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1、第一篇第一篇 力学力学 动量动量 角动量角动量动量动量 角动量角动量Momentum&Angular Momentum第第1节节 冲量与动量定理冲量与动量定理第第2节节 质点系的动量定理质点系的动量定理 动量守恒定律动量守恒定律 第第3节节 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律 Impulse&Momentum Theorem第第1节节 冲量与动量定理冲量与动量定理1.冲量冲量设在时间间隔设在时间间隔dt 内，质点所受的力为内，质点所受的力为，则则称称为为 在在dt时间内给质点内的冲量。时间内给质点内的冲量。时间由时间由若若质质点受力点受力的持续作用，的持续作用，则则在这段时间内
2、在这段时间内,力对质点内的冲量为力对质点内的冲量为:(力的时间累积效应力的时间累积效应)2.动量定理动量定理利用牛顿第二定律可得利用牛顿第二定律可得:动量定理：动量定理：冲量等于动量的增量。冲量等于动量的增量。(微分形式微分形式)(积分形式积分形式)注意：注意：动量定理适用于惯性参考系。在非惯性系动量定理适用于惯性参考系。在非惯性系 中还须考虑惯性力的冲量。中还须考虑惯性力的冲量。动量定理常用于处理碰撞和打击问题。在这些动量定理常用于处理碰撞和打击问题。在这些过程中，物体相互作用的时间极短，但力却很大且过程中，物体相互作用的时间极短，但力却很大且随时间急剧变化。这种力通常叫做随时间急剧变化。这
3、种力通常叫做冲力冲力。冲力冲力的瞬时值很难确定，但在过程的始末两的瞬时值很难确定，但在过程的始末两时刻时刻,质点的动量比较容易测定质点的动量比较容易测定,所以动量定理可以所以动量定理可以为估算冲力的大小带来方便。为估算冲力的大小带来方便。引入平均冲力引入平均冲力 则则:例例1.设机枪子弹的质量为设机枪子弹的质量为50g,离开枪口时的速度离开枪口时的速度 为为800m/s。若每分钟发射。若每分钟发射300发子弹，求射手发子弹，求射手 肩部所受到的平均压力。肩部所受到的平均压力。解解:射手肩部所受到的平均压力为射手肩部所受到的平均压力为根据动量定理根据动量定理例例2.飞机以飞机以v=300m/s(
4、即即1080 km/h)的速度飞行的速度飞行,撞撞 到一质量为到一质量为m=2.0kg的鸟的鸟,鸟的长度为鸟的长度为l0.3 m。假设鸟撞上飞机后随同飞机一起运动假设鸟撞上飞机后随同飞机一起运动,试估算试估算 它们相撞时的平均冲力的大小。它们相撞时的平均冲力的大小。解解:以地面为参考系以地面为参考系,因鸟的速度远小于飞机的因鸟的速度远小于飞机的,可可将它在碰撞前的速度大小近似地取为将它在碰撞前的速度大小近似地取为v0=0 m/s,碰撞后的速度大小碰撞后的速度大小v300m/s。由动量定理可得由动量定理可得 碰撞经历的时间就取为飞机飞过鸟的长度碰撞经历的时间就取为飞机飞过鸟的长度l的距离所需的时
5、间，则的距离所需的时间，则:例例3.一条质量为一条质量为 M 长为长为 L 的均匀链条，放在一光滑的均匀链条，放在一光滑的水平桌面上，链子的一端有极小的一段长度被推出桌的水平桌面上，链子的一端有极小的一段长度被推出桌子的边缘，在重力作用下开始下落，试求在下列两种情况子的边缘，在重力作用下开始下落，试求在下列两种情况下链条刚刚离开桌面时的下链条刚刚离开桌面时的速度速度：（1）在刚刚下落时，链条为一直线形式）在刚刚下落时，链条为一直线形式研究对象：整条链条研究对象：整条链条建立坐标：如图建立坐标：如图受力分析：受力分析：动量定理：动量定理：解：（解：（1）链条在运动过程中，各部分的速度、）链条在运
6、动过程中，各部分的速度、加速度都相同。加速度都相同。动画动画研究对象：链条的落下部分研究对象：链条的落下部分建立坐标：如图建立坐标：如图受力分析：受力分析：t时刻链条动量为：时刻链条动量为：?（2）在刚刚下落时，链条盘在桌子边缘）在刚刚下落时，链条盘在桌子边缘动画动画t+dt时刻链条动量为：时刻链条动量为：两边同乘两边同乘 x v ：当当 x=L 时时两边积分：两边积分：dt时间内动量的变化时间内动量的变化:dt时间内合外力的冲量：时间内合外力的冲量：根据动量定理：根据动量定理：应用牛顿第二定律怎么做？应用牛顿第二定律怎么做？例例4.一根铁链链长一根铁链链长 l，平放桌上，质量线密度为平放桌上
