《五年级上册知识点汇总(数学).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《五年级上册知识点汇总(数学).pdf（33页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 五年级上册知识点汇总（数学）目录（按住ctrl 并单击鼠标直接转到相应单元）第一单元小数乘法.1第二单元小数除法.3第三单元观察物体.11第四单元简易方程.13第五单元多边形的面积.20第六单元统计与可能性.27第七单元数学广角.31第一单元小数乘法1、小数乘以整数的方法：以 0.7213 为例（1）将小数看成整数，用整数的方法对齐竖式相当于算 72 13 时的竖式对齐（2）先按照看成的整数进行计算相当于算7213，得 936（3）最后分析小数点的移动，看成整数时向右移动了几位，就要将得数的小数点向左移动相同的位数2、小数乘以整数的方法（末尾有0，容易错误的）：末尾有 0 的小数乘以整数，
2、方法和末尾没有0 的其实是一样的，只是要注意，整数乘法末尾的 0 要用虚线隔开先不算，在得数后面再添上（一共有几个就添几个），最后再确定小数点的位置。即：先添 0，再移动。以下仅展示2个例题3、小数乘以小数的方法（与小数乘以整数的方法类似）：以 10.60.75 为例（1）先按整数乘法算出积。相当于算 10675（把 6与 5 对齐），算出积得7950（2）再给积点上小数点，看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。10.6 是一位小数，0.75 是两位小数，一共有三位小数。所以从积7950的右边起数出三位，点上小数点，得7.950（小数末尾的0 要划掉）U0-721 30,
3、7213囡为0.72苷成72来柒，相当于小数点向右移动了两位，所以捋数936的小数点就要向左移动相荀的位数（两位，得136X21 6729.3G2.&X280=700先按25X280对齐竖式，把25与28对齐，280末M的0用虚线隔开先不算C2)按整数it算方法汁算25X28,得700,再将末厍的0添在祠效末M,得7000(3)把2.5f成26来算，小数点H右移动了一位，就要将符数7000的小数点向左移动一位,符700.0,坛后将小数木尾的oi掉c此逋中小数部分都是0,连小数点也可以一并去掉）C1)当作整数180X360来列竖弍，将18和36对齐,将末尾的(1隔开先不算(2)计算18X36,得
4、648,再在末尾添上一共2个0,得64800(3)0.180看成180来算，相当于小数点向右移动了三位，就要把得数64800的小数点向左栘动二位，得U4.8(J0,将小数末尾的0去掉，得S4_B2.50.180X360=64.8X2800.18,0360sonX5070(,il1 085464.8试试把小数末足的0先去掉算算0.18X360,再比较下算式，你会有收获的！(1)当作整数来列坚式，捫106和75末位对齐C2)计算106X75,得7950C3)10_6是一位小数，5300.75是两位小数，所以枳71210.6：0+75一共要有三也小数，就从得数右边数出三位点上小数点，得7.950C4
5、)g后把小敢末尾的0划掉，横式写了.957.9566129oX2（3）如果积的小数位数不够，要在前面用0 补足。4、小数乘法的意义：与整数乘法类似，3.2 4.5 表示 3.2 的 4.5 倍，而不说 4.5 个 3.2 连加的和5、积与第一个因数的关系：一个数（0 除外）乘小于1 的数，积比原来的数小。如30.82.43 一个数（0 除外）乘大于1 的数，积比原来的数大。如31.063.183 6、积的近似数：即在计算之后对积求近似数知识链接 1（四年级下册）求小数近似数的方法：确定精确度，找出尾数，对尾数的最高位“四舍五入”“四舍五入”法：0、1、2、3、4 要舍去，5、6、7、8、9 要
6、入（向前一位进一）例如，将“3.467 千米”保留一位小数，尾数是67，最高位上的数字是6，向前一位进一，得 3.5 千米（单位要记得写！），检查，OK 知识链接 2（四年级下册）精确度的表示方法：保留整数=精确到个位=省略个位后面的尾数保留一位小数=精确到十分位=省略十分位后面的尾数保留两位小数=精确到百分位=省略百分位后面的尾数,知识链接 3（四年级下册）求近似数的注意事项：在表示近似数时，小数末尾的0 不能去掉。如4.895 保留两位小数得4.90，而不是 4.9。知识链接4（四年级下册）求给定近似数的小数范围：如要求近似于4.36 的三位小数的范围，因为是精确到百分位，所以关键是分析尾
