.038m 0.014 -0.0054 0.4142 0.-0.4142 0.0054-0.014 y 0.0140.045 0.233 0 -0.233 -0.045 -0.014估算结点处导数值估算结点处导数值 mk,由三对角方程组求解得出由三对角方程组求解得出(k=1，2，3，4，5，6)，h=10/6
3、定义定义 5.4 给定区间给定区间a,b上的一个分划上的一个分划:a=x0 x1 xn=b已知已知 f(xj)=yj (j=0,1,n),如果如果满足满足:(1)S(x)在在 xj，xj+1上为三次多项式上为三次多项式;(2)S”(x)在区间在区间a，b上连续上连续;(3)S(xj)=yj (j=0,1,n).则则称称 S(x)为三次样条插值函数为三次样条插值函数.5/17当当xxj,xj+1 (j=0,1,n-1)时时 Sj(x)=aj+bj x+cj x2+dj x3插值条件插值条件:S(xj)=yj (j=0,1,n)连续性条件连续性条件:S(xj+0)=S(xj-0)(j=1,n-1)
4、S(xj+0)=S(xj-0)(j=1,n-1)S”(xj+0)=S”(xj-0)(j=1,n-1)由样条定义由样条定义,可建立方程可建立方程(4n-2)个！个！n个三次多项式个三次多项式,待定系数共待定系数共4n个个！方程数少于未知数个数方程数少于未知数个数？6/17(1)自然边界条件自然边界条件:S”(x0)=0,S”(xn)=0例例 5.7 已知已知f(1)=1,f(0)=0,f(1)=1.求求1，1 上的三次自然样条上的三次自然样条(满足自然边界条件满足自然边界条件).解解 设设 则则有有:a1+b1c1+d1=1,d1=0,a2+b2+c2+d2=1 d1=d2,c1=c2,b1=b
5、2 (2)周期边界条件周期边界条件:S(x0)=S(xn),S”(x0)=S”(xn)(3)固定边界条件固定边界条件:S(x0)=f(x0),S(xn)=f(xn)7/17由自然边界条件由自然边界条件:6a1+2b1=0,6a2+2b2=0 解解方程组方程组,得得 a1=-a2=1/2,b1=b2=3/2,c1=c2=d1=d2=0问题的解问题的解 y=x28/17y=S(x)分段分段Hermite插值公式导出的样条方法插值公式导出的样条方法已知函数表已知函数表x x0 x1 xnf(x)y0 y1 yn设设 f(x)在各插值节点在各插值节点 xj 处处的一阶导数为的一阶导数为 mj取取 xj
6、+1 xj=h，(j=0,1,2,n).当当 xxj,xj+1时时,分段分段Hermite插值插值9/17由由S”(x)连续连续,有等式有等式:S”(xj+0)=S”(xj 0)考虑考虑 S”(x)在区间在区间xj,xj+1和和xj-1,xj上表达上表达式式.当当 xxj,xj+1时时,S(x)由基函数组合而成由基函数组合而成10/1711/17同理同理,有有联联立立,得得(j=1,2,n-1 )12/17自然样条的导数值满足自然样条的导数值满足:设自然边界条件成立设自然边界条件成立,即即(j=1,2,n-1 )13/17曲率计算公式曲率计算公式15/17MATLAB样条命令样条命令:yi=s
7、pline(x,y,xi)x=-5:5;y=1./(1+x.2);xi=-5:0.1:5;f=1./(1+xi.2);yi=spline(x,y,xi);error=max(abs(yi-f)plot(x,y,o,xi,f,xi,yi,r)error=0.0220样条插值样条插值函数的极性函数的极性设设f(x)C2a,b,对于对于a=x0 x1 xn=b,有有f(xj)=yj(j=0,1,n).S(x)是满足是满足S(xj)=yj(j=0,1,n)的三次的三次自然样条自然样条.则有则有|S”(x)|f”(x)|证明证明:16/17所以所以即即样条样条函数函数S(x)在在a,b上的总曲率最小上的总曲率最小.17/17