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1、第六节第六节 泰勒泰勒(Taylor)公式公式一、问题的提出一、问题的提出三、三、几种常用的几种常用的Maclaurin公式公式四、简单的应用四、简单的应用五、作业五、作业 练习练习二、二、Taylor公式公式一、问题的提出一、问题的提出 1 1、关于多项式、关于多项式 由于它本身的运算仅是由于它本身的运算仅是多项式多项式 是最是最 简单的一类初等函数简单的一类初等函数.所以在数值计算方面，所以在数值计算方面，多项式是人们乐于使用的工具多项式是人们乐于使用的工具.有限项加减法和乘法，有限项加减法和乘法，因此我们经常用多项式来近似表达函数因此我们经常用多项式来近似表达函数.初等数学已经了解到一些
2、函数如初等数学已经了解到一些函数如 :2 2、近似计算、近似计算的一些重要性质，但是初等数学不曾回答怎样的一些重要性质，但是初等数学不曾回答怎样来计算它们？来计算它们？些结果提供了近似计算这些函数的有力方法些结果提供了近似计算这些函数的有力方法.以以 的近似计算为例的近似计算为例.高等数学微分学中所研究出来一高等数学微分学中所研究出来一线性逼近线性逼近优点优点:形式简单，计算方便；形式简单，计算方便；一次一次(线性线性)逼近逼近 利用微分近似计算公式利用微分近似计算公式 的线性逼近为的线性逼近为:不足：不足：离原点离原点0越远，近似度越差越远，近似度越差.，对，对 附近的附近的 ,1y=1yx
3、-1二次逼近二次逼近 期望：期望：二次多项式二次多项式 逼近逼近它要比它要比线性逼近好得多线性逼近好得多，但局限于，但局限于 内内.二次逼近为二次逼近为 ,可以看出，可以看出，y=1yx1-1八次逼近八次逼近 八次多项式八次多项式 逼近逼近 y=1yx1-1比比 在更大的范围在更大的范围内更接近余弦函数内更接近余弦函数.想法：想法：对于精确度要求对于精确度要求较高时候较高时候 可以可以用高次多用高次多项式来近似表达函数项式来近似表达函数.问：要找的多项式应满足什么条件？问：要找的多项式应满足什么条件？从几何上看，从几何上看，代表两条曲线，代表两条曲线，要使它们在要使它们在x0附近与很靠近，附近
4、与很靠近，很明显很明显首先要求两曲线在首先要求两曲线在 相交相交,要靠得更近还要求两曲线在要靠得更近还要求两曲线在 相切相切,要靠得更近还要求两曲线在要靠得更近还要求两曲线在 弯曲方向相同弯曲方向相同,因为弯曲程度要用切线的变化率因为弯曲程度要用切线的变化率-二阶导数来二阶导数来刻画刻画.进而可推想：若在进而可推想：若在 附近有附近有 近似程度越来越好近似程度越来越好 所以要找的多项式应满足下列条件所以要找的多项式应满足下列条件 问题归结为：问题归结为：给定一个函数给定一个函数f(x)，要找一个在指定点，要找一个在指定点 x0附近与附近与f(x)很近似的多项式函数很近似的多项式函数Pn(x)，
5、记为记为 使得使得且误差且误差可估计。可估计。为了在性质上吻为了在性质上吻合的更好，合的更好，我们我们要求要求:下面来求多项下面来求多项式式Pn(x)的表的表达式达式(即系数即系数ai)和误差表达和误差表达式式.泰勒泰勒(Taylor)多项式多项式故故定理（定理（Taylor中值定理）：中值定理）：Pn(x)思路：思路：证毕证毕!在不需要余项的精确表达式时在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为泰勒公式可写为上式称为具有佩亚诺型余项的上式称为具有佩亚诺型余项的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式.(5)在公式在公式中，中，从而泰勒公式变成如下形式，从而泰勒公式变成如下形式，称为称为带有拉格朗日型余项的
6、带有拉格朗日型余项的n 阶阶麦克劳林公式麦克劳林公式三、几个常用的三、几个常用的Maclaurin公式公式例例1 1、四、应用四、应用1 1、近似计算、近似计算例例2 2、例例3 3、求极限。、求极限。2 2、求极限、求极限已知已知解解:令令 x=1,得得由于由于欲使欲使由计算可知当由计算可知当 n=9 时上式成立时上式成立,因此因此的麦克劳林公式为的麦克劳林公式为例例2、解解 因为分式函数的分母是因为分式函数的分母是sinx2，我们只需将分子中，我们只需将分子中的的cosx与与ln(1+x)分别用二阶的麦克劳林公式表示：分别用二阶的麦克劳林公式表示：和仍记为和仍记为 ，就得：，就得：对上式作运算时把所有比对上式作运算时把所有比 高阶的无穷小的代数高阶的无穷小的代数故故 解解作作 业业习题习题2-72-7：2 2（2 2）、）、3 3（2 2）、）、6 6 思考题思考题利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限思思考考题题解解答答练练 习习 题题