7、数最高位千分位的数字。有两种情况：如果千分位上的数字是“入”的情况，即59，则百分位数字原来应该更小一些，为5，所以可以是4.3554.359；如果千分位上的数字是“舍”的情况，即04，则百分位数字不变，为6，所以可以是4.3604.364。注意到4.360 4.36，所以近似数是4.36 的三位小数范围是4.3554.364，4.360 除外。7、积的近似数的书写：在横竖式计算的时候，当竖式计算出得数后，可将得数四舍五入保留近似数，直接在横式中写上近似数是多少，而不用 写出精确值再求近似数。注意近似数要用“”符号。8、小数的四则运算顺序跟整数是一样的。9、整数乘法的运算定律，对于小数乘法也适
8、用。10、常见题型一：根据已知算式直接写出其他算式的得数。如，根据 65392535，直接写出下面算式的得数。6.53.9 将小数转化成整数进行计算时，其实质是算6539，与已知算式相同。因为因数中一共有两位小数，所以最后的积也应从右边数起两位，点上小数点，得25.35。0.650.039 将小数转化成整数进行计算时，其实质是算6539，与已知算式相同。因为因数中一共有五位小数，所以最后的积也应从右边数起五位，点上小数点，当积的位数不够时，要在前面添0 占位，得0.02535。11、常见题型二：不计算出得数，直接根据已知算式填空。如，6.53.9（）39（）0.390.065（）（）（）6.5
9、3.9 其实质是算6539，只不过最后要从积的右边数出一共两位点上小数点而已。所以后面每个相等的乘法算式的实质也应该是求6539，最后也要从积的右边数出一共两位点上小数点。如果某个因数小数位数太多，就要在另一个因数末尾添0 扩大。3 所以 6.53.9（0.65）39（65）0.390.065（390）（0.0065）（3900）第二单元小数除法1、小数除以整数的方法：以 7.8 4 为例（1）按 照 整 数 除 法 的方法去除（2）商 的 小 数 点 要 和被 除 数 的 小 数 点对齐（3）如果有余数，要添0 再除2、小数除以整数的方法（商中间有0的，整数部分不够除的，被除数要添0 的，容
10、易错误的）：（1）如果除到哪一位，余数不够除以除数的，就要在这一位的商上面写0 占位，然后把被除数下一位数字落下来继续除。以14.217 为例（2）被除数如果小于除数，则所得的商一定比1 小，即商的整数部分为0。所以，整数部分不够除，商0，点上小数点，再多看被除数的一位继续除。以1.812 为例(1)除数是一位数，先看被除数的第一位1乘以4得4(3)余数3小于除数，将被除数下一位的数fifal个之一除以4得9个十分之一，先在商上点上小数点（要和被除数对齐），再在十分位上写9-9X4=36,38-36=2(5)余数2小于4,这时被除数录后已投有|0字嫩-査除接縱f在|分位上5X4=20,201.
11、9S4J7-8138个3836之-20ir205分之飞-20=(6)所以7.8+4=1.95(1)除数7是一位数，先看被除数的第一位，第一位1不够除，看被除数的前两位.(2)14除以7得2，把2写在个位上，2X7=14,1414=0,不写，直接把下一位非0的数字2落2,0 37J14.211 4下 来。21(3)2不够除以7,这时必須先点上小数点，再在十分位上写0占位，然后把被除数的下一位1落下来继续除。(4)21个百分之一除以7得3个百分之一，把3写在百分位上，3X7=21,21-21=0.已经除尽-210(1)1.8小于12(或整数部分1不够除以12),直接在商的整数部分写0,点上小数点，
12、再多看被除数的一位继续除(2)18个十分之一除以12得1个十分之一，把1写在十分位上，1X12=12,18一12=6(3余数6小于除数12,添0继续除(4)60个百分之一除以12得5个百分之一，把5写在百分位上，5X12=60,60-60=0,-已经除尽。0.1 5-812606004（3）如果看到被除数的最后一位也不够除的，在被除数的小数部分末尾添上0，继续除。以 0.4 16 和 34 为例。3、一个数除以小数的方法：原理：根据商不变规律，可以将被除数和除数同时扩大到相同的倍数，转化成整数进行计算，其中的关键是要将除数转化成整数。知识链接在除法算式中，被除数和除数同时乘以（或除以）相同的数
