《高等代数》行列式.ppt

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1、第三章第三章 行列式行列式3.1 3.1 线性方程组和行列式线性方程组和行列式线性方程组和行列式线性方程组和行列式 3.2 3.2 排列排列排列排列3.3 3.3 n n阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式3.4 3.4 子式和代数余子式子式和代数余子式子式和代数余子式子式和代数余子式 行列式依行行列式依行行列式依行行列式依行(列列列列)展开展开展开展开 3.5 3.5 克拉默法则克拉默法则克拉默法则克拉默法则 课外学习课外学习6 6：行列式计算方法：行列式计算方法课外学习课外学习7 7：q_q_行列式及其性质行列式及其性质能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、能够作出数学发现的人，是具有

2、感受数学中的秩序、能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于这种人。这种人。这种人。这种人。庞加莱庞加莱庞加莱庞加莱(Poincare(Poincare(Poincare(Poincare，18541854185418541921)1921)1921)1921)一个数学家，如果他不在某种程度上成为一个诗人，一个数学家，如果他不在某种程度上成为一个诗人，一个数学家，

3、如果他不在某种程度上成为一个诗人，一个数学家，如果他不在某种程度上成为一个诗人，那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。外尔斯特拉斯（外尔斯特拉斯（外尔斯特拉斯（外尔斯特拉斯（WeierstrassWeierstrassWeierstrassWeierstrass，18151815181518151897189718971897）3.1 3.1 线性方程组和行列式线性方程组和行列式一、内容分布一、内容分布一、内容分布一、内容分布 3.1.1 二阶、三阶行列式的计算二阶、三阶行

4、列式的计算(对角线法则对角线法则)3.1.2 行列式在线性方程组中的应用行列式在线性方程组中的应用二、教学目的二、教学目的二、教学目的二、教学目的：1.了解二阶、三阶行列式的定义。了解二阶、三阶行列式的定义。2.会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。三、重点难点三、重点难点三、重点难点三、重点难点：利用对角线法则计算二阶、三阶行列式利用对角线法则计算二阶、三阶行列式3.1.1 3.1.1 3.1.1 3.1.1 二阶、三阶行列式的计算二阶、三阶行列式的计算二阶、三阶行列式的计算二阶、三阶行列式的计算(对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则)二阶行列式二阶

5、行列式二阶行列式二阶行列式我们用记号我们用记号表示代数和表示代数和 称为二阶行列式称为二阶行列式,即即 三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式我们用记号我们用记号表示代数和表示代数和称为三阶行列式称为三阶行列式,即即主对角线法主对角线法 三元素乘积取“+”号；三元素乘积取“-”号.3.1.2 3.1.2 行列式在线性方程组中的应用行列式在线性方程组中的应用(1)如果含有两个未知量两个方程的线性方程组如果含有两个未知量两个方程的线性方程组(1)它的系数作成的二阶行列式它的系数作成的二阶行列式,那么方程组那么方程组(1)有解有解(2)如果含有三个未知量三个方程的线性方程组如果含有三个未知量三个方

6、程的线性方程组(2)他的系数作成的三阶行列式他的系数作成的三阶行列式,那么方程组那么方程组(2)有解有解 这里这里 我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到n阶行列式阶行列式,然后利用这一然后利用这一工具来解答含有工具来解答含有n个未知量个未知量n个方程的线性方程组个方程的线性方程组.例题选讲例题选讲 解解:由阶行列式的定义有由阶行列式的定义有:3.2 3.2 排列排列一、内容分布一、内容分布一、内容分布一、内容分布 3.2.1 排列、反序与对换排列、反序与对换 3.2.2 奇、偶排列的定义及性质奇、偶排列的定义及性质二、教学目的二、教学目的二、教学目的二、

7、教学目的 了解排列、反序、对换的定义了解排列、反序、对换的定义三、重点难点三、重点难点三、重点难点三、重点难点 求反序数求反序数3.2.1 3.2.1 排列、反序与对换排列、反序与对换 例如例如:1234，2314都是四个数码的排列。都是四个数码的排列。定义定义定义定义1 1 n个数码个数码 的一个排列指的是由这的一个排列指的是由这n个数码组个数码组成的一个有序组成的一个有序组.n n个数码的不同排列共有个数码的不同排列共有个数码的不同排列共有个数码的不同排列共有n n！个！个！个！个 例如：例如：1，2，3这三个数码的全体不同的排列一共有这三个数码的全体不同的排列一共有3！=6个，个，它们是

