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1、人教版人教版 数学数学 九年级九年级 上册上册 第二十四章第二十四章24.1.4 24.1.4 圆内接四边形圆内接四边形瑞金四中瑞金四中 陶辛子陶辛子情境导入：情境导入：一个海港有三个灯塔一个海港有三个灯塔A、B、C巧好在同一个圆上，在巧好在同一个圆上，在AB范围内是浅滩，范围内是浅滩，一只深水船要从灯塔一只深水船要从灯塔A处航行到灯塔处航行到灯塔B处，为了使航道最近，又不能进入浅滩，处，为了使航道最近，又不能进入浅滩，深水船只能沿着深水船只能沿着AB航行，因此测量仪需要时刻监测船只所在位置与灯塔航行，因此测量仪需要时刻监测船只所在位置与灯塔A、B的视角的视角APB，已知灯塔，已知灯塔C与灯塔
2、与灯塔A、B的视角的视角ACB=68，你能计算出船只，你能计算出船只在航行过程中，应该与灯塔在航行过程中，应该与灯塔A、B保持的角度保持的角度APB是多少度吗？是多少度吗？ABCo6868PPP?复习巩固：复习巩固：1.什么是圆心角？什么是圆周角？什么是圆心角？什么是圆周角？2.同弧所对的圆周角和圆心角有什么关系？同弧所对的圆周角和圆心角有什么关系？3.圆周角定理的推论是什么？圆周角定理的推论是什么？推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等同弧或等弧所对的圆周角相等.圆周角定理圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.顶点在圆上，并且两边都
3、与圆相交的角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做叫做圆周角圆周角.推论推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径.顶点在圆心的角顶点在圆心的角叫做叫做圆心角圆心角；C1C2C1C2C3新知构建：新知构建：如果如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多，这个多边形叫做边形叫做圆内接多边形圆内接多边形，这个圆叫做这个，这个圆叫做这个多边形的外接圆多边形的外接圆.圆内接多边形圆内接多边形定义：定义：请仔细观察以下图形，有什么不同点和相同点？请仔细观察以下图形，有什么不同点和相同点？
4、新知构建：新知构建：如果如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四，这个四边形叫做边形叫做圆内接四边形圆内接四边形，圆内接四边形圆内接四边形定义：定义：圆内接四边形圆内接四边形四边形的外接圆四边形的外接圆这个圆叫做这个这个圆叫做这个四边形的外接圆四边形的外接圆.类比思想类比思想明辨是非：明辨是非：如果如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四，这个四边形叫做边形叫做圆内接四边形圆内接四边形，圆内接四边形圆内接四边形定义：定义：这个圆叫做这个这个圆叫做这个四边形的外接圆四边形的外接圆.请判断下列图形中的四边形哪个是圆内接
5、四边形？为什么？请判断下列图形中的四边形哪个是圆内接四边形？为什么？(1)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(4)(5)新知构建：新知构建：如果如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四，这个四边形叫做边形叫做圆内接四边形圆内接四边形，圆内接四边形圆内接四边形定义：定义：这个圆叫做这个这个圆叫做这个四边形的外接圆四边形的外接圆.1.1.四边形的四个内角和为多少度？四边形的四个内角和为多少度？2.2.以下圆内接四边形的两组对角有什么关系呢？以下圆内接四边形的两组对角有什么关系呢？由特殊到一般由特殊到一般合作探究：合作探究：请同学们六人一组，合作完成以