13、（0 除外），商不变。这叫做“商不变规律”（或商不变性质）。（1）先看除数有几位小数，将它扩大到整数（2）要使商不变，除数扩大到原来的几倍，被除数也要同时扩大到相同的倍数（3）按照一个数除以整数的方法来算以下举 3 个例子说明小数点的不同处理方法：(1)被除数3小于除数4，商0,点上小数点。这时被除数整个不够除以除数，就在整数个位的右下角点上小数点，在小数部分添0继续除。(2)30个十分之一除以4得7个十分之一，把7写在十分位上，7X4=28,30-28=2(3)余数2小于除数4,添0继续除。20个百分之一除以4得5个百分之一，把5写在百分位上，5X4=20,2020=0已经除尽。0.7 54
14、3.02820200(1)被除数0.4小于16，商0，点上小数点D这时被除数整个不够除以除数，就在小数末尾添0继续除，因为除劲百分位，商的十分位必须补0占位.(2)40个百分之一除以16得2个百分之一，把2写在百分位上，2X16=32,4032=8。(3)余数8小于除数16,添0继续除t8 0个千分之一除以16得5个千分之一，把5写在千分位上，5X16=8 0,80-80=0已经除尽.注意：这两种情况才是在被除数末尾添0,其它都是在余数末尾添0继续除B0.0 2 56J0.4032808009情況一：被除敢和除数小 数 位 数 相 直 接 把小数点划掉I?澉部分为0的还要捫0划掉）。把7.65
15、4-0.B5当作765+35来许x85J7.6 57650怙况二s被除数小败佇戢小 于 除 要 根 据 小 数 的性质，在被除数末尾用0补足到小数位数相同，再根据情况一划掉并计算D把12.6+0.28当柞1260+28来茸45饵、28J1260:1401400恬况三t被除勒小勒位费大于除数，同吋扩大相同倍数（即小数点向右栘动tfl同位数后,被除数的小数点出现在职的位B,必須点上，此时商的小数点要和新的被除数的小数点对齐_把5.44+1.6当作54.4+163.41eJTTTJ4H64640来茸5 4、整数除以小数，得数较大时的特殊情况（这一点有争议，为了便于判断余数，暂且按照添上小数点并划掉的
16、来做）：有时一个整数除以比较小的小数，整数要扩大相同倍数时末尾要添0，这时按照算理（被除数和除数同时扩大相同的倍数，即小数点向右移动相同的位数）要先点上小数点，再按照除以小数的方法进行计算。以150.06 为例5、商与第一个因数的关系：一个数（0 除外）除以小于1 的数，商比被除数大。如40.854 一个数（0 除外）除以大于1 的数，商比被除数小。如61.256 6、商与 1 的大小关系：当被除数小于除数（0 除外）时，商比1 小。如 4.819.20.251 当被除数等于除数（0 除外）时，商和1 相等。当被除数大于除数（0 除外）时，商比1 大。如 6.451.281 7、商的近似数及其
17、书写规范：求商的近似数与求积的近似数的方法及规范类似，可以参考第一单元“积的近似数”部分的内容。同样，在横竖式计算的时候，当竖式计算出得数后，可将得数四舍五入保留近似数，直接在横式中写上近似数是多少，而不用 写出精确值再求近似数。注意近似数要用“”符号。不同的是，求积的近似数一般要算出整个积（因为积是有限小数），而求商的近似数的题目一般结果都是多位小数甚至无限小数，所以只要求算到比精确度多一位小数即可。以 1.941.2（保留两位小数）和342.7（保留三位小数）为例(1)整数15除以小数位数比较多的小数0.06,根据除以小效的方法，要将被除数和除数同时扩大到相同的倍数。这时要特别注意，整数1
18、5的小数点隐眾在15末尾，不能直接在后面添0,要点出小数点并划掉。最后当作1500+6来算(2)除数6是一位数，先看被除数的第一位，第一位1不够除，再看被除数的前两位，15除以6得2,2X6=12,1512=3,余数3小子除数S(3)在余数3的末尾添0绝续除，30除以6得5,5X6=30,3030=0(4)这时余数是0,被除数的下一位也是0,已经除尽了，所以0要写在30的0的下面，并且在商的最后一位补0占位。6J0.015250玟，06J150 01 230注意：15后面的小数点要添上后划掉300(D L94-L2.除数是一位小数，将它的小数点向右移动一位，转化成整数(2)要使商不变，被除数的
19、小数点也要向右移动一位相当于減14十12(3)除数是两位数，先看被除数的前两位，19-12得1,1X12=12,1912=7,余数7比除数12小(4)4落下来，74个十分之一除以12得6个十分之一,先点上小数点，再杷6写在十分位上6X12=72t7472=2，余数2小于除数12(5)添0继续除，20个百分之一除以12得1个百分之一，把1写在百分位上，1X12=12,2012=8，余数S比除数12小：添0继续除，80个千分之一賒以12得6个千分之一，把6写在千分位上，6X12=72，80-72=8,余数8比除数12小(6因为要保留两位小数，算完商的小數第三位商的余数后就不用添0继续除了I对商的小