8、：它们是：123，132，231，213，312，321。定义定义定义定义2 2 在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某一个在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某一个较小的数码前面，就说这两个数码构成一个反序。较小的数码前面，就说这两个数码构成一个反序。计算反序数的方法：计算反序数的方法：计算反序数的方法：计算反序数的方法：看有多少个数码排在看有多少个数码排在1的前面，设为的前面，设为 个，那么就有个，那么就有 个数码与个数码与1构成反序；然后把构成反序；然后把1划去，再看划去，再看有多少个数码排在有多少个数码排在2的前面，设为的前面，设为 个，那么就有个，那么就有 个数个数 码与码与2构

9、成反序；然后把构成反序；然后把2划去，计算有多少个数码在划去，计算有多少个数码在3前面，前面，设为设为 个，个，如此继续下去，最后设在，如此继续下去，最后设在 n前面有前面有 个个 数码（显然数码（显然），那么这个排列的反序数等于），那么这个排列的反序数等于。例如：在排列例如：在排列451362里，里，所以这个排列有所以这个排列有8个序。个序。一个排列的反序数可能是偶数也可能是奇数。有偶数个一个排列的反序数可能是偶数也可能是奇数。有偶数个反序的排列叫做一个偶排列；有奇数个反序的排列叫做奇反序的排列叫做一个偶排列；有奇数个反序的排列叫做奇排列。排列。3.2.2 3.2.2 奇、偶排列的定义及性质

10、奇、偶排列的定义及性质 定义定义定义定义3 3 看看n个数码的一个排列，如果把这个排列里个数码的一个排列，如果把这个排列里的任意两个数码的任意两个数码i与与j交换一下，而其余数码保持不交换一下，而其余数码保持不动，那么就得到一个新的排列，对于排列所施行的动，那么就得到一个新的排列，对于排列所施行的这样一个变换叫做一个对换，并且用符号（这样一个变换叫做一个对换，并且用符号（i，j）来表示。来表示。定理定理定理定理3.2.13.2.1 是是n个数码的任意两个个数码的任意两个排列，那么总可以通过一系列对换由排列，那么总可以通过一系列对换由 证明证明:我们已经知道，通过一系列对换可以由我们已经知道，通

11、过一系列对换可以由 我们只需证明，我们只需证明，通过一系列对换可由通过一系列对换可由，而通过一系列对换可以由而通过一系列对换可以由，按照相反的次序施行这些对换，就可由，按照相反的次序施行这些对换，就可由。定理定理定理定理3.2.23.2.2 任意一个排列经过一个对换后的奇偶性任意一个排列经过一个对换后的奇偶性改变改变.其中其中A与与B都代表若干个数码都代表若干个数码.施行对换施行对换 得得 证明证明:我们首先看一个特殊的情形，就是被对我们首先看一个特殊的情形，就是被对 换的两个数码是相邻的。设给定的排列为换的两个数码是相邻的。设给定的排列为 A B 我们比较这两个排列的反序数我们比较这两个排列

12、的反序数.显然经过这个对换显然经过这个对换后后,属于属于A或或B的数码的位置没有改变的数码的位置没有改变,因此这些数因此这些数码所构成的反序数没有改变码所构成的反序数没有改变.同时同时i，j与与A或或B中的中的数码所构成的反序数也没有改变。若在给定的排数码所构成的反序数也没有改变。若在给定的排 列中，列中，那么经过对换那么经过对换 后，后，i与与j就构成一个就构成一个反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序数反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序数增多一个。若在给定的排列中，增多一个。若在给定的排列中，那么经过对换那么经过对换后，排列的反序数减少一个。不论是哪一种情形，后，排列的反序数减少一

13、个。不论是哪一种情形，排列的奇偶性都有改变。排列的奇偶性都有改变。A B 现在来看一般的情形。假定现在来看一般的情形。假定i与与j之间有之间有s个数码，我个数码，我们用们用 来代表。这时给定的来代表。这时给定的排列为排列为（1）先让先让i向右移动，依次与向右移动，依次与 交换。这样，经过交换。这样，经过s次相邻的两个数码的对换后（次相邻的两个数码的对换后（1）变为）变为再让再让j向左移动，依次与向左移动，依次与 交换。经过交换。经过s+1次次相邻的两个数码的对换后，排列变为相邻的两个数码的对换后，排列变为（2）但（但（2 2）正是对（）正是对（1 1）施行）施行 对换而得到的排列。因此，对换而

