《2拉氏变换及反变换(补充)_机械工程控制基础_第五版.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2拉氏变换及反变换(补充)_机械工程控制基础_第五版.ppt（67页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换补充内容：补充内容：拉普拉斯拉普拉斯变换及反变换变换及反变换2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换（Laplace）2.2 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换 2.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 2.4 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换2.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 拉氏变换拉氏变换是求解是求解常系数线性微分方程常系数线性微分方程的的工具工具。把把线性时不变系统线性时不变系统的的时域模型时域模型简便地进行简便地进行变换变换
2、，经求，经求解再解再还原还原为时间函数。为时间函数。机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换一、拉氏变换（一、拉氏变换（Laplace transformation）的定义的定义 （Laplace transformation）（inverse Laplace transformation）f(t)和和F(s)是一对拉普拉斯变换对是一对拉普拉斯变换对（Laplace pairs）。机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换记号记号 f(t)表示表示取拉氏变换。取拉氏变换。-1 F(s)表示表示取拉氏反变换。取拉氏反变换。f(t)，t
3、 0,)称为称为原函数（原函数（original function），），属时属时 域（域（time domain）。）。原函数原函数 f(t)用小写字母表示，如用小写字母表示，如 i(t)，u(t)。F(s)称为象函数（称为象函数（transform function），），属复频域属复频域（complex frequency domain）。象函数象函数F(s)用大写字母用大写字母 表示表示，如，如 I(s)，U(s)。称为复频称为复频 率率（complex frequency）。）。机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换积分下限从积分下限从0 开始，称为
4、开始，称为0 拉氏变换拉氏变换。积分下限从积分下限从0+开始，称为开始，称为0+拉氏变换拉氏变换。当当f(t)含有冲激函数项时，含有冲激函数项时，此项此项 00+拉氏变换和拉氏变换和0 拉氏变换的区别：拉氏变换的区别：为了把为了把0-0+时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变 换定义式中积分下限从换定义式中积分下限从 0-开始。开始。机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换（1）求解方程求解方程得到得到简化简化。拉氏变换将拉氏变换将“微分微分”变换成变换成“乘法乘法”，“积分积分”变换成变换成“除法除法”。即将。即将微分
5、方程微分方程变成变成代数方程代数方程。（2）初始条件初始条件自动包含在自动包含在 变换式变换式里。里。二、拉氏变换的优点二、拉氏变换的优点应用拉氏变换：应用拉氏变换：机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换拉氏变换已考虑了初始条件拉氏变换已考虑了初始条件终值初值机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换三、拉氏变换的物理意义三、拉氏变换的物理意义拉氏拉氏变换是将变换是将时间函数时间函数f(t)f(t)变换为变换为复变函数复变函数F(s)F(s)，或作相反或作相反变换。变换。时域时域f(tf(t)变量变量t t是实数是实数，复频域，复
6、频域F(s)F(s)变量变量s s是是复数复数。变量。变量s s又又称称“复频率复频率”。拉氏变换建立了拉氏变换建立了时域与时域与复频域复频域(s(s域）域）之间的联系。之间的联系。看出：将看出：将 频率频率变换为变换为复频率复频率s,且且 只能描述只能描述振荡振荡的的重复频率重复频率，而而s不仅不仅能给出能给出重复频率重复频率，还，还给出振荡幅度给出振荡幅度的的增长速率或衰增长速率或衰减速率减速率。机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换四、拉氏变换存在条件四、拉氏变换存在条件 不同的不同的 f(t)，0的值不同，的值不同，称称 0为复平面为复平面s内的收敛横
7、坐标。内的收敛横坐标。0 j 0收敛坐标收敛坐标 收敛轴收敛轴 收敛区收敛区 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换 由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论 中一般不再写出其收敛范围。中一般不再写出其收敛范围。机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换拉氏变换收敛域举例拉氏变换收敛域举例（5）不收敛信号除非机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换2.2 2.2 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普
8、拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换=1 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换1f1(t)e-t t0例例 求图示两个函数的拉氏变换式求图示两个函数的拉氏变换式 1f2(t)e-t t 0 解解 由于定义的拉氏变换积分下限是由于定义的拉氏变换积分下限是0，两个，两个 函函数的拉氏变换式相同数的拉氏变换式相同机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换当取上式的反变换时，只能表示出当取上式的反变换时，只能表示出区间的函数式区间的函数式 11机械工程控制基础机械
9、工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换15.3 15.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 一、线性（一、线性（linearity）性质性质 例例1 例例2 例例3 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换二、微分（二、微分（differentiation）定理）定理 例例1 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换原始值为r(0-)及r/(0-)，原始值为e(0-)=0，求r(t)的象函数。解：解：设r(t)，e(t)均可进行拉氏变换即有E(S)=Le(t),R(S)=Lr(t)对方程两端进行拉氏变换，