20、数第三位数字四舍五入，保留两位小数得1.62(7)结论：1.94+1.2&1.62，将横式补全1.94+1.21.62(保留两位小数）1.61 61、2J19.4I274722012竖式只要比保留的数位多算一位商即可S07286 8、循环小数相关概念：（1）有限小数：小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。例如1.5 和 0.9375 都是有限小数。（2）无限小数：小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。如3.141592,就是一个无限小数。（3）循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。如5.33,和7.14545,都是循环小数
21、。循环小数一定是无限小数，而无限小数却不一定是循环小数。（4）循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。例如，5.33,的循环节是3，6.9258258,的循环节是258。（5）纯循环小数（不要求）：循环节从小数部分第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数。如 0.33,和8.2525,都是纯循环小数。（6）混循环小数（不要求）：循环节不是从小数部分第一位开始的循环小数，叫做混循环小数。如1.233,和13.0984343,都是混循环小数。9、循环小数的写法：（1）竖式竖式计算时，在算到余数重复出现的时候，就可以判断商是循环小数。循环节是从上一个重复余数的下
22、一位到余数重复出现的那一位。书写竖式时，不要标注符号，只需算到余数重复出现即可停止。以 6.643.3 和 58 27 为例U)除数是一位小数，将它的小数点向右移动一位，将其转化成整数(2)要使商不变，被除数的小数点也要向右移动一位，被除数34的小数点隐藏在4的后面*将其点出，末尾添0,再移动小数点，划掉4后面的小数点。当作340+27来算a3)34+27得1，1X27=27，3427=7，727，0落下来，70+27得2,2X27=54,70-54=16,1627。(4)添0继续除，160个十分之一除以27f得5+十分之一，筅赢上小数点，苒在十芬位上写5,5X27=135，160-135=2
23、5,2527(5)添0继续除，250个百分之一除以27，得9个百分之一，把9写在百分位上，9X27=243，250-243=7,727：添0继续除，70个千分之一除以27得2个千分之一，把2写在千分位上，2X27=54,7054=16，1627:添0继续除，160个万分之一除以27得5个万分之一，把5写在万分位上，5X27得135,160135=25，25要使商不变.被除数的小数点也要向右移动一位，当作66+4+33来算(3)66.433,除数是两位数，先看被除数的前两位，66+33得2,2X33=66,66-66=0，因为被除数下一位是4,余数0不写，直接把4落下来U)4个十分之一不够除33
24、,就在商的十分位上写0占位，然后在余数4的末尾添0继续除*(5)40个百分之一除以33得1,1X33=33,40-33=7,733：添0继续除，70个千分之一除以33得2,2X33=66,7066=4,433(6)数4軍复出现，循环节是从第一个4的下一位商“1到第二个4的那一位商，所以商的循环节是12。2.0123y36、6,466r40余数4重复出现了1循环节就是从第一个4的下一位商1到第二个4的那一位商2,所以循环节为12.3 3706647（2）横式及简便写法在计算出商并确定相应的循环节后，在横式中补充完得数。得数至少要包含2 个循环节，最后还要添上“,”（要与省略号区分开，只有3 个点
