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1、2012年中考数学卷精析版北京卷（本试卷满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的3（2012北京市4分） 正十边形的每个外角等于【 】ABCD【答案】B。【考点】多边形外角性质。【分析】根据外角和等于3600的性质，得正十边形的每个外角等于360010=360。故选B。4（2012北京市4分）下图是某个几何体的三视图，该几何体是【 】A长方体 B正方体 C圆柱 D三棱柱【答案】D。【考点】由三视图判断几何体。【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，由于主视图和左视图为矩形，可得为柱
2、体，俯视图为三角形可得为三棱柱。故选D。5（2012北京市4分） 班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是【 】ABCD【答案】B。【考点】概率。【分析】根据概率的求法，找准两点：全部等可能情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率。本题全部等可能情况的总数6，取到科普读物的情况是2。取到科普读物的概率是。故选B。6（2012北京市4分）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分AOD，若BOD=760
3、，则BOM等于【 】ABCD【答案】C。【考点】角平分线定义，对顶角的性质，补角的定义。【分析】由BOD=760，根据对顶角相等的性质，得AOC=760，根据补角的定义，得BOC=1040。 由射线OM平分AOD，根据角平分线定义，COM=380。 BOM=COMBOC=1420。故选C。7（2012北京市4分） 某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：用电量（度）120140160180200户数23672则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是【 】A180，160B160，180C160，160D180，180【答案】A。【考点】众数，中位数。【分
4、析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是180，故这组数据的众数为180。中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）。由此将这组数据重新排序为120，120，140，140，140，160，160，160，160，160，160，180，180，180，180，180，180，180，200，200，中位数是第10和11个平均数，它们都是160，故这组数据的中位数为160。故选A。8（2012北京市4分） 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒他的教练选择了一个固
5、定的位置观察小翔的跑步过程设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的【 】A点MB点NC点PD点Q【答案】D。【考点】动点问题的函数图象.【分析】分别在点M、N、P、Q的位置，结合函数图象进行判断，利用排除法即可得出答案：A、在点M位置，则从A至B这段时间内，弧上每一点与点M的距离相等，即y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；B、在点N位置，则根据矩形的性质和勾股定理，NA=NB=NC，且最大，与函数图象不符，故本选项错误；C、在点P位置，则PC最短，与函数图象不符，故本选项错误；D、在
6、点P位置，如图所示，以Q为圆心，QA为半径画圆交于点E，其中y最大的点是AE的中垂线与弧的交点H；在弧上，从点E到点C上，y逐渐减小；QB=QC，即，且BC的中垂线QN与BC的交点F是y的最小值点。经判断点Q符合函数图象，故本选项正确。故选D。二、填空题（本题共16分，每小题4分）9（2012北京市4分） 分解因式： 【答案】。【考点】提公因式法和应用公式法因式分解。【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此， 。10（2012北京市4分）若关于的方程有两个相等的实数根
7、，则的值是 【答案】1。【考点】一元二次方程根的判别【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可： 关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，=0，（2）241（m）=0，解得m=1。11（2012北京市4分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= 【答案】5.5。【考点】相似三角形的判定和性质。【分析】利用RtDEF和RtBCD相似求得BC的长后
8、加上小明同学的身高即可求得树高AB：DEF=BCD=90，D=D，DEFDCB。DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，AC=1.5m，CD=8m，。 BC=4（m）。AB=AC+BC=1.5+4=5.5（m）。12（2012北京市4分）在平面直角坐标系中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点已知点A（0，4），点B是轴正半轴上的整点，记AOB内部（不包括边界）的整点个数为m当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是 ；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m= （用含n的代数式表示）【答案】3或4；6n3。【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标，矩形的性质。【分析】根据题意画出
9、图形，再找出点B的横坐标与AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系即可求出答案：如图：当点B在（3，0）点或（4，0）点时，AOB内部（不包括边界）的整点为（1，1），（1，2），（2，1），共三个点，当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4。当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，以OB为长OA为宽的矩形内（不包括边界）的整点个数为（4n1）3=12 n3，对角线AB上的整点个数总为3，AOB内部（不包括边界）的整点个数m=（12 n33）2=6n3。三、解答题（本题共30分，每小题5分）13（2012北京市5分）计算：. 【答案】解：原式=。【考点】实数的运算，零指数幂，算术平方根，特