10、应用线性组合线性组合与微分定理微分定理可得S2R(s)-Sr(0-)-r/(0-)+a1SR(s)-r(0-)+a0R(s)=b1SE(s)-e(0-)+b0E(s)整理合并得（S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b10例例3 某动态电路的输入某动态电路的输入输出方程为输出方程为反变换得 r(t)=L-1R(s)机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换三、积分（三、积分（integration）定理）定理 例例 积分上限也应为0-机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换四、
11、时域平移（四、时域平移（time shift）t f(t-t0)t00 f(t)t0f(t)f(t-t0)平移平移 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例1 求图示函数的拉氏变换式求图示函数的拉氏变换式 1Ttf(t)0机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例3 周期函数（周期函数（periodic function）的拉氏变换。的拉氏变换。设设 f1(t)为第一个周期的函数，为第一个周期的函数，.tf(t)1T/2 T0 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换.tf(t)1T/2 T0
12、机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例1 例例2 例例3 五、五、复频域平移（复频域平移（frequency shift）机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换六、初值六、初值(initial-value)定理和终值定理和终值(final-value)定理定理 初值定理初值定理 若若 f(t)=F(s)，且，且 f(t)在在t=0处无冲激处无冲激，则则终值定理终值定理 f(t)及其导数及其导数f (t)可进行拉氏变换，且可进行拉氏变换，且 ，则，则机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例
13、1 例例2 例例3 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例4 4：已知：已知F(sF(s)=)=解：解：由初值定理和终值定理可得，求求f(0)和和f()例例5：已知：已知F(s)=,求求f(0)和和f()由于s=ja是sF(s)的极点，位于虚轴上，不能应用终值定理，即f()不存在。解：解：由初值定理得机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例 右图所示电路中，电压源为 ，试用时域卷积定理求零状态响应电流i(t)七、七、解：解：令激励电压为单位冲激电压(t)，则初值为冲激响应电流为h(t)=零状态响应电流为卷积积分i(t)=
14、u(t)*h(t)=u(t)*进行拉普拉斯变换 Li(t)=U(s)H(s)=U(s)Lh(t)机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换八、八、九、九、机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换表表2-1 拉拉普普拉拉斯斯变变换换的的基基本本性性质质机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换表表2-2 拉拉普普拉拉斯斯变变换换表表机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础
15、拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换2.4 2.4 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 一、由象函数求原函数一、由象函数求原函数 （2）经数学处理后查拉普拉斯变换表）经数学处理后查拉普拉斯变换表 f(t)=L-1F(s)（1）利用公式）利用公式 较较麻烦麻烦 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换象函数的一般形式：象函数的一般形式：二、将二、将F(s)进行部分分式展开（进行部分分式展开（partial-fraction expansion）机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换等式两边同乘等式两边同乘(s-s1)=0机械工程控制
16、基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换ki也可用也可用分解定理分解定理求求 等式两边同乘（等式两边同乘（s-si）应用洛比达法则求极限应用洛比达法则求极限 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例1 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例2 用分解定理用分解定理 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例3 m n，用长除法，得用长除法，得 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换k1,k2也是一对共轭复数。也是一对共轭复数。假设只有
17、两个根假设只有两个根，可据前面介绍的两种方法，可据前面介绍的两种方法设设 求出求出 k1,k2。机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例 法一：法一：部分分式展开，求系数。部分分式展开，求系数。机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换法二：法二：将将F2(s)改写为改写为(s )2+2 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换等式两边乘等式两边乘机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例1 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换
18、例例2 等式两边乘等式两边乘 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换4.一般多重根情况一般多重根情况 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换练习练习1:1:机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换练习练习2:2:机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换
19、机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换练习练习3:3:机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换练习练习4:4:机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换2.5 用拉氏变换法用拉氏变换法求解常微分方程求解常微分方程机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换一、一、用拉氏变换求解微分方程用拉氏变换求解微分方程机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换用拉氏变换求解微分方程用拉氏变换求解微分方程机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例1:1:机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换