25、）以表示无限小数。简便写法：写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位上面各记一个圆点。注意：循环小数的得数是准确数，要用“”符号进行连接。同样以上面两题为例，循环小数已经是无限小数，不能在末尾添小省略号“,”了！10、循环小数横竖式常见问题横式：简便写法不够简便。如“将8.02342342,用简便写法表示”，有学生答案是其实分析此无限小数，最先出现循环的小数部分是234，最后一个2 同样也符合这个规律，只不过它是循环节出现第三次的第一个数字了。所以答案最好应该是竖式：在教学循环小数时，如果在整数部分算出的余数在小数部分第一位就重复了，有的学生就容易搞混，甚至把循环节的“”
26、记在整数部分。以1303 为例回到课本 P28，看概念“循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。”、“循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。”结论：循环节只能出现在小数部分，只有在计算到小数部分得出余数重复时，才能确定循环节。U)除数是一位数，先宥被除数的第一位，第一位1不够除以3,看葡两位，13+3得4,4X3=12,13-12=1,13；被除数下一位的0落下来继续除，10+3得13X3=910一9=11O(b添0继续1(个十分之一除以3得3个十分之一，先在商上点上小数点，再把3写在十分
27、位上，3X3=9,10-9=1,13-3)余数1重复出现了，这是个循环小数，循环节就是从上一个1的下一位商3(同时也是130+3=43.5这一位的商所以(1)58+27,除数是两位数，先看被除数的前1两位，58+27得2，2X27=54，58-54=4,r-余数4小于除数27|(2)添0继续除，40个十分之一除以27得1个十!分之一，先点上小数点，再把1写在十分位上，f1X27=27,40-27=13,余数13小于除数27(3)添0继续除，130个百分之一除以27得4个百-1-分之一，把4写在百分位上，4X27=108，130:一108=22，余数22小于除数27:添0继续除，J-220个千分
28、之一除以27得8个千分之一，把8写I在千分位上，8X27=216,220216=4,余数4小于除数274,(4)余数4重复出现了，说明这是一个循环小数J循环节就是从第一个4的下一J：商“1到第二个4的那一位商“8”，所以循环节为1482J1482758r4i02:7余数4重复出现了!循环节就是从第一个4的下一位商1到第二个4的那一位商8，所以循环节为148。li301:082 2021N/58+27=2.148148普通写法6.64+3.3=2.01212简便写法6.64+3.3=2,0125827=2.148X58+27=2,148典型错误6,64+3.3=2.0128.023428.023
29、4to到相是因在算相算数商，能须现！生余m的可务出行学现得误不，分才有发是钳节分部数:步于是环部数余盘一.，循数小的注这同.43为整到同8 11、循环小数的大小比较与求近似数：循环小数的大小比较方法与普通小数相同，只要多写出几位并依次比较即可；循环小数求近似数的方法与普通小数相同，只要比精确到的数位多写出一位并对其四舍五入即可。如：12、常见除法数量关系：（1）每份数份数总数总数每份数份数总数份数每份数（2）1 倍数倍数几倍数几倍数 1 倍数倍数几倍数倍数1 倍数（3）速度时间路程路程速度时间路程时间速度（4）单价数量总价总价单价数量总价数量单价（5）工作效率工作时间工作总量工作总量工作效率工
30、作时间工作总量工作时间工作效率（6）无余数时：被除数除数商被除数商除数商除数被除数（7）有余数时：（被除数余数）除数商（被除数余数）商除数被除数除数商余数13、数量关系式的推导与写法：新课程强调在发展学生数学理解的前提下进行数量关系的抽象概括，即在明确运算意义的基础上建立相应的数学模型数量关系式正是小学阶段一种典型的数学模型，在解决问题之前写出数量关系式有助于学生把握数量关系，提高解题能力。从这一单元起，我们要求学生在解决问题前先列出数量关系式，再根据数量关系式列式计算。数量关系式的推导有以下几个步骤：（1）明确数量（2）寻找关系（3）综合分析以学习指导丛书P23，2（2）为例：“买 4 支圆
31、珠笔和3 本笔记本共花7.35 元，已知笔记本每本0.65 元，圆珠笔每支多少钱？”先明确数量，用简单的文字概括题目条件。如“4 支圆珠笔”简称“笔数”，“7.35 元”是“笔、本总价”，“笔记本每本0.65 元”是“本单价”，等等。再寻找关系，我们一般从问题入手寻找条件和关系。问题“圆珠笔没值多少钱”就是要求“笔单价”。而根据“单价总价数量”，得出“笔数”从题目条件得出为“4 支”，就要找“笔总价”。而由“笔总价”加上“本总价”等于“笔、本总价”得出“笔、本总价”已知是7.35 元，继续寻找“本总价”，得出“本单价”和“本数”都是题目所给条件。所有条件已知，将数量关系式综合分析，相同的数量关
