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1、23 设计试验设计与分析之试验设计与分析之2.2.2 23设计 2 23 3因子设计就是有三个因子因子设计就是有三个因子A A、B B、C C，每个因子都是两，每个因子都是两个水平。个水平。A A、B B、C C为主要效果，为主要效果，ABAB、ACAC、BCBC为两两交互作用的为两两交互作用的效果，效果，ABCABC为三个因子交互为三个因子交互作用的效果。为便于计算这作用的效果。为便于计算这些效果些效果，按照类似按照类似2 22 2设计的设计的原则和方法作原则和方法作一个立方体一个立方体，见图见图2.2.22.2.2。计算效果计算效果A（四部分）（四部分）:（2）当当B在高水平，在高水平，C
2、在低水平时在低水平时（3）当当B在低水平，在低水平，C在高水平时在高水平时（4）当当B、C在高水平时在高水平时（1）当）当B、C都在低水平时都在低水平时 4项总平均效果为：其中：其中：上式中小括号内的部分是8项构成的代数和（参照图2.2.2），前4项是立方体右半部（A在高水平）4个顶点数值之和（都为+），后4项为立方体左半部（A在低水平）4个顶点数值之和（都为-），这正好是（对照）A ，由此可将效果A写成同理可得，B的效果为：C的效果为：的效果为：交互作用AB的总平均效果AB是下面两部分的平均：（1）C在低水平时，在低水平时，A效果在效果在B的两个水平的两个水平 下的平均差，即下的平均差，即（
3、2）C在高水平时，在高水平时，A效果在效果在B的两个水平下的平均差，即的两个水平下的平均差，即即：即：可记为：可记为：(对照对照)AB由两部分组成（图由两部分组成（图2.2.2）（1）4项为项为“+”，其中两项为，其中两项为ab，abc是是A，B都在高水平，两都在高水平，两 项为项为l，c是是AB都在低水平；都在低水平；（2）4项为项为“-”，其中两项为，其中两项为a，ac是是A在高水平，在高水平，B在低水平，在低水平，两项为两项为b，bc是是A在低水平，在低水平，B在高水平。在高水平。同理可得，交互作用AC的总平均效果AC：交互作用交互作用BC的总平均效果的总平均效果BC：交互作用ABC的总
4、平均效果定义为AB在C的两个水平下的平均值：记为：现把23设计的线性组合对照的系数+、-号规则总结为下表2.2.5表中所列 l，a，b，ab，c，ac，bc，abc 为标准顺序。从此表很容易写出各个效果的线性组合表达式。对3个主要效果A，B，C线性组合中的系数符号有一个明显的规律：高水平时为“+”，低水平时为“-”，其余各列的符号可以用乘法运算得到。如AB列，由A列和B列同行的符号相乘得到AB列相应行的符号，ABC列的符合可由AB列和C列符号相乘。表2.2.5具有以下性质:（1）除）除I列，每一列中列，每一列中“+”、“-”的数量相等；的数量相等；（2）任何两列同行符号成绩之和为）任何两列同行
5、符号成绩之和为0，这叫做正交性；，这叫做正交性；（3）任何列乘）任何列乘I列，符号不变，列，符号不变，I为恒等元素；为恒等元素；（4）任何两列对应符号相乘能得到表中的另一列符号。）任何两列对应符号相乘能得到表中的另一列符号。例如：例如：AB=AB（A列列B列列=AB）和和2 22 2设设计计中中的的分分析析类类似似，可可得得出出2 23 3设设计计中中效效果果的的平平方方和和.因因为为每每一一个个效效果果对对应应的的含含有有8 8项项的的线线性性组组合合的的对对照照，即即 对对n次次重重复复实实验验，任任一一个个效效果果，其其平平方方和和为为例例2.2.2 制造一种饮料，研究制造一种饮料，研究
6、3个因子的效果。其中：个因子的效果。其中：因子因子A为碳酸饱和百分比，有两个水平：为碳酸饱和百分比，有两个水平：10%，12%；因子因子B为操作压力（为操作压力（105 Pa），有两个水平：），有两个水平：1.5，1.8；因子因子C为线速度（为线速度（m/s），有两个水平：），有两个水平：0.5，0.8.共有共有8个不同的组合，每个组合测个不同的组合，每个组合测2个数值（碳酸盐量）经个数值（碳酸盐量）经处理后列于表处理后列于表2.2.6中中.试分析因子试分析因子A，B，C和它们的交互作和它们的交互作用对实验的影响用对实验的影响.解:考虑因子水平每一种组合下两次观察值的和（n=2），可得出：l=
7、-3+(-1)=-4，c=-1+0=-1，b=-1+0=-1，bc=1+1=2，a=0+1=1，ac=2+1=3，ab=2+3=5，abc=6+5=11，y.=16这里是这里是23设计，设计，按照表按照表2.2.5，写出各因子及，写出各因子及交互作用的对照表达式，计算数值，并求出效果值。交互作用的对照表达式，计算数值，并求出效果值。计计算各个离差平方和算各个离差平方和类似地，还有类似地，还有总离差平方和为误差平方和为误差平方和为列出方差分析表：可以看出可以看出FA，FB，FC 都大于都大于11.26，其余的，其余的F都小于都小于11.26，说，说明因子明因子A，B，C对试验都有显著影响，交互作用无显著影响对试验都有显著影响，交互作用无显著影响方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度均方均方F因子因子A36.00136.0057.14因子因子B20.35120.2532.14因子因子C12.25112.2519.44交互作用交互作用ABACBCABC2.250.251.001.0011112.250.251.001.003.570.401.591.59误差误差E5.0080.63总和总和T78.0015给出 =0.01，查表 F0.01(1,8)=11.26 表表2.2.7 例例2.2.2方差分析表方差分析表