7、，质量线密度为。今用手提起链的一端使之以匀速今用手提起链的一端使之以匀速v 铅直上升。铅直上升。求求:从一端离地到全链离地，手的拉力的冲量？从一端离地到全链离地，手的拉力的冲量？t时刻铁链的动量为：时刻铁链的动量为：解解:t+dt时刻铁链的动量为：时刻铁链的动量为：动量的变化为：动量的变化为：dt时间内合外力的冲量为：时间内合外力的冲量为：根据动量定理：根据动量定理：全链离地全链离地时的动量时的动量？手拉力的冲量：手拉力的冲量：应用牛顿第二定律怎么做？应用牛顿第二定律怎么做？例例5 5.一铅直悬挂着的匀质柔软细绳长为一铅直悬挂着的匀质柔软细绳长为L,下端刚好触下端刚好触及水平桌面及水平桌面,现
8、松开绳的上端现松开绳的上端,让绳落到桌面上。试证让绳落到桌面上。试证明明:在绳下落的过程中在绳下落的过程中,任意时刻作用于桌面的压力任意时刻作用于桌面的压力N,等于已落到桌面上的绳重等于已落到桌面上的绳重G的三倍的三倍。解：解：考虑考虑dy段的下落，分两个过程段的下落，分两个过程:依牛顿第三定律：依牛顿第三定律：Oyy+dyydy1、到达桌面前，自由落体、到达桌面前，自由落体2、到达桌面时，受到冲量速度变为、到达桌面时，受到冲量速度变为0过程过程1：过程过程2：于是：于是：联立解得：联立解得：（G为已落到桌面上的绳重）为已落到桌面上的绳重）第第2节节 质点系的动量定理质点系的动量定理 动量守恒
9、定律动量守恒定律 Momentum Theorem for System of Particles&Principle of Conservation of Momentum1.质点系的动量定理质点系的动量定理质点系中第质点系中第i个质点所受的内力和外力之和为个质点所受的内力和外力之和为 依牛顿第二定律，有依牛顿第二定律，有即即:对质点系内所有的质点写出类似的式子，对质点系内所有的质点写出类似的式子，并将全部式子相加得并将全部式子相加得 0记记系统所受的合外力系统所受的合外力系统的总动量系统的总动量则有则有质点系的动量定理质点系的动量定理：系统在某一段时间内所受合：系统在某一段时间内所受合外力
10、的总冲量等于在同一段时间内系统的总动量外力的总冲量等于在同一段时间内系统的总动量的增量。的增量。且且积分形式积分形式微分形式微分形式质点系的质点系的动量定理动量定理若在非惯性系中若在非惯性系中,还须考虑惯性力的冲量。还须考虑惯性力的冲量。(适用于惯性系适用于惯性系)内内外外外外2.动量守恒定律动量守恒定律 当当 时，时，动量守恒定律在直角坐标系中的分量式：动量守恒定律在直角坐标系中的分量式：对质点系对质点系外外普遍适用：普遍适用：高低速、宏微观。高低速、宏微观。动量守恒定律：动量守恒定律：当一个质点系所受的合外力为零时，当一个质点系所受的合外力为零时，该质点系的总动量保持不变该质点系的总动量保
11、持不变例例6.水平光滑冰面上有一小车水平光滑冰面上有一小车,长度为长度为L,质量为质量为 M。车的一端有一质量为。车的一端有一质量为m的人的人,人和车原人和车原 来均静止。若人从车的一端走到另一端来均静止。若人从车的一端走到另一端,求求:人和车各移动的距离。人和车各移动的距离。解解:以地面为参考系，设人速为以地面为参考系，设人速为u,车速为车速为v。系统在水平方向上动量守恒系统在水平方向上动量守恒，Mv+mu=0 车地车地人地人地人地人地人车人车车地车地人地人地车地车地人车人车例例7.质量为质量为M，长为，长为L的小船静浮在水中，小船两头分的小船静浮在水中，小船两头分别站着质量为别站着质量为
