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1、循环码(Cyclic code)循环码概念及特点码多项式表示循环码的性质码多项式与循环码移位后的关系循环码的生成多项式及其构造寻找生成多项式生成矩阵和监督矩阵非系统码 系统码循环码的编码器循环码的译码器1循环码概念及性质特点概念如果是C的码组，则它的左右移位都是C的码组，具有这种特性的线性分组码称为循环码循环码。性质特点线性分组码循环性任一许用码字经过循环移位后，得到的码组仍为一个许用码组如是循环码的一许用码组则也是一许用码组 2生成多项式g(x)产生循环码由前Theo.一个(n,k)的二进制循环码可以看成是唯一由它的生成多项式产生，即例如(7,3)循环码，n=7,k=3,r=4如果信息位为0
2、10，u(x)=x（信息多项式）生成码为01110103生成矩阵 G(x)由于k位信息位共有个码组，都可用此法产生，如果现有信息码生成k个码字，且这k个码字都线性无关，用这k个码字作为一个矩阵G的k行构成生成矩阵G(x)4例：由(7,3)循环码生成多项式，构成生成矩阵(7,3)循环码这样构成的循环码并非是系统码5非系统码 系统码（1）Ex：(7,4)码，已知信息位为1001时，求：编码器输出。or（系统码输出）6非系统码 系统码（2）系统码的码多项式为例如，(7,4)码，1011（1)(2）7生成矩阵和监督矩阵系统码的生成矩阵典型形式非系统码系统码生成矩阵监督矩阵8生成矩阵和监督矩阵可验证由于
3、g（x）能除尽 即或生成多项式为监督多项式为可得到9如果生成矩阵是则监督矩阵为两者满足 10互反多项式与零空间由于xn+1可被g(x)整除，xn+1=g(x)h(x)若h(x)=hkxk+hk-1xk-1+h1x+h0，则h*(x)=h0 xk+h1xk-1+hk-1x+hk为h(x)的互反多项式g(x)和h*(x)均可生成长度为n的循环码，且互为零空间Ex：P9911循环码的编码器原理：按系统码的生成方式（除法器电路）以(7,4)码为例12循环码的译码器译码比编码复杂得多检错、纠错译码三步伴随式S的计算由S得到错误图样纠正13伴随式的计算发送码组接收码组误差码组校正子只与E有关，根本是计算校
4、正子14检错检错用于检错：用于检错：将接受到的码组进行出发运算，如果除尽，则说明传输无误；如果未除尽，则表明传输出现差错，要求发送端重发。用于这种目的的循环码经常被成为循环冗余校验码，即CRC校验码。15校正子S的计算生成多项式g(x)去除接收码字Y(x)16CRC码码（循环冗余校验码（循环冗余校验码）是一种循环码，用于检错。具有很强的检错能力，而且编码器及译码器都很容易实现。在数据通信中得到广泛应用。（通过MODEM传输文件的协议，如ZMODEM协议中均用到了CRC校验技术）可以检测出的错误如下：（1）突发长度n-k的突发错误；（2）大部分突发长度n-k+1的错误；（3）大部分突发长度n-k
5、+1的错误；（4）所有与许用码组的码距dmin-1的错误；（5）所有奇数个随机错误。17将任意k个信息码组用类似p100图9.3.1的编码器编成系统码，得到一个长为 的码，这就是CRC。18PolynomialParity bitsCRC-6464CRC-3232CRC-2424CRC-1616CRC-1212CRC-1010CRC-88CRC-6x6+x5+x2+x+16CRC-4419BCH码码（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem码）码）是线性分组码中循环码的一种重要子类，有严密的代数结构，是目前研究较多、应用较广的一种线性分组码。具有纠正多个随机错误的能力。根据对纠错能
6、力的要求，选择参数，并根据代数结构构造编译码算法。如：n=7,k=4,t=1;n=15,k=7,t=2;n=31,k=16,t=3;n=127,k=50,t=13。20BCH码码（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem码）码）是线性分组码中循环码的一种重要子类，有严密的代数结构，是目前研究较多、应用较广的一种线性分组码。具有纠正多个随机错误的能力。根据对纠错能力的要求，选择参数，并根据代数结构构造编译码算法。如：n=7,k=4,t=1;n=15,k=7,t=2;n=31,k=16,t=3;n=127,k=50,t=13。21RS码码（Reed-Solomon码）码）是一种非二进制的BCH码。即：在（n,k）RS码中，输入信息被分成km比特一组，每组包括k个符号，每个符号由m比特组成。纠正t个符号错误的RS码参数如下：码长n=2m-1符号，或m(2m-1)比特信息段k符号，或km比特监督段n-k=2t符号，或m(n-k)比特最小码距d=2t+1符号，或m(2t+1)比特22