14、得到的排列。因此，对（对（1 1）施行对换）施行对换 相当于连续施行相当于连续施行2s+12s+1次相邻数码的次相邻数码的对换。由对换。由1 1。，每经过一次相邻两数码的对换，排列都改。，每经过一次相邻两数码的对换，排列都改变奇偶性。由于变奇偶性。由于2s+12s+1是一个奇数，所以（是一个奇数，所以（1 1）与（）与（2 2）的奇）的奇偶性相反。偶性相反。定理定理3.2.3 在在n个数码个数码(n1)的所有的所有n！个排列，其！个排列，其中奇偶排列各占一半中奇偶排列各占一半.即各为即各为 个。个。证明：设证明：设n个数码的奇排列共有个数码的奇排列共有p个，而偶排列个，而偶排列共有共有q个，对

15、这个，对这p个奇排列施行同一个对换个奇排列施行同一个对换 那么由定理那么由定理3.2.2,我们得到我们得到p 个偶排列个偶排列.由于对这由于对这p个偶排列各不相等个偶排列各不相等.又可以得到原来的又可以得到原来的p个奇排列个奇排列,所以这所以这p个偶排列各不相等个偶排列各不相等.但我们一共只有但我们一共只有q个偶个偶排列排列,所以所以 同样可得同样可得 因此因此 例题选讲例题选讲3.3 3.3 n n阶行列式阶行列式一、一、一、一、内容分布内容分布内容分布内容分布3.3.1 n阶行列式的定义阶行列式的定义3.3.2 行列式的性质行列式的性质二、教学目的：二、教学目的：二、教学目的：二、教学目的

16、：1.掌握和理解掌握和理解n阶行列式的定义。阶行列式的定义。2.会利用定义计算一些特殊的行列式。会利用定义计算一些特殊的行列式。3.掌握和理解行列式的性质。掌握和理解行列式的性质。4.熟练掌握利用性质计算及证明行列式的技巧。熟练掌握利用性质计算及证明行列式的技巧。三、重点难点：三、重点难点：三、重点难点：三、重点难点：利用定义计算行列式利用定义计算行列式 利用性质熟练计算及证明行列式利用性质熟练计算及证明行列式3.3.1 n3.3.1 n阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义1 组成的记号组成的记号 称为称为n阶行列式阶行列式,其中：横排列称为行，纵排列称为列其中：横排列称为行，纵排列称为列.任

17、意取任意取 个数个数 排成以下形式排成以下形式:(1)考察位于考察位于(1)的不同的行与不同的列上的的不同的行与不同的列上的n个元素的个元素的乘积乘积.这种乘积可以写成下面的形式这种乘积可以写成下面的形式:(2)是是1,2,n这这n个数码的一个个数码的一个这里下标这里下标 排列排列.反过来反过来,给了给了n个数码的任意一个排列个数码的任意一个排列,我们我们也能得出这样的一个乘积也能得出这样的一个乘积.因此因此,一切位于一切位于(1)的不的不同的行与不同的列上的同的行与不同的列上的n个元素的乘积一共有个元素的乘积一共有n！个个.我们用符号我们用符号 表示排列表示排列 的反序数的反序数.定义定义2

18、 用符号用符号表示的表示的n阶行列式指的是阶行列式指的是n!项的代数和项的代数和,这些项是一这些项是一切可能的取自切可能的取自(1)的不同的行与不同的列上的的不同的行与不同的列上的n个元个元素的乘积素的乘积 项项 的符号为的符号为 也就是说也就是说,当当 是偶排列时是偶排列时,这这一项的符号为正一项的符号为正,当当 是奇排列时是奇排列时,这一项这一项的的符号为负符号为负.例例1 我们看一个四阶行列式我们看一个四阶行列式 根据定义根据定义,D是一个是一个4!=24项的代数和。然而在这个项的代数和。然而在这个行列式里，除了行列式里，除了acfh,adeh,bdeg,bcfg这四项外，其余这四项外，