12、和和 （）的两个人，他们同）的两个人，他们同时相对船以相同速率时相对船以相同速率 走向原位于船正中、但固定于走向原位于船正中、但固定于水中的木桩，如图所示，忽略水对船的阻力，问（水中的木桩，如图所示，忽略水对船的阻力，问（1）谁先走到木桩？（谁先走到木桩？（2）他用了多少时间？）他用了多少时间？解：解：取取 、和小船为系统，和小船为系统，水平方向上动量守恒水平方向上动量守恒取向右为正方向取向右为正方向设小船对地的速度为设小船对地的速度为和和 对地的速度分别为对地的速度分别为 、根据相对运动的关系有：根据相对运动的关系有：水平方向上动量守恒：水平方向上动量守恒：解得：解得：向右向右解代回到解代回
13、到 和和 的表达式得的表达式得显然显然先到达水中木桩先到达水中木桩所用时间：所用时间：二者的对地位移相等二者的对地位移相等动量定理：动量定理：合外力的合外力的冲量等于动量的改变冲量等于动量的改变。(微分形式微分形式)(积分形式积分形式)适用于质点和质点系。适用于质点和质点系。非惯性系中还须考虑惯性力的冲量。非惯性系中还须考虑惯性力的冲量。上节课内容回顾上节课内容回顾质点系的动量守恒定律：质点系的动量守恒定律：当当 时，时，普遍适用普遍适用（高低速、宏微观）。（高低速、宏微观）。3、变质量问题、变质量问题（有质量流入与流出）有质量流入与流出）以火箭为例：以火箭为例：将火箭体与其中尚存的燃料看成一
14、系统。将火箭体与其中尚存的燃料看成一系统。时间喷出气体质量时间喷出气体质量其相对火箭速度其相对火箭速度其绝对速度其绝对速度时间内系统动量增量时间内系统动量增量由动量定理由动量定理时刻：时刻：动量动量密歇尔斯基方程密歇尔斯基方程地面地面火箭运动方程火箭运动方程利用利用得得注意：注意：（质量流动基本方程）质量流动基本方程）（1）为单位时间流入（为单位时间流入（0）或流出（）或流出（0）的质量）的质量。是流入前或流出后的相对速度。是流入前或流出后的相对速度。（2）式中第二项为）式中第二项为火箭受到的推力火箭受到的推力（喷气反冲力）（喷气反冲力）（系统内力）系统内力）用于向上飞行火箭：用于向上飞行火箭
15、：不计空气阻力，则不计空气阻力，则标量式（向上为正）标量式（向上为正）讨论：讨论：提高提高 途径途径若若 ，火箭初速为，火箭初速为 ，质量为，质量为 ，燃料耗尽时质量，燃料耗尽时质量为为 ，速度为，速度为 。（向上）向上）解：解：求：求：及推力？及推力？例例:若若 ，。取向上为正取向上为正讨论：讨论：喷气式飞机有阻力、有动力，求推力？喷气式飞机有阻力、有动力，求推力？阻力阻力动力动力正向正向地面地面1.质点的角动量质点的角动量定义：定义：力矩：力矩：角动量也叫角动量也叫单位：单位：注意注意:同一质点对不同定点的角动量是不同的。同一质点对不同定点的角动量是不同的。动量矩。动量矩。(线线)动量动量
16、第第3节节 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律 Angular Momentum Theorem&Principle of Conservation of Angular Momentum质点作圆周运动时对圆心的角动量的大小：质点作圆周运动时对圆心的角动量的大小：2.质点的角动量定理质点的角动量定理注意注意:适用于惯性系，对非惯性系，需引入适用于惯性系，对非惯性系，需引入“惯性力惯性力”。对对 求时间的导数：求时间的导数：0冲量矩冲量矩(微分形式微分形式)(积分形式积分形式)质点的角动量定理质点的角动量定理：质点对任一固定点的：质点对任一固定点的角动量的时角动量的时间变化率间变
17、化率，等于等于质点所受的合外力对该固定点的质点所受的合外力对该固定点的力矩力矩。3.质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律若若则则角动量守恒定律角动量守恒定律（2）（1）是普遍规律）是普遍规律,宏观、微观均适用。宏观、微观均适用。（3）有心力：运动质点所受的力总是通过一个固定点。）有心力：运动质点所受的力总是通过一个固定点。力心力心质点对力心的角动量守恒。质点对力心的角动量守恒。（4）质点对某点的角动量守恒）质点对某点的角动量守恒,对另一点不一定守恒对另一点不一定守恒.注意注意:角动量定理分量式：角动量定理分量式：角角动量守恒定律动量守恒定律在直角在直角坐标系中的分量式可表示为：坐标系中的分