6、下步骤：请同学们六人一组，合作完成以下步骤：1.在在O上上任意任意作一个作一个圆内接四边形圆内接四边形ABCD.2.用量角器分别量出圆内接四边形用量角器分别量出圆内接四边形ABCD 的的四个内角度数四个内角度数.3.分别计算出圆内接四边形分别计算出圆内接四边形ABCD的两组的两组 对角之和对角之和.4.和你的小组成员交流，找出你们所作圆和你的小组成员交流，找出你们所作圆 内接四边形内接四边形ABCD的不同点与相同点的不同点与相同点.圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补.猜想：猜想：合作探究：合作探究：猜想：猜想：圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补.已知：四边形已知：四边形AB
7、CD是是O的内接四边形的内接四边形.求证：求证：A C 180，B D 180.证明：如图，连接证明：如图，连接OB，OD.A所对的弧为所对的弧为BCD，C所对的弧为所对的弧为BAD.A 1,C 2.又又 1 2360,A C （1 2）180.同理可得同理可得 B D 180.12合作探究：合作探究：猜想：猜想：圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补.已知：四边形已知：四边形ABCD是是O的内接四边形的内接四边形.求证：求证：A C 180,B D 180.12345678证明：如图，连接证明：如图，连接OA，OB，OC，OD.OAOBOCOD，BAD BCD 180.同理可得同理可得
8、 ABC ADC 180.1 2，3 4，5 6，7 8.又又1 23 45 678360,1 84 5180.合作探究：合作探究：猜想：猜想：圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补.已知：四边形已知：四边形ABCD是是O的内接四边形的内接四边形.求证：求证：A C 180,B D 180.14238765证明：如图，连接证明：如图，连接AC，BD.BAD BCD 180.同理可得同理可得 ABC ADC 180.1 4，2 7，3 6，5 8.又又1 23 45 678360,1 25 6180.合作探究：合作探究：猜想：猜想：圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补.已知：四边形
9、已知：四边形ABCD是是O的内接四边形的内接四边形.求证：求证：A C 180,B D 180.证明：如图，连接证明：如图，连接AC，BD.又又 13，2 4，BAD BCD 180.同理可得同理可得 ABD ADC 180.1423在在ABD 中，中，BAD 1 2 180，BAD 3 4 180，合作探究：合作探究：猜想：猜想：圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补.已知：四边形已知：四边形ABCD是是O的内接四边形的内接四边形.求证：求证：A C 180,B D 180.证明：如图，连接证明：如图，连接DO交交O于点于点E，连接连接EA，EC.DO是直径是直径，BAD BCD（DA
10、E1）（DCE2）180.同理可得同理可得 ABD ADC 180.DAE90，DCE 90，且且 1 2.又又BAD DAE1，BCDDCE2,12合作探究：合作探究：猜想：猜想：圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补.已知：四边形已知：四边形ABCD是是O的内接四边形的内接四边形.求证：求证：A C 180,B D 180.12123456781423876512转化思想转化思想发现归纳：发现归纳：圆内接四边形圆内接四边形性质性质：圆内接四边形的对角互补.数学符号语言：数学符号语言：四边形四边形ABCD内接于内接于O,AC180，BD180.牛刀小试：牛刀小试：例题例题1：如图，四边
11、形：如图，四边形ABCD内接于内接于O，若若C70，则，则A .110变式变式1：如图，四边形：如图，四边形ABCD内接于内接于O，E为为BA延长线上一点延长线上一点，若，若C70，则则DAE .7070？1107070110推论：推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.综合应用：综合应用：变式变式2：如图，四边形：如图，四边形ABCD内接于内接于O，E为为BA延长线上一点，延长线上一点，连接连接AC，BD,若若AD平分平分EAC.求证：求证：DBDC.12证明：证明：AD平分平分EAC,四边形四边形ABCD内接于内接于O,DABDCB180.EAD 1