10、殊角的三角函数值，负整数指数幂。【分析】针对零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。16（2012北京市5分）已知：如图，点E，A，C在同一条直线上，ABCD，AB=CE，AC=CD求证：BC=ED.【答案】证明：ABCD，BAC=ECD，在BAC和ECD中，AB=EC，BAC=ECD ，AC=CD，BACECD（SAS）。CB=ED。【考点】平行线的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】首先由ABCD，根据平行线的性质可得BAC=ECD，再由条件AB=CE，AC=CD可证出BAC和ECD全等，再根据全等三角形对应边相等证
11、出CB=ED。17（2012北京市5分）如图，在平面直角坐标系xoy中，函数的图象与一次函数y=kxk的图象的交点为A（m，2）. （1）求一次函数的解析式； （2）设一次函数y=kxk的图象与y轴交于点B，若P是x轴上一点， 且满足PAB的面积是4，直接写出点P的坐标【答案】解：（1）将A（m，2）代入得，m=2，则A点坐标为A（2，2）。将A（2，2）代入y=kxk得，2kk=2，解得k=2。一次函数解析式为y=2x2。（2）（3，0），（1，0）。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）将A点坐标代入求出m的值为2，再将（2，2）代入y=kxk，
12、求出k的值，即可得到一次函数的解析式。（2）将三角形以x轴为分界线，分为两个三角形计算，再把它们相加：一次函数y=2x2与x轴的交点为C（1，0），与y轴的交点为B（0，2），解得CP=2。P点坐标为（3，0），（1，0）。18（2012北京市5分）列方程或方程组解应用题：据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量【答案】解：设一片国槐树叶一年的
13、平均滞尘量为x毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为（2x4）毫克，由题意得：，解得：x=22。经检验：x=22是原分式方程的解。答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克。【考点】分式方程的应用。【分析】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为（2x4）毫克，根据关键语句“若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，”可得方程，解方程即可得到答案。注意最后一定要检验。 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19（2012北京市5分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，BAC=900，CED=450，D
14、CE=900，DE=，BE=2求CD的长和四边形ABCD的面积【答案】解：过点D作DHAC，CED=45，DHEC，DE=，EH=DH=1。又DCE=30，DC=2，HC=。AEB=45，BAC=90，BE=2，AB=AE=2。AC=2+1+ =3+。 。【考点】勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，【分析】利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积。20（2012北京市5分）已知：如图，AB是O的直径，C是O上一点，ODBC于点D，过点C作O的切线，交OD
15、的延长线于点E，连结BE（1）求证：BE与O相切；（2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9，求BF的长【答案】证明：（1）连接OC，ODBC，OC=OB，CD=BD（垂径定理）。CDOBDO（HL）。COD=BOD。在OCE和OBE中，OC=OB，COE=BOE，OE=OE，OCEOBE（SAS）。OBE=OCE=90，即OBBE。BE与O相切。（2）过点D作DHAB，ODBC，ODHOBD，。又 ，OB=9，OD=6。OH=4，HB=5，DH=2。又ADHAFB，即，解得FB=。【考点】垂径定理，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】
16、（1）连接OC，先证明OCEOBE，得出EBOB，从而可证得结论。（2）过点D作DHAB，根据 ，可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由ADHAFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长。21（2012北京市5分）近年来，北京市大力发展轨道交通，轨道运营里程大幅增加，2011年北京市又调整修订了2010至2020年轨道交通线网的发展规划以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据制作的统计图表的一部分北京市轨道交通已开通线路相关数据统计表（截至2010年底）开通时间开通线路运营里程(千米)19711号线3119842号线23200313号线41八通线1920075号线28200
17、88号线510号线25机场线2820094号线282010房山线22大兴线22亦庄线23昌平线2115号线20 请根据以上信息解答下列问题： （1）补全条形统计图并在图中标明相应数据； （2）按照2011年规划方案，预计2020年北京市轨道交通运营里程将达到多少千米？ （3）要按时完成截至2015年的轨道交通规划任务，从2011到2015这4年中，平均每年需新增运营里程多少千米？【答案】解：（1）根据表格所给数据即可得出：2009年运营路程为：200+28=228。补全条形统计图如图所示：（2）根据统计表和扇形图，截止2010年已开通运营总路程336千米，占计划的33.6%， 预计2020年北
18、京市轨道交通运营总里程将达到：33633.6%=1000（千米）。（3）截止2015年新增运营路程为：100036.7=367（千米），从2011到2015年这4年中，平均每年需新增运营里程（367-36）4=82.75（千米）。【考点】统计表，条形统计图，扇形统计图，频数、频率和总量的关系，平均数。【分析】（1）根据表格所给数据即可得出：2009年运营路程为：2008年运营总路程+28求出即可。（2）根据统计表和扇形图：截止2010年已开通运营总路程和占计划的百分比，即可得出答案。（3）根据截止2015年新增运营路程为：100036.7=367（千米）；从而得出从2011到2015年这4年中
19、，平均每年需新增运营里程。22（2012北京市5分）操作与探究： （1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P. 点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段AB，其中点A，B的对应点分别为A，B如图1，若点A表示的数是，则点A表示的数是 ；若点B表示的数是2，则点B表示的数是 ；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E与点E重合，则点E表示的数是 ； （2）如图2，在平面直角坐标系xoy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移m个单位
