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1、上页下页结束返回首页3.3 泰勒泰勒(Taylor)公式公式0 问题的提出问题的提出0 泰勒中值定理泰勒中值定理0 简单应用简单应用P139上页下页结束返回首页一、问题的提出一、问题的提出（如下图）（如下图）在微分中我们讲过，当在微分中我们讲过，当 很小时，很小时，即即令：令：则则 误差为误差为上式表明函数上式表明函数 f(x)在在 x0的附近可用一个线性函数来近似。且的附近可用一个线性函数来近似。且当当 很小时，很小时，误差误差也很小。也很小。上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页不足不足:问题问题:1、精确度不高；、精确度不高；2、误差不能估计、误差不能估计.上页下页结束返回首页分析分析
2、:2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近近似似程程度度越越来来越越好好1.若在若在 点相交点相交上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理上页下页结束返回首页证明证明:上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余项皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项上页下页结束返回首页1.1.说明说明:上页下页结束返回首页2.麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)公式公式Talyor公式特例公式特例或或上页下页结束返回首页四、Talyor公式简单的应用解解代入公式代入公式,得
3、得由公式可知由公式可知上页下页结束返回首页估计误差估计误差其误差其误差思考：e x=?上页下页结束返回首页 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式上页下页结束返回首页 位于位于 x 与与 1之间。之间。例例2 直接展开法直接展开法解：解：上页下页结束返回首页解解上页下页结束返回首页播放播放小小 结结上页下页结束返回首页播放播放上页下页结束返回首页思考题思考题1.利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限上页下页结束返回首页思考题解答思考题解答上页下页结束返回首页思考题思考题上页下页结束返回首页证明证明:f(a)=A0,f(x)二阶可导二阶可导 Xa,使使f(X)0,f(x)在在a,+)上连续上
4、连续,至少至少(a,X)a,+)使使f()=0.唯一性证明唯一性证明:方法一方法一方法二方法二(反证法反证法)若若f(x)=0有两个根有两个根:x1x2,由罗尔定理知由罗尔定理知上页下页结束返回首页作业：P145：2、4、5、9-（1）、10-（2）上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于 年月日在米德尔塞克斯的埃 德蒙顿出生。年后移居伦敦，获法学硕士学位。他在 年当选为英国皇家学 会会员，并于两年后获法学博士学位。同年（即年）出任 英国皇家学会秘书，四年 后因健康理由辞退职务。年，他以泰勒定理求解了数值方
5、程。最后在年 月日于伦敦逝世。泰勒的主要着作是年出版的正 的和反的增量方法，书内以下列形式陈述出他已于 年月给其老师梅钦（数学家、天文学家）信中首先提出的着名定理泰勒定理：式内为独立变量的增量，及 为流数。他假定随时间均匀变化，则 为常数。上述公式以现代 形式表示则为：这公式是从格雷戈里牛顿插值公式发展而成 的，当时便称作马克劳林定理。年，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且 称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑 级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。泰勒定理开创 了有限差分理论，使任何单变量 函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理 问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解方程 导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先 河。此外，此书还包括了他于 数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率 问题之研究等。年，他出版了另一名着线性透 视论，更发表了再版的线性透视原理（）。他以极严密之形式展开其线性透 视学体系，其中最突出之贡献是提出和使用没影点概念，这对摄影测量制图学之发展有 一定影响。另外，还撰有哲学遗作，发表于年。泰勒泰勒(2004-02-06)