32、系层层代入，形成综合数量关系式。0,30.3330.330.31,231-2323-*结论L231.451.45=1,4545笔总价4-笔数笔单价笔、本总价本总价笔总价本单价X本数本总价9 当明确综合数量关系式后，只要代入已知条件形成算式即可，注意先算（上层）的步骤要用小括号保护，以防运算顺序错误，待列出综合式后再简化。代入条件得【7.35（0.653）】4，其中 0.653 的小括号不影响运算顺序，可以去掉，得到正确的列式为（7.350.653）4。最后计算、答（略）。14、数量关系练习：请参照以下题目自己分析出数量关系式。(1)一间教室长13 米，宽 8.4 米，用面积 0.09 平方米的
33、方砖铺地面，需要这种方砖多少块？(2)五（1）班买来2根 10m 长的绳子准备做跳绳，一根跳绳长1.4m，最多能做几根？(3)甲种牛奶每箱24 袋，共 40.8 元；乙种牛奶每箱22 袋，共 35.2 元，这两种牛奶哪种便宜？一袋便宜多少钱？(4)学校买来10 箱粉笔，用去250 盒后，还剩下550 盒，平均每箱多少盒？(5)小丽和兰兰玩跳绳，小丽跳的个数是兰兰的4 倍，兰兰再跳39 个就和小丽同样多。小丽和兰兰各跳多少个？(6)已知长方形的宽是长的一半，它的长是 3.6 米，这个长方形的周长是多少米？面积是多少米？15、“进一法”与“去尾法”的实际应用：因为按照实际情况有时不能简单的用四舍五
34、入求近似数，就要看情况“进一”和“去尾”。“进一法”例题：小明的妈妈要将2.5 千克香油分装，每个瓶装0.4 千克，需要几个瓶？数量关系式：总油量每瓶油量瓶数本单价X本数笔、本总价一本总价+笔数笔单价2原每根长X原根数KX宽总长+每 根 长=根 数总 面 积+每 砖 面 积=砖 数3,乙 总 价+乙 袋 数甲 总 价+甲 袋 数乙 单 价=每 袋 便 宜 钱 数甲 单 价4,剩+总 盒 政+箱 数用 去每箱盒数5,兰兰倍数小丽倍数一倍下数X兰兰侑数=小*下数一倍下数6、一半X长一半X长V)长X宽=面 税X2=周 长(长+10 2.50.46.25（个）而瓶子只有整数个，而四舍五入成6 的话显然
35、不够，所以要“进一”。6 17（个）答：需要7 个瓶子。“去尾法”例题：用一根成35 米的绳子剪跳绳，每根跳绳长2.3 米，最多能剪几根？数量关系式：总长每根长根数352.3计算时发现商是无限小数（循环节很长），而也不需要保留很多位小数，根据“进一法”或“去尾法”，计算时至少要保留一位小数（精确到十分位），至少要算到小数后第二位（百分位）。所以按照右图的列式方法为宜，横式写作352.315.2（根）用“去尾法”再去掉小数部分，为15 根，即最多能剪15 根。答：最多能剪15 根。常见错误：35 2.315（根）分析，保留整数，商的范围可能是14.5 到 15.4 之间，用“去尾法”得数不一样，
36、是错误的！因此，根据“进一法”或“去尾法”，计算时至少要保留一位小数（精确到十分位），至少要算到小数后第二位（百分位）。16、除法运算中求余数的方法：例题：“用一根成35 米的绳子剪跳绳，每根跳绳长2.3 米，最多能剪几根？还剩多少米”方法一：根据有余数时除法的数量关系：（被除数余数）除数商（被除数余数）商除数被除数除数商余数得出余数被除数除数商要在352.315.2（根）后列出补充说明。方法二：从竖式直接看出观察下面3 个算式，左边是计算原式。中间红线左侧是计算到个位时的算式，说明计算到得数是15 时余数是5，而这个 5 在原被除数35 中处于十分位，表示 5个十分之一，即 0.5，所以商
37、15（根）时余数是0.5（米）。再看右式红线左侧是计算到十分位时的算式，说明计算到得数是15.2 时余数是4，而 4 在原被除数35 中处于百分位，表示4 个百分之一，即 0.04，所以商15.2 时余数是0.04。以此类推，商15.21 时余数是0.017。因此：352.315,0.5 35 2.315.2,0.04 352.315.21,0.017,而在解决此题的问题中商需要整数，则应为352.315（根）,0.5（米）答：最多能剪15 根，还剩0.5 米。结论：在除法运算中，余数的小数点和原来被除数的小数点对齐。求余数要看它在原来被除数的哪几位上，表示什么。35 2.315 35 34.