19、其余的项都至少含有一个因子的项都至少含有一个因子0，因而等于，因而等于0，与上面四，与上面四项对应的排列依次是项对应的排列依次是1234,1324,4321,4231.其中第一其中第一个和第三个是偶排列个和第三个是偶排列,第二个和第四个是奇排列第二个和第四个是奇排列.因因此此 转置一个一个n阶行列式阶行列式 如果把如果把D的行变为列的行变为列,就得到一个新的行列式就得到一个新的行列式叫叫D的的转转置行列式。置行列式。引理引理3.3.1 从从n阶行列式的阶行列式的 取出元素作乘积取出元素作乘积（3）这里这里 都是都是1，2，n这这n个数码的排列。那么这一项在行列式中的符号是个数码的排列。那么这一

20、项在行列式中的符号是证证:如果交换乘积如果交换乘积(3)中某两个因子的位置中某两个因子的位置,那么那么(3)的元素的元素的第一个下标和第二个下标所成的排列同时经过一次对换的第一个下标和第二个下标所成的排列同时经过一次对换,假定经过这样一次对换后所得的两个排列的反序数分别为假定经过这样一次对换后所得的两个排列的反序数分别为,那么由定理那么由定理3.2.2，都是奇数。因为两都是奇数。因为两个奇数的和是一个偶数，所以个奇数的和是一个偶数，所以 是一个偶数。因此是一个偶数。因此 同时是偶数或同时是奇数，同时是偶数或同时是奇数，从而从而 另一方面，由定理另一方面，由定理3.2.1，排列，排列 总可以经过

21、总可以经过若干次对换变为若干次对换变为 ，因此，经过若干次交换因，因此，经过若干次交换因子的次序，乘积（子的次序，乘积（3）可以变为）可以变为（4）这里这里 是是n个数码的一个排列。根据行列式个数码的一个排列。根据行列式的定义，乘积（的定义，乘积（4），因而乘积（），因而乘积（3）的符号是）的符号是。然而。然而。由上面的讨论。由上面的讨论可知可知引理被证明。引理被证明。3.3.2 3.3.2 行列式的性质行列式的性质项。这一项的元素位于项。这一项的元素位于D的不同的行和不同的列，的不同的行和不同的列，所以位于所以位于D的转置行列式的转置行列式 行，因而也是行，因而也是 D里和在里和在的两项显然

22、也是的两项显然也是项的代数和，即项的代数和，即 现在设现在设 是是n阶行列式阶行列式D的任意一的任意一的不同的列和不同的的不同的列和不同的的一项，由引理的一项，由引理3.3.1，这一项在，这一项在里的符号都是里的符号都是，并且，并且D中不同中不同中不同的两项，因为中不同的两项，因为D与与 的的项数都是项数都是n！，所以！，所以D与与 是带有相同符号的相同是带有相同符号的相同。于是有。于是有 命题命题3.3.2 行列式与它的转置行列式相等，即行列式与它的转置行列式相等，即 命题命题3.3.3 交换一个行列式的两行（或两列），行交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。列式改变符号。证证 设

23、给定行列式设给定行列式 交换交换D的第的第i行与第行与第j行行得得（旁边的（旁边的i和和j表示行的表示行的序数）序数）D的每一项可以写成的每一项可以写成（5）因为这一项的元素位于因为这一项的元素位于 的不同的行与不同的列，所以它也的不同的行与不同的列，所以它也是是 的一项，反过来，的一项，反过来，的每一项也是的每一项也是D的一项，并且的一项，并且D的不的不同项对应着同项对应着 的不同项，因此的不同项，因此D与与 含有相同的项。含有相同的项。交换行列式两列的情形，可以利用命题交换行列式两列的情形，可以利用命题3.3.2归结到交归结到交换两行的情形。换两行的情形。式的第式的第i行变成第行变成第j行

24、，第行，第j行变成第行变成第i行，而列的次序并没有改行，而列的次序并没有改变。所以由引理变。所以由引理3.3.1，并注意到，并注意到 是一奇数，是一奇数，因此（因此（5）在）在D的在的在 中的符号相反，所以中的符号相反，所以D与与 的符号相的符号相反。反。，然而在，然而在D1中，原行列中，原行列（5）在）在D中的符号是中的符号是（5）在）在 中的符号是中的符号是由命题由命题3.3.2推知，凡是行列式的对于行成立的性质推知，凡是行列式的对于行成立的性质对于列也成立，反过来也是如此。对于列也成立，反过来也是如此。推论推论3.3.4 如果一个行列式有两行（列）完全相如果一个行列式有两行（列）完全相同

