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1、衡水金卷衡水金卷 20222022 届全国高三大联考文数届全国高三大联考文数第第卷（共卷（共 6060 分）分）一一、选择题选择题：本大题共本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的. .1. 已知集合，则集合中元素的个数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题得，集合，所以.集合中元素的个数为 3.故选 C.2. 已知命题 ：，则命题为（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】全称命题的否定是特称命题，则：若命题 ：，则命题为，.本题
2、选择 D 选项.3. 已知复数（ 为虚数单位） ，则复数 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】结合复数的运算法则可得：，即复数 在复平面内对应的点位于第四象限.本题选择 D 选项.4. 已知双曲线 ：的一个焦点为，则双曲线 的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意得，则，即.所以双曲线 的渐近线方程为，即.故选 A.5. 2022 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚 8 克圆形金质纪念币，直径，面额 100 元.为了测算图中军旗部分的面积，现用
3、 1 粒芝麻向硬币内投掷 100 次，其中恰有 30 次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率为，设军旗的面积为 S，由题意可得：.本题选择 B 选项.6. 下列函数中，与函数的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】函数为奇函数，且在 R 上单调递减，对于 A，是奇函数，但不在 R 上单调递减；对于 B，是奇函数，但在 R 上单调递增；对于 C，对于 D，画出函数图象可知函数是奇函数，且在 R 上单调递减，故选 D.7. 如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图
4、为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由正视图和俯视图可知，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知其侧视图为 A.故选 A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8. 设，则 ， ， 的大小
5、关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意得，.得，而.所以，即1.又.故.选 A.9. 执行如图所示的程序框图，则输出的 值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由框图可知，.故选 B.10. 将函数的图象向左平移 个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数的图象，则下列关于函数的说法错误的是（）A. 最小正周期为B. 图象关于直线对称C. 图象关于点对称D. 初相为【答案】C【解析】易求得，其最小正周期为 ，初相位 ，即 A，D 正确，而.故函数的图象关于直线对称，即 B 项正确，故 C 错误.选 C.11. 抛物线有如下光学性质：过焦点射出的光线经抛物线反射后平行
6、于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线的对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为 ，一条平行于 轴的光线从点射出，经过抛物线上的点 反射后，再经抛物线上的另一点 射出，则直线的斜率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】令，代入可得，即.由抛物线的光学性质可知，直线经过焦点，所以.故选 B.点睛：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.12. 已知的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且，若，则 的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意可得：,且，据此可得：，即：，据此有：，当且仅当时等号成
7、立；三角形满足两边之和大于第三边，则，综上可得： 的取值范围为.本题选择 B 选项.点睛：点睛：1在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解2正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化如 a2b2c22bccos A 可以转化为 sin2 Asin2Bsin2 C2sin Bsin Ccos A， 利用这些变形可进行等式的化简与证明第第卷（共卷（共 9090 分）分）二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）13.
8、 已知向量，若，则_.【答案】1【解析】由,得.即.解得.14. 已知函数，若曲线在点处的切线经过圆 ：的圆心，则实数 的值为_.【答案】【解析】结合函数的解析式可得：，对函数求导可得：，故切线的斜率为，则切线方程为：，即，圆 ：的圆心为，则：.15. 已知实数 ， 满足约束条件则的取值范围为_（用区间表示）.【答案】【解析】作出约束条件表示的平面区域(如图阴影部分表示)设，作出直线，当直线 过点时， 取得最小值 ；当直线 过点时， 取得最大值.即,所以.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束
9、条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16. 在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为_.【答案】【解析】设该阳马的外接球与内切球的半径分别 与 ，则.即.由.得.所以该阳马的外接球与内切球表面积之和为.三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .）17. 在递增的等比数列中，其中.（1）求数列的通项公式；（