38、5 0.5（米）15.212y3J350231 20504640231 715,2115+2112_335、023j35.02、3jTF23231 201 1 51 201 201 1 51 1 5505050464646404040232323171 711 第三单元观察物体1、观察立体图形的方向立体图形主要可以从六个方向来观察，其中两两相对，分为三组：前面与后面（也称作正面与反面），左面与右面，上面与下面。因为两两相对，从相对面看到的形状（轮廓）一般相同（正面与反面或称前面与后面、左面与右面看到的形状左右对称，上面与下面看到的形状上下对称），于是 我们主要从三个方向来观察立体图形：正面、上
39、面、左面。2、一次最多可以看到正方体或长方体的几个面？因为正方体和长方体都有6 个面，对应观察的六个方向，而两两相对的面不可能同时看到，所以 一次最多可以看到正方体或长方体6 个面中的一半，即3 个面。3、观察单个物体观察单个物体（从3 个方向），一般观察的有：正方体、长方体、球体、圆柱体。它们从 3 个方面看到的形状是：从上面看原立体图形原立体囝形从上面看从左ffi看从正面看长方体：长方#6个面都是长方形，所以从3个方向看也都看到长方形（有些可能是正方形）。从左阃看正方体，6个面都是正方形，所以从3个方向看也都是正方形.从正面看原立体图形从上面看从上面看原立体囝形从正面看从左面看球体：从各个
40、方向看都是圆形.从左面看从正面看阒柱体：只有一对面是阕形，其他两个方向看去都是长方形。12 4、通过观察到的图形判断物体形状（1）有一个方向看到的图形是正方形：有可能是正方体、长方体、圆柱体（2）有一个方向看到的图形是长方形：有可能是长方体、圆柱体（3）有一个方向看到的图形是圆形：有可能是圆柱体、球体5、观察两个物体观察两个物体的方法与观察单个物体类似，主要原则：在观察方向上，前方的物体会遮挡住后方的物体。可以单独分析某个观察方向上每个物体的图形，再综合分析遮挡情况。例题如右图：（1）单个物体分析：球体从各个方向看都是圆形，圆柱体从上面看是圆形，从正面和左面看都是长方形。（2）综合遮挡分析：从
41、正面看，没有遮挡，左边是圆形，右边是长方形，答案是第三幅图；从上面看，没有遮挡，左边是圆形，右边也是圆形，答案是第二幅图；从左面看，球体看到的是圆形，圆柱体看到的是长方形，而且球体在圆柱体之前，看到的应该是圆形遮挡住长方形，答案是第一幅图。6、根据正面、上面、左面看到的图形摆一摆立体图形（正方体）根据所看到的三个方向的图形摆正方体，方法很多，而因为从各个方向看都有可能出现遮挡的情况，所以答案也不唯一，这里仅说明一种方法：（1）先从一个方向确定方块个数，我常用的是从上面先看，因为从上面看到的方块必然“落在”要摆放的平面上（摆放的方块不可能“浮空”）。从上面看有6 个方块，取6 个方块按图摆放。（
42、2）再从另一个方向确定方块位置，我常用剩下的方向中“最宽”的那个方向（便于下一步调整），在这一题中是“从正面看”。因为从正面看“第一层”是 4 个，符合从上面看的，“第二层”有 1 个，就把 1 个方块放在原来从上面看可能存在的所有位置（如右图，是2 号和 3 号位上可能有方块）。（3）最后从剩下的方向修改和调整。从左面看 4 号方块说明原来这个方块是在2 号位上。从上面看，确定个数从正面看，猜测可能从左面看，补充分析離下面这些分别是从輝个方向上看刮的？9|o#|2+根据下面从不间方向*M的图形探_从 正 面 看从 左 而 着从 上*看从正面看的1号方块说明从上面看在2号或者3号位罝有方块1I
43、1!1k23从正由看从左肴从上ft看13 第四单元简易方程1、用字母表示计量单位为了书写方便，人们常用字母表示计量单位。长度单位面积单位质量单位体积单位千米km 平方千米km2吨t 立方米m3米m 平方米m2千克kg 立方分米dm3分米dm 平方分米dm2克g 立方厘米cm3厘米cm 平方厘米cm2毫克mg 升l 毫米mm 平方毫米mm2毫升ml 2、乘号的简略写法（1）在字母与数相乘时，乘号可以省略，把数写在字母前面。如2a2a，b8 8b。（2）在字母与字母相乘时，字母中间的乘号可以记作“”，也可以省略不写。如abba（乘法交换律）也可以写成abba 或者abba，推荐最后一种完全省略乘号
44、的写法。（3）在数字与数字相乘时，乘号不能省略，以防写错。（4）在几个相同的数字或字母相乘时，可以省略中间的乘号，将个数写在一个数字或字母的右上角作为上标，读作X 的 N 次方。如3.53.5 可以简写成3.52，读作“3.5 的二次方”或者“3.5 的平方”（后者更为常用），又如aa 可以简写成aa，进而简写成 a2，读作“a 的二次方”或者“a 的平方”（后者更为常用），再如bbb 可以简写成 b3，读作“b 的三次方”或者“b 的立方”（后者更为常用），最后如 222 22 可以简写成25，读作“2 的五次方”。3、用字母表示运算定律将以前学过的运算定律用字母表示，其中乘号尽量省略。加法