25、，那么这个行列式等于零。同，那么这个行列式等于零。证证 设行列式设行列式D的第的第i行与第行与第j行行(ij)相同，由命相同，由命题题3.3.3，交换这两行后，行列式改变符号，所以，交换这两行后，行列式改变符号，所以新的行列式等于新的行列式等于D，但另一方面，交换相同的，但另一方面，交换相同的两行，行列式并没有改变由此得两行，行列式并没有改变由此得D=D或或2D=0，所以，所以D=0。命题命题3.3.5 用数用数k乘行列式的某一行（列），等于以乘行列式的某一行（列），等于以数数k 乘此行列式。即如果设，则乘此行列式。即如果设，则 证证 设把行列式设把行列式D的第的第i行的元素行的元素 乘以乘以

26、 k而得到的行列式而得到的行列式 ，那么，那么 的第的第i行的元素是行的元素是 D的每一项可以写作的每一项可以写作（6）中对应的项可以写作中对应的项可以写作（7）（6）在）在D中的符号与（中的符号与（7）在）在 中的符号都是中的符号都是 因此，因此，推论推论3.3.6 如果行列式的某一行（列）的所有元素如果行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。的公因子可以提到行列式符号的外边。推论推论3.3.7 如果行列式的某一行（列）的元素全部如果行列式的某一行（列）的元素全部是零，那么这个行列式等于零。是零，那么这个行列式等于零。推论推论3.3.8 如果行列式有两行（列）的对应元

27、素成比如果行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值等于零。例，则行列式的值等于零。证证 设行列式设行列式D的第的第i行与第行与第j行的对应元素成比例，行的对应元素成比例，那么这两行的对应元素只差一个因子那么这两行的对应元素只差一个因子k，即，即 因此因此由推论由推论3.3.6，可以把公因子，可以把公因子 k提到行列式符号的外提到行列式符号的外边，于是得到一个有两行完全相同的行列式；由推边，于是得到一个有两行完全相同的行列式；由推论论3.3.4，这个行列式等于零。，这个行列式等于零。命题命题3.3.9 如果将行列式中的某一行（列）的每如果将行列式中的某一行（列）的每 一一个元素都写成两个

28、数的和，则此行列式可以写个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写 成成 两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其它位置的元素与所在行（列）对应位置的元素，其它位置的元素与原行列式相同。即如果原行列式相同。即如果,则 。证证 D的每一项可以写成的每一项可以写成 式，它的符号是式，它的符号是 的形的形。去掉括弧，得。去掉括弧，得 但一切项但一切项 附以原有符号后的和等于附以原有符号后的和等于行列式行列式 一切项一切项 附以原有符号后的和等于行附以原有符号后的和等于行列式列式因此因此 推论推论 如果将行列式的某一行（列）的

29、每个元素都如果将行列式的某一行（列）的每个元素都写成写成m 个数（个数（m 为大于为大于2的整数）的和，则此行列的整数）的和，则此行列式可以写成式可以写成m 个行列式的和。个行列式的和。命题命题3.3.10 将行列式的某一行（列）的所有元素将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数同乘以数k 后加于另一行（列）对应位置的元素上，后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。行列式的值不变。证证 设给定行列式设给定行列式把把D的第的第j行的元素乘以同一个数行的元素乘以同一个数k后后,加到第加到第i行的行的对应元素上对应元素上,我们得到行列式我们得到行列式:的第的第i行与第行与第j列成列成比例

30、；比例；由命题由命题3.3.9，此处此处所以所以 由推论由推论3.3.8，例例2 计算行列式计算行列式 解：解：根据例题根据例题3.3.10,从从D的第二列和第三列的元素的第二列和第三列的元素减去第一列的对应元素减去第一列的对应元素(即把即把D的第一列的元素同乘的第一列的元素同乘以后以后,加到第二列和第三列的对应元素上加到第二列和第三列的对应元素上),得得这个行列式有两列成比例这个行列式有两列成比例,所以根据推论所以根据推论3.3.8,D=0.例例3 计算计算n阶行列式阶行列式 解解:我们看到我们看到,D的每一列的元素的和都是的每一列的元素的和都是n把把第二，第三，第二，第三，第，第n行都加到