18、量式可表示为：当总角当总角动量不守恒时，动量不守恒时，角角动量在某些动量在某些方向上的分量可以方向上的分量可以是守恒的。是守恒的。若若则则角动量守恒定律：角动量守恒定律：例例5.在光滑的水平桌面上有一小孔在光滑的水平桌面上有一小孔O,一细绳穿过一细绳穿过 小孔小孔,其一端系一小球放在桌面上其一端系一小球放在桌面上,另一端用另一端用 手拉绳，开始时小球绕孔运动手拉绳，开始时小球绕孔运动,速率为速率为v1,半半 径为径为r1,当半径变为当半径变为r2时时,求小球的速率求小球的速率v2.解：解：小球受力小球受力 显然显然:f拉拉 有心力有心力f 拉拉问题：问题：若取若取O为参考点呢？为参考点呢？角动
19、量守恒：角动量守恒：动画动画太阳太阳行星行星例例6 6.用角动量守恒定律推导行星运动的开普勒第二定律用角动量守恒定律推导行星运动的开普勒第二定律:行星对太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积行星对太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积,即行星的矢径的面积速度为恒量。（即行星的矢径的面积速度为恒量。（16091609年）年）在很短的时间在很短的时间d dt t内，行星的矢径扫过的面积可内，行星的矢径扫过的面积可以近似地认为是图中阴影所示的三角形的面积，以近似地认为是图中阴影所示的三角形的面积，即即解：解：面积速度面积速度由于行星对太阳中心的角动量守恒，即由于行星对太阳中心的角动量守恒，即
20、恒矢量恒矢量 所以面积速度所以面积速度 也是恒量。开普勒第二定律得证。也是恒量。开普勒第二定律得证。另外，由行星对太阳中心的角动量守恒还可以得出行星运动的另一特点。另外，由行星对太阳中心的角动量守恒还可以得出行星运动的另一特点。根据角动量的定义，行星对太阳的角动量应垂直于它对太阳的位置矢量根据角动量的定义，行星对太阳的角动量应垂直于它对太阳的位置矢量和动量所决定的平面，角动量守恒，则角动量的方向不变，所以和动量所决定的平面，角动量守恒，则角动量的方向不变，所以行星绕行星绕太阳的运动必然是平面运动。太阳的运动必然是平面运动。动画动画4.质点系的角动量定理和角动量守恒定律质点系的角动量定理和角动量
21、守恒定律 质点系的角动量质点系的角动量:质点系中的各个质点对给定参考点的角动量的质点系中的各个质点对给定参考点的角动量的矢量和矢量和,称为质点系对该给定参考点的角动量。称为质点系对该给定参考点的角动量。质点系中的各个质点相对于给定参考点的外力质点系中的各个质点相对于给定参考点的外力力矩的矢量和力矩的矢量和,称为质点系对该给定参考点的称为质点系对该给定参考点的合外力矩。合外力矩。第第i个质点受到个质点受到的来自质点系的来自质点系外的作用力外的作用力。质点系的合外力矩质点系的合外力矩:第第i个质点所受的力矩为个质点所受的力矩为：内力矩总是成对出现：内力矩总是成对出现：i jFi fi j fj i
22、Orjri这表明这表明:质点系对惯性系中某给定参考点的角动量质点系对惯性系中某给定参考点的角动量的时间变化率的时间变化率,等于作用在该质点系上所有外力对等于作用在该质点系上所有外力对同一参考点的总力矩。同一参考点的总力矩。质点系的角动量定理质点系的角动量定理 亦可写成亦可写成:因此因此,当质点系相对于某一给定参考点的合外力矩当质点系相对于某一给定参考点的合外力矩为零时为零时,该质点系相对于该给定参考点的角动量不该质点系相对于该给定参考点的角动量不随时间变化。随时间变化。质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律 与质点的情形类似与质点的情形类似,若质点系对某固定点的合外若质点系对某固定点的合外力矩不为零，但此合外力矩在某一方向上的分量为力矩不为零，但此合外力矩在某一方向上的分量为零，则尽管质点系对此固定点的总角动量不守恒，零，则尽管质点系对此固定点的总角动量不守恒，但质点系的角动量在该方向上的分量却是守恒的。但质点系的角动量在该方向上的分量却是守恒的。