45、：加法交换律abb a 加法结合律（ab）ca（bc）乘法：乘法交换律abba 乘法结合律（ab）ca（bc）乘法分配律（ab）cacbc 减法：连减的性质abca（bc）“减数交换律”ab cacb 去小括号与变号a（bc）abc 除法：连除的性质abca（bc）“除数交换律”abcacb 去小括号与变号a（bc）abc 4、用字母表示面积与周长公式暂列正方形与长方形，在第五单元补充其他图形说明：边长字母以a 最为常见，随着边长的不同会出现b、c 等。面积（square）取首字母大写 S 来表示，周长（circumference）取首字母大写C 来表示。（1）正方形四边相等，四个直角14 S
46、a2 C4a（2）长方形对边相等，四个直角S ab C2（ab）5、根据字母公式计算图形的面积与周长暂列正方形与长方形，在第五单元补充其他图形格式说明：第一行写出字母公式，第二行带入具体数据条件，第三行起进行计算，直至算出得数（要带上单位），要求每行的等式中“”要对齐！（1）正方形（2）长方形6、用含有字母的式子表示数量关系字母可以用来表示数，在一定的问题情境下，可以用含有字母的式子来表示数量关系。正方形面积边长边长Saa aa a2 正方形周长边长4 Ca4 4a 长方形面积长宽S ab ab 长方形周长（长宽）2 C（ab）2 2（ab）注意：数字2 与字母相乘要放在前面才能省略乘号答：边
47、长为8cm 的正方形的面积是64cm2，周长是32cm。例题：求边长为8cm 的正方形的面积与周长。Sa2 88 64（cm2）C4a 8 4 32（cm）答：长 12m，宽 7m 的长方形的面积是84m2，周长是38m。例题：求长12m，宽 7m 的长方形的面积与周长。S ab 127 84（m2）C2（a b）（127）2 38（m）单价、数量与总价的关系总价（count）取首字母大写C 来表示（一般作为乘积的数量首字母都用大写表示，如总价、路程、工作量等）总价单价数量Cax 单价总价数量aCx 数量总价单价xCa 速度、时间与路程的关系速度（velocity）取首字母小写v 来表示时间（
48、time）取首字母小写t 来表示路程（span）取首字母大写S来表示路程速度时间S vt 速度路程时间vSt 时间路程速度tSv aaba15 姐姐今年m 岁，比弟弟多6 岁，那么m6 表示弟弟今年的岁数当然，也可以用含有字母的式子来表示一定的数量。如：7、字母及含有字母的式子的取值范围用字母及含有字母的式子可以表示数和数量，但在具体的情境之下字母及含有字母的式子是有特定的取值范围的。如8、方程相关概念方程：含有未知数的等式，称为方程。方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。解方程：求方程的解的过程叫做解方程。辨析：方程的必要条件既要是等式，又要含有未知数，这里“x4”也被认为
49、是方程；方程的解是未知数的值，是静态的答案；解方程是求方程的解的过程，是动态的行为。一碗方便面2.5 元，花 20 元钱买了b 碗，那么2.5b 表示 b 碗方便面的总价202.5b 表示花20 元买 b 碗方便面找回的钱数商店有苹果a 千克，梨的重量比苹果多10 千克a10 表示梨的重量a（a10）表示苹果和梨的总重量，一般简写成2a10 一碗方便面2.5 元，花 20 元钱买了b 碗，那么202.5b 表示花20 元买 b 碗方便面找回的钱数在这个情境中，花20 元买 b 碗方便面中的b 只能是 08 的整数，也就是说可以不买，也可以最多买8 碗，如果买9 碗钱就不够了。小明单元考成绩是a
50、 分，小红的成绩比小明多8 分，那么a 8 表示小红的成绩在这个情境中，小红的成绩（a8）只能是 8100 之间的数，而小明的成绩 a 也只能是 092 之间的数，也就是说小明与小红最低得到0 分，最高得到 100 分，都不能超出这个范围。一辆公交车上本来有12 名乘客，到站后下去a名，又上来b 名，那么12a 表示下客后剩余乘客的人数12ab 表示上客后乘客的人数在这个情境中，下车乘客的人数只能是012 之间的整数，而上车乘客的人数 b 也有一定范围，也就是说既可以一个人也不下车，也可以12 名乘客全部下车，而最后上车后的人数也不能超过限载人数，以策安全。方程100+x=250100+x_1