12、 .又又 DABEAD180，EADDCB.又又 12，DCB 2.DB DC .连接连接DO，你有什么新的发现？你有什么新的发现？1 12 2综合应用：综合应用：例题例题2：已知已知AB是是O的直径，弦的直径，弦CDAB于于点点E，H是弧是弧AC上的任意一点，连结上的任意一点，连结AH并延并延长，交长，交DC的延长线于的延长线于F点点.求证：求证：1=2.证明：证明：如图，连接如图，连接AD四边形四边形AHCD内接于内接于O,AHCADC180.又又 AHC2180，ADC2.1=2.又又 CDAB,AC AD .ADC=1.综合应用：综合应用：1 12 2例题例题2：已知已知AB是是O的直
13、径，弦的直径，弦CDAB于于点点E，H是弧是弧AC上的任意一点，连结上的任意一点，连结AH并延并延长，交长，交DC的延长线于的延长线于F点点.求证：求证：1=2.证明：证明：如图，连接如图，连接BC四边形四边形AHCB内接于内接于O,AHCABC180.又又 AHC2180，ABC2.1=2.又又 CDAB,AC AD .ABC=1.综合应用：综合应用：1 12 23 34 4例题例题2：已知已知AB是是O的直径，弦的直径，弦CDAB于于点点E，H是弧是弧AC上的任意一点，连结上的任意一点，连结AH并延并延长，交长，交DC的延长线于的延长线于F点点.求证：求证：1=2.证明：证明：如图，连接如
14、图，连接BHAB是是O的直径的直径,AHB90.BHF90.1390，2490.1=2.又又 CDAB,BC BD .3=4.解决问题：解决问题：ABCo6868P?112112 一个海港有三个灯塔一个海港有三个灯塔A、B、C巧好在同一个圆上，在巧好在同一个圆上，在AB范围内是浅滩，范围内是浅滩，一只深水船要从灯塔一只深水船要从灯塔A处航行到灯塔处航行到灯塔B处，为了使航道最近，又不能进入浅处，为了使航道最近，又不能进入浅滩，深水船只能沿着滩，深水船只能沿着AB航行，因此测量仪需要时刻监测船只所在位置与灯航行，因此测量仪需要时刻监测船只所在位置与灯塔塔A、B的视角的视角APB，已知灯塔，已知灯
15、塔C与灯塔与灯塔A、B的视角的视角 ACB=68=68，你能，你能计算出船只在航行过程中，应该与灯塔计算出船只在航行过程中，应该与灯塔A、B保持的角度保持的角度APB是多少度吗？是多少度吗？课堂小结：课堂小结：通过这节课的学习，通过这节课的学习，你学你学到了到了哪些数学知识？哪些数学知识？体验体验了哪些数学了哪些数学方法与过程方法与过程？感悟感悟了哪些数学了哪些数学思想思想？课堂小结：课堂小结：证明归纳证明归纳圆内接四边形圆内接四边形观察发现观察发现灵活应用灵活应用定义定义应用应用思想思想性质性质如果一个四边形的各个顶点如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四在同一个圆上，那么这个四边
16、形叫做圆的内接四边形边形叫做圆的内接四边形.圆内接四边圆内接四边形对角互补形对角互补.构造圆内接四构造圆内接四边形，一题多边形，一题多解，一题多变解，一题多变,特殊到一般、特殊到一般、类比、转化、类比、转化、归纳归纳分层作业：分层作业：必做题：必做题：1.若若ABCD为圆内接四边形，则下列选项可能成立的是为圆内接四边形，则下列选项可能成立的是 ()A.A：B：C：D=1 ：2 ：3 ：4B.A：B：C：D=2 ：1 ：3 ：4C.A：B：C：D=3 ：2 ：1 ：4D.A：B：C：D=4 ：3 ：3 ：22.如图所示，四边形如图所示，四边形ABCD内接于内接于O，若，若BOD=138，则它的一个外角则它的一个外角DCE等于等于 .选做题：选做题：1.如图：已知四边形如图：已知四边形ABCD内一点内一点O,若若OA=OB=OC=OD,BAD=50,则则BOD=,BCD=.(请思考有哪些判断四点共圆的情况呢？请思考有哪些判断四点共圆的情况呢？)变式：变式：A：B：C：D=2 ：3 ：7 ：形形状状四四边边圆圆内内接接，方方圆圆一一体体，曲曲直直变变换换，问问题题多多解解活活中中求求，动动静静几几何何，难难易易转转化化，圆来如此圆来如此类类比比转转化化探探究究对对角角互互补补揭揭奥奥秘秘；学学用用并并举举提提升升思思维维能能力力得得真真知知。