10、2）记，求数列的前 项和.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析： （1）由及得，进而的 ，可得通项公式；（2）利用分组求和即可，一个等差数列和一个等比数列.试题解析：（1）设数列的公比为 ，则，又，或，（舍）.，即.故（）.（2）由（1）得，.18. 如图，在三棱柱中，平面，点 为的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析： （I）连接交于点，连接，通过证明，利用直线与平面平行的判定定理证明 AC1平面 CDB1（II）要求三棱锥的体积，转化为即可求解试题解析：（1）连接交于点，连接.在三棱柱中，四边形是平行四边形.点 是的中点.点
11、 为的中点，.又平面，平面，平面.（2），.在三棱柱中，由平面，得平面平面.又平面平面.平面.点 到平面的距离为，且.19. 随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了 200 人进行抽样分析，得到表格： （单位：人）经常使用偶尔或不用合计30 岁及以下703010030 岁以上6040100合计13070200（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用共享单车情况与年龄有关？（2）现从所抽取的 30 岁以上的网友中利用分层抽
12、样的方法再抽取 5 人.（i）分别求这 5 人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（ii）从这 5 人中，再随机选出 2 人赠送一件礼品，求选出的 2 人中至少有 1 人经常使用共享单车的概率.参考公式：，其中.参考数据：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635【答案】(1)能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用共享单车情况与年龄有关；(2)(i)经常使用共享单车的有 3 人，偶尔或不用共享单车的有 2 人.(ii)【解析】试题分析：(1)由列联表可得，所以能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用共享单车情况
13、与年龄有关.(2)（i）依题意可知，经常使用共享单车的有（人） ，偶尔或不用共享单车的有（人）.（ii）由题意列出所有可能的结果，结合古典概型公式和对立事件公式可得选出的 2 人中至少有 1 人经常使用共享单车的概率.试题解析：（1）由列联表可知，.因为，所以能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用共享单车情况与年龄有关.（2） （i）依题意可知，所抽取的 5 名 30 岁以上的网友中，经常使用共享单车的有（人） ，偶尔或不用共享单车的有（人）.（ii）设这 5 人中，经常使用共享单车的 3 人分别为 ， ， ；偶尔或不用共享单车的 2 人分别为 ， .则从 5 人中选出 2 人
14、的所有可能结果为，共 10 种.其中没有 1 人经常使用共享单车的可能结果为共 1 种，故选出的 2 人中至少有 1 人经常使用共享单车的概率.20. 已知椭圆 ：（）过点，离心率为，直线 ：与椭圆 交于 ， 两点.（1）求椭圆 的标准方程；（2）是否存在实数 ，使得（其中 为坐标原点）成立？若存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在实数，使得成立.【解析】试题分析： （1）根据题意得，从而可得方程；（2）直线和椭圆联立得，设，由，得，即，由韦达定理代入即得.试题解析：（1）依题意，得解得，故椭圆 的标准方程为.（2）假设存在符合条件的实数 .依题意，联立方程消去
15、 并整理，得.则，即或.设，则，.由，得.即.即.即，即.故存在实数，使得成立.21. 已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）若关于 的方程有实数根，求实数 的取值范围.【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；(2).【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式可得，结合导函数与原函数的单调性的关系可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)原问题等价于方程有实数根，构造函数，利用导函数研究函数存在零点的充要条件可得：当时，方程有实数根.试题解析：（1）依题意，得，.令，即，解得；令，即，解得，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由题得，.依题意，方程有实数根，即函数存在零
16、点，又，令，得.当时，即函数在区间上单调递减，而，所以函数存在零点；当时，随 的变化情况如表：极小值所以为函数的极小值，也是最小值.当，即时，函数没有零点；当，即时，注意到，所以函数存在零点.综上所述，当时，方程有实数根.点睛点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值
17、(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. .22. 已知曲线 的参数方程为（ 为参数）.以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为.（1）求曲线 的普通方程及直线 的直角坐标方程；（2）求曲线 上的点到直线 的距离的最大值.【答案】(1)曲线 的普通方程为，直线 的普通方程为；(2).【解析】试题分析： （1）利用消去参数得曲线 的普通方程为，利用得直线 的普通方程为学%科%网.学%科%网.学%科%网.学%科
18、%网.学%科%网.学%科%网.学%科%网.学%科%网.学%科%网.（2）利用圆的参数方程得，进而由三角求最值即可.试题解析：（1）由曲线 的参数方程（ 为参数） ，得曲线 的普通方程为.由，得，即.直线 的普通方程为.（2）设曲线 上的一点为，则该点到直线 的距离（其中）.当时，.即曲线 上的点到直线 的距离的最大值为.23. 已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的值域为，若，试证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式零点分段可得不等式的解集为.(2)结合绝对值三角不等式的性质可得，结合二次函数的性质可得，则.试题解析：（1）依题意，得则不等式，即为或或解得.故原不等式的解集为.（2）由题得，当且仅当，即时取等号，.