31、第一行上，得行都加到第一行上，得 根据推论根据推论.,提出第一行的公因子提出第一行的公因子n,得得由第二由第二,第三第三,第第n行减去第一行行减去第一行,得得由行列式定义由行列式定义,易见后一行列式等于对角线上元素的乘积易见后一行列式等于对角线上元素的乘积 所以所以 练习选讲：练习选讲：3.4 3.4 3.4 3.4 子式和代数余子式子式和代数余子式子式和代数余子式子式和代数余子式 行列式依行行列式依行行列式依行行列式依行(列列列列)展开展开展开展开一、内容分布一、内容分布 3.4.1子式和代数余子式子式和代数余子式3.4.2行列式的依行依列展开定理行列式的依行依列展开定理3.4.3拉普拉斯定

32、理拉普拉斯定理二、教学目的：二、教学目的：1.掌握和理解子式和代数余子式的定义掌握和理解子式和代数余子式的定义2.熟练掌握利用行列式的依行依列展开定理计算及熟练掌握利用行列式的依行依列展开定理计算及证明行列式的技巧。证明行列式的技巧。三、重点难点：三、重点难点：利用行列式的依行依列展开定理熟练计算及证明行利用行列式的依行依列展开定理熟练计算及证明行列式列式 3.4.13.4.1余子式与代数余子式余子式与代数余子式定义定义1 在一个在一个n阶行列式阶行列式D中任意取定中任意取定k行和行和k列列.位位于这些行列相交处的元素所构成的于这些行列相交处的元素所构成的k阶行列式叫做阶行列式叫做行列式行列式

33、D的一个的一个k阶子式阶子式.例例1 在四阶行列式在四阶行列式中中,取定第二行和第三行取定第二行和第三行,第一列和第四列第一列和第四列.那么位于那么位于这些行列的相交处的元素就构成这些行列的相交处的元素就构成D的一个二阶子式的一个二阶子式 定义定义2 n(n1)阶行列式阶行列式 的某一元素的某一元素 的余子式的余子式 指的是在指的是在D中划去中划去 所在行和列后所余下的所在行和列后所余下的n1阶子式阶子式.例例2 例例1的四阶行列式的元素的四阶行列式的元素 的余子式是的余子式是 定义定义3 n阶行列式阶行列式D的元素的元素 的余子式的余子式 附以符附以符号号 后后,叫做元素叫做元素 的代数余子

34、式的代数余子式.元素元素 的代数余子式用符号的代数余子式用符号 来表示来表示:例例3 例例1中的四阶行列式中的四阶行列式D的元素的元素 的代数余子式的代数余子式定理定理3.4.1 若在一个若在一个n阶行列式阶行列式 中中,第第i行行(或第或第j列列)的元素除的元素除 外都是零外都是零,那么这个那么这个行列式等于行列式等于 与它的代数余子式与它的代数余子式 的乘积的乘积:证证 我们只对行来证明这个定理我们只对行来证明这个定理1)先假定先假定D和第一行的元素除和第一行的元素除 外都是外都是0，这时，这时我们要证明：我们要证明：也就是说：也就是说：子式子式 的每一项都可以写作的每一项都可以写作（1）

35、此处此处 是是2，3，n这这n个数码的一个个数码的一个排列，我们看项（排列，我们看项（1）与元素）与元素 的乘积的乘积（2）这一乘积的元素位在这一乘积的元素位在D的不同的行与不同的列上，因的不同的行与不同的列上，因此它是此它是D的一项，反过来，由于行列式的一项，反过来，由于行列式D的每一项都的每一项都含有第一行的一个元素，而第一行的元素除含有第一行的一个元素，而第一行的元素除 外都外都是零，因此是零，因此D的每一项都可以写成（的每一项都可以写成（2）的形式。这）的形式。这就是说，就是说，D的每一项都是的每一项都是 与它的子式与它的子式 的某一项的某一项的乘积，又的乘积，又 的不同项是的不同项是

36、D的不同项，因此的不同项，因此D与与 有相同的项。有相同的项。乘积（乘积（2）在）在D中的符号是中的符号是 另一方面，乘积（另一方面，乘积（2）在）在 的符号就是（的符号就是（1）在在 中的符号。乘积（中的符号。乘积（1）在元素既然位在）在元素既然位在D的的 第第2，3，n行与在第行与在第 列，因此它位在列，因此它位在 的第的第1，2，n行与列，所以（行与列，所以（1）在）在 中的符号应该是中的符号应该是 。显然，。显然，这样，乘积（，这样，乘积（2）在）在 中的符号与在中的符号与在D中的符号一致。所以中的符号一致。所以2)现在我们来看一般的情形，设现在我们来看一般的情形，设 我们变动行列式我

