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1、第八章 误差理论基础概述观测误差及其分类偶然误差的性质衡量精度的标准误差传播定律等精度观测的精度评定非等精度观测的评定第一节 概述一、测量误差来源观测者感觉器官鉴别能力的局限性 由于受观测者的感觉器官的鉴别能力的影响，使得在对仪器进行对中、整平、照准、读数、观测者技能的熟练程度等方面均会产生误差。仪器工具的质量 由于受到测量仪器精确度、仪器结构不完善的限制，使得测量误差受到一定的影响。观测时所处的外界环境 由于测量时所处的外界环境中的空气温度、压力、风力、日光照射、大气折光、烟尘等客观因素的不断变化，必将使测量结果产生误差。二、研究误差理论的目的（1）从带有误差的观测值中获得最或然值（2）评定
2、观测值的最或然值的精度最或然值：最可靠值多余观测：测量工作往往都要进行多余必要次数的观测。观测条件：观测者、观测仪器和外界环境第二节 观测误差及其分类一、观测误差 X为观测量的真值 L为该量的观测值 为该量的真观测误差：=L-X 二、观测误差的分类 1、按照误差产生的规律分 （1）系统误差：系统误差：在相同的条件下作多次观测，如果误差值在大小和符号上表现出一致性或者按照一定的函数规律变化。（2）偶然误差：偶然误差：在相同的条件下作多次观测，其误差值在大小和符号上都不相同，表面看不出明显的规律性。（3）粗差亦称错误，是由于观测者使用的仪器不合格、观测者的疏忽大意或外界条件发生意外变动引起的错误。
3、2、按误差产生的来源分 （1）人差 （2）仪器误差 （3）外界环境误差第三节 偶然误差的性质例如：在相同的观测条件下，对一闭合水准路线上重复进行普通水准测量89次，每次测得一个高差闭合差，现取误差区间的间隔10mm，现分析闭合差的误差规律。误差区间负的误差正的误差备注个数k相对个数 k/n个数k相对个数 k/n0mm10mm102020303040405050以上25115210440.2810.1240.0560.0220.01100.4942697300450.2920.1010.0790.034000.506等于区间左端值的误差计入该区间偶然误差特性 （1）在一定的观测条件下，偶然误差的
4、绝对值不会超出 一定的限值（误差有界性）（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大 （小误差的密集性）（3）绝对值相等的正误差和负误差出现的概率大致相等 （正负误差的对称性）（4）随着观测次数的无限增多，偶然误差的算术平均值 趋向于零。第四节 衡量精度的标准一、中误差 设对未知量X进行了多次观测，其结果为 L1，L2Ln，每个观测结果相应的真误差为1，2 n，我们取各真误差平方和的平均数，在开平方根作为衡量标准。例题：有甲、乙两人在相似条件下，观测同样10个 三角形之所有内角，得两列三角形的闭合差，结果如表所示：闭合差 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10甲 3 -2 -4 2
5、1 0 4 -3 -2 3 乙 0 1 -7 -2 1 -1 8 0 -3 1由公式可以求得：二、极限误差 在测量规范中，为了确保成果质量，根据测量的精度要求，通常取3倍或2倍中误差作为测量中偶然误差的极限值，成为极限误差，简称限差。限=3m三、相对误差 相对误差等于绝对误差的绝对值与相应观测值之比。比值，无量纲第五节 误差传播定律误差传播：直接观测值不可避免地含有偶然误差，使得由直接观测值求得的函数值，也必定受到影响而产生误差，这种现象称为误差传播。误差传播定律：在测量上用以描述直接观测值中误差同函数中误差之间的关系的定律，称为误差传播定律。一、倍乘函数的中误差 设有函数 z=Kx 则函数中
6、误差为：例题：在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为 d=23.4 mm，其中误差 md=0.2 mm，求该两点的实际距离D及其中误差 mD。二、和差函数的中误差 设有函数Z=XY 则函数中误差为：例题：在ABC中，C=180AB，A和B的观测中误差分别为3和4，则C的中误差为多少？三、一般线形函数的中误差 一般的线性函数为 Z=k1x1k2x2knxn 则函数中误差为：例题：有一函数 ，其中x1、x2及x3的中误差分别为3mm、2mm和1mm，则Z的中误差是多少？四、非线性函数的中误差 设有一般函数 式中x1、x2、xn为独立观测值，已知其中误差为mi（i=1,2,n），则中误差为
7、：使用误差传播定律的注意事项：1、正确列出函数式 例：用长30 m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为ml=5 mm，求全长D及其中误差mD。2、在函数式中各个观测值必须相互独立，即互不相关。例：函数式z=y1+2y2，其中 y1=3x;y2=2x+2 若已知x的中误差为mx，求Z的中误差mz。第六节 等精度观测的精度评定一、用真误差求中误差二、用改正数求中误差1、最或然值 在相同的观测条件下，对某量进行了n 次观测，其观测值分别为 L1，L2Ln，则2、等精度观测值的改正数及其数学特性（1）等精度观测值改正数的代数和为零，即v=0（2）等精度观测值改正数平方和最小，即vv=最小3、用改
8、正数求观测值中误差公式三、最或然值的中误差 例题：对某角等精度观测6次，其观测值见表。试求观测值的最或然值、观测值的中误差以及最或然值的中误差。次数观测值123456753213“753218“753215“753216“753214“753217“观测值改正数vv753213“753218“753215“753216“753214“753217“2.5-2.5 0.5-0.5 1.5-1.5 6.256.250.250.252.252.25解：观测值的最或然值：x=753215.5 观测值的中误差：最或然值中误差为：算术平均值的中误差是观测值中误差的 倍,这说明算术平均值的精度比观测值的精度
9、要高，且观测次数愈多，精度愈高。所以多次观测取其平均值，是减小偶然误差的影响、提高成果精度的有效方法。当观测的中误差m一定时，算术平均值的中误差M与观测次数n的平方根成反比。观测次数观测次数算数平均值的中误算数平均值的中误差差M24610200.71m0.50m0.41m0.32m0.22m第七节 非等精度观测的评定一、权的概念 1、定义 在一组非等精度观测值中，权是表示观测结果质量相对可靠程度的一种权衡值。2、特点（1）权越大，表示观测值越可靠，即精度越高（2）权始终是正数（3）权只有相对意义（4）权可以用同一数乘或除，而不会改变其性质二、确定观测值权的方法 其中：为任意常数。等于1的权称为单位权，权等于1的中误差称为 “单位权中误差”，一般用m0表示。权的另外一种表达式为：三、非等精度观测值的最或然值最或然值中误差：即：以非等精度观测高差2组，第一组数据为：2.610、2.604；第二组数据为：2.616、2.626、2.627、2.623。求其最或然值并评定精度。