20、，再向上平移n个单位（m0,n0），得到正方形ABCD及其内部的点，其中点A,B的对应点分别为A,B。已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F与点F重合，求点F的坐标。【答案】解：（1）0；3；。（2）根据题意得， ，解得.设点F的坐标为（x，y），对应点F与点F重合，解得。点F的坐标为（1，4）。【考点】坐标与图形的平移变化，数轴，正方形的性质，平移的性质。【分析】（1）根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A，设点B表示的数为a，根据题意列出方程求解即可得到点B表示的数，设点E表示的数为b，根据题意列出方程计算即可得解： 点A：3+1=1+1=0。设点B
21、表示的数为a，则a+1=2，解得a=3。设点E表示的数为b，则a+1=b，解得b=。（2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，然后设点F的坐标为（x，y），根据平移规律列出方程组求解即可。五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23（2012北京市7分）已知二次函数在和时的函数值相等。（1） 求二次函数的解析式；（2） 若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点A，求m和k的值；（3） 设二次函数的图象与x轴交于点B,C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B,C间的部分（含点B和点C）向左平移个单位后得到的图象记为C，同
22、时将（2）中得到的直线向上平移n个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围。【答案】解：（1）二次函数在和时的函数值相等，二次函数图象的对称轴为。，解得。二次函数解析式为。（2）二次函数图象经过A点，A（3，6）。又一次函数的图象经过A点，解得。（3）由题意可知，二次函数在点B，C间的部分图象的解析式为，则向左平移后得到的图象C的解析式为，。此时一次函数的图象平移后的解析式为。平移后的直线与图象C有公共点，两个临界的交点为与。当时，即；当时，即。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质。【分析】（1）由二次函数在和时的函数值相等
23、，可知二次函数图象的对称轴为，从而由对称轴公式可求得，从而求得二次函数的解析式。 （2）由二次函数图象经过A点代入可求得，从而由一次函数的图象经过A点，代入可求得。（3）根据平移的性质，求得平移后的二次函数和一次函数表达式，根据平移后的直线与图象C有公共点，求得公共点的坐标即可。24（2012北京市7分）在中，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ。 （1） 若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出CDB的度数； （2） 在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想CDB的大小（用含的代
24、数式表示），并加以证明； （3） 对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出的范围。【答案】解：（1）补全图形如下：CDB=30。（2）作线段CQ的延长线交射线BM于点D，连接PC，AD，AB=BC，M是AC的中点，BMAC。AD=CD，AP=PC，PD=PD。在APD与CPD中，AD=CD， PD=PD， PA=PCAPDCPD（SSS）。AP=PC，ADB=CDB，PAD=PCD。又PQ=PA，PQ=PC，ADC=2CDB，PQC=PCD=PAD。PAD+PQD=PQC+PQD=180。APQ+
25、ADC=360（PAD+PQD）=180。ADC=180APQ=1802，即2CDB=1802。CDB=90。（3）4560。【考点】旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，。【分析】（1）利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出CMQ是等边三角形，即可得出答案：BA=BC，BAC=60，M是AC的中点，BMAC，AM=AC。将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ，AM=MQ，AMQ=120。 CM=MQ，CMQ=60。CMQ是等边三角形。ACQ=60。CDB=30。（2）首先由已知得出APDCPD，从而得出PAD+PQD=PQ
26、C+PQD=180，即可求出。（3）由（2）得出CDB=90，且PQ=QD，PAD=PCQ=PQC=2CDB=1802。点P不与点B，M重合，BADPADMAD。21802，4560。25（2012北京市8分）在平面直角坐标系xoy中，对于任意两点P1（x1,y1）与P2（x2,y2）的“非常距离”，给出如下定义： 若x1x2y1y2，则点P1与点P2的“非常距离”为x1x2； 若x1x2y1y2，则点P1与点P2的“非常距离”为y1y2. 例如：点P1（1,2），点P2（3,5），因为1325，所以点P1与点P2的“非常距离”为25=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为
27、垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）。 （1）已知点，B为y轴上的一个动点， 若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标； 直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值； （2）已知C是直线上的一个动点， 如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标； 如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标。 【答案】解：（1）（0，2）或（0，2）。（2）设C坐标为，如图，过点C作CPx轴于点P，作CQy轴于点Q。 由“非常距离”的定义知，当OP=DQ时，点C与点
28、D的“非常距离”最小，。两边平方并整理，得，解得，或（大于，舍去）。点C与点D的“非常距离”的最小值距离为，此时。设直线与x轴和y轴交于点A，B，过点O作直线的垂线交直线于点C，交圆于点E，过点C作CPx轴于点P，作CQy轴于点Q，过点E作EMx轴于点M，作ENy轴于点N。易得，OA=4，OB=3，AB=5。由OABMEM，OE=1，得OM=，ON=。设C坐标为由“非常距离”的定义知，当MP=NQ时，点C与点E的“非常距离”最小，。两边平方并整理，得，解得，或（大于，舍去）。点C与点E的“非常距离”的最小值距离为1，此时，。【考点】新定义，直线上点的坐标与方程的关系，直线和圆的性质，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的和性质。【分析】（1）根据“非常距离”的定义可直接求出。 （2）解题关键是，过C点向x、y轴作垂线，当CP和CQ长度相等的时候“非常距离”最短，理由是，如果向下（如左图）或向上（如右图）移动C点到达C点，其与点D的“非常距离”都会增大。故而C、D为正方形相对的两个顶点时有最小的非常距离。 同，同时理解当OC垂直于直线时，点C与点E的“非常距离”最小。- 16 -