37、们变动行列式D的行列，使的行列，使 位于第一行位于第一行 与第一列，与第一列，并且保持并且保持 的余子式不变。的余子式不变。为了达到这一目的，我们把为了达到这一目的，我们把D的第的第i行依次与第行依次与第 i1，i2，2，1行交换，这样，一共经过了行交换，这样，一共经过了 i1次交换两行次交换两行的步骤，我们就把的步骤，我们就把D的第的第i行换到第一行的位置。然后再把第行换到第一行的位置。然后再把第j列依次与第列依次与第j1，j2，2，1列交换，一共经过了列交换，一共经过了j1次交换两列的步骤，次交换两列的步骤，就被交换到第一行与第一列的位置上，就被交换到第一行与第一列的位置上，这时，这时，D

38、变为下面形式的行列式：变为下面形式的行列式：是由是由D经过（经过（i1）+(j1)次换行换列的步骤次换行换列的步骤而得到的。由命题而得到的。由命题3.3.3，交换行列式的两行或两，交换行列式的两行或两列，行列式改变符号，因此列，行列式改变符号，因此这样，定理得到证明。这样，定理得到证明。3.4.23.4.2行列式的依行依列展开行列式的依行依列展开定理定理3.4.2 n阶行列式阶行列式 等于它的任意一行等于它的任意一行(列列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和的各元素与其对应代数余子式乘积的和,即即证证 我们只对行来证明，即证明（我们只对行来证明，即证明（3），先把行列式），先把行列式D写成以下

39、形式：写成以下形式：也就是说，把也就是说，把D的第的第i行的每一元素写成行的每一元素写成n项的和。项的和。根据命题根据命题3.3.9，D等于等于n个行列式的和：个行列式的和：在这在这n个行列式的每一个中，除了第个行列式的每一个中，除了第i行外，其余行外，其余的行都与的行都与D的相应行相同。因此，每一行列式的的相应行相同。因此，每一行列式的第第i行的元素的代数余子式与行的元素的代数余子式与D的第的第i行的对应元素行的对应元素的代数余子式相同。这样，由定理的代数余子式相同。这样，由定理3.4.1，定理定理3.4.3 n阶行列式阶行列式 的某一行的某一行(列列)的元的元素与另一行素与另一行(列列)对

40、应元素的代数余子式乘积的对应元素的代数余子式乘积的和等于零和等于零,即即 （5）（6）证证 我们只证明等式（我们只证明等式（5）。看行列式）。看行列式 的第的第i行与第行与第j行完全相同，所以行完全相同，所以 =0。另一。另一方面，方面，与与D仅有第仅有第j行不同，因此行不同，因此 的第的第j行行的元素的代数余子式与的元素的代数余子式与D的第的第j行的对应元素行的对应元素的代数余子式相同的代数余子式相同,把把 依第依第j行展开，得行展开，得因而因而 例例4 计算四阶行列式计算四阶行列式在这个行列式里，第三行已有一个元素是零，由在这个行列式里，第三行已有一个元素是零，由第一列减去第三列的二倍，再

41、把第三列加到第四第一列减去第三列的二倍，再把第三列加到第四列上，得：列上，得：根据定理根据定理3.4.1 把所得的三阶行列式的第一行加到第二行，得：把所得的三阶行列式的第一行加到第二行，得：所以所以 D=40 例例5 计算计算n阶行列式阶行列式按第一行展开，得：按第一行展开，得：这里的第一个这里的第一个n1阶行列式与阶行列式与 有相同的形式，有相同的形式，把它们记作把它们记作 ；第二个；第二个n1阶行列式阶行列式 等于等于 。所以所以 这个式子对于任何这个式子对于任何 都成立，因此有都成立，因此有但但 ,所以所以 由最后一行开始，每一行减去它的相邻的前一行乘由最后一行开始，每一行减去它的相邻的

42、前一行乘以以 ，得，得 例例6 计算四阶行列式计算四阶行列式 这个行列式叫做一个这个行列式叫做一个n阶范德蒙德阶范德蒙德(Vandermonde)行行列式列式.由定理由定理3.4.1 提取每列的公因子后，得提取每列的公因子后，得最后的因子是一个最后的因子是一个n-1阶的范德蒙德行列式。我阶的范德蒙德行列式。我们用们用 代表它：代表它：同样得同样得此处此处 是一个是一个n-2阶的范德蒙德行列式。如此继续阶的范德蒙德行列式。如此继续下去，最后得下去，最后得练习题：练习题：3.5 3.5 克拉默法则克拉默法则一、内容分布一、内容分布 3.5.1齐次与非齐次线性方程组的概念齐次与非齐次线性方程组的概念

43、3.5.2克莱姆法则克莱姆法则 3.5.3齐次线性方程组解的定理齐次线性方程组解的定理二、教学目的：二、教学目的：1.掌握和理解齐次与非齐次线性方程组的概念。掌握和理解齐次与非齐次线性方程组的概念。2.熟练掌握克莱姆法则。熟练掌握克莱姆法则。3熟练掌握齐次线性方程组解的定理熟练掌握齐次线性方程组解的定理三、重点难点：三、重点难点：利用克莱姆法则求线性方程组的解及证明一些相关问题。利用克莱姆法则求线性方程组的解及证明一些相关问题。3.5.1.齐次与非齐次线性方程组的概念含有含有n 个方程的个方程的n 元线性方程组的一般形式为元线性方程组的一般形式为（1.9）它的系数它的系数 构成的行列式构成的行

44、列式（1.10）称为方程组（称为方程组（1.9）的系数行列式。）的系数行列式。如果线性方程组（如果线性方程组（1.9）的常数项为零，即）的常数项为零，即称为齐次线性方程组。称为齐次线性方程组。3.5.23.5.2克莱姆法则克莱姆法则定理定理3.5.1(克莱姆法则克莱姆法则)线性方程组线性方程组(1.9)当其系当其系数行列式数行列式 时时,有且仅有唯一解有且仅有唯一解 此处此处 是将系数行列式中第是将系数行列式中第j列的元素对应地换为方列的元素对应地换为方程组的常数项程组的常数项 后得到的后得到的n 阶行列式阶行列式.证证 时是显然的时是显然的.设设 .令是整数令是整数1，2，中，中的任意一个的

45、任意一个.分别以分别以 乘方程组（乘方程组（1）的第）的第一，第二，一，第二，第个，第个 方程，然后相加，得方程，然后相加，得 由定理由定理3.4.2和和3.4.3，的系数等于的系数等于D而而 的系的系数都是零；因此等式左端等于数都是零；因此等式左端等于 ，而等式右端刚，而等式右端刚好是好是 阶行列式阶行列式这样，我们得到这样，我们得到 令令 我们得到方程组我们得到方程组（3）方程组（方程组（1）的每一解都是方程组（）的每一解都是方程组（3）的解）的解.事实事实上，设上，设 是方程组（是方程组（1）的一个解。那么在）的一个解。那么在（1）中把）中把 代以代以 ，就得到一组等式。对，就得到一组等

46、式。对于这一组等式施以由方程组（于这一组等式施以由方程组（1）到方程组（）到方程组（3）的）的变换，显然得到下面的一组等式：变换，显然得到下面的一组等式：这就是说，这就是说，也是方程组（也是方程组（3）的一解。）的一解。当当 时，方程组（时，方程组（3）有唯一解，就是（）有唯一解，就是（2）。）。因此方程组（因此方程组（1）也最多有这一个解。）也最多有这一个解。我们证明（我们证明（2）是（）是（1）的解。为此，把（）的解。为此，把（2）代入方程组（代入方程组（1），那么（），那么（1）的第）的第 个方程个方程的左端变为的左端变为而而计算出来，我们得到计算出来，我们得到这里我们应用了定理这里我们

47、应用了定理3.4.2和和3.4.3。这就是说，。这就是说，（2）是方程组（是方程组（1）得解。）得解。因此，当因此，当 时，方程组（时，方程组（1）有且仅有一个）有且仅有一个解，这个解由公式（解，这个解由公式（2）给出。）给出。例例 解线性方程组解线性方程组 解：这个方程组的行列式解：这个方程组的行列式因为因为 ，我们可以应用克拉默规则。再计算以下，我们可以应用克拉默规则。再计算以下的行列式：的行列式：由克拉默规则，得方由克拉默规则，得方程组的解是程组的解是 注意：克拉默规则只有注意：克拉默规则只有在在 时才能应用。时才能应用。3.5.33.5.3齐次线性方程组解的定理齐次线性方程组解的定理定理定理3.5.2 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(1.13)的系数行的系数行列式列式 ,则它仅有零解则它仅有零解.练习选讲：练习选讲：