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1、二次二次函数函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)的图象和性质的图象和性质.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a 0-4ac 0有一个交点有一个交点有有两个相等的实数根两个相等的实数根b b2 2-4ac=0-4ac=0没有交点没有交点没有实数根没有实数根b b2 2-4ac 0-4ac 0该抛物线与x轴一定有两个交点(2)解:抛物线与x轴相交时 x
2、2-2x-8=0解方程得:x1=4,x2=-2AB=4-(-2)=6而P点坐标是(1,-9)SABC=27xyABP例例:已知二次函数已知二次函数y=xy=x2 2mxmx4 4设该设该函数的函数的图图象与象与x x轴轴的交点坐的交点坐标为标为(x(x1 1，O)O)、(x(x2 2，O)O)，且，且,求求m的值，并求出该函数图象的顶点坐标的值，并求出该函数图象的顶点坐标解解:因因为该为该函数的函数的图图像与像与x x轴轴的两个交点坐的两个交点坐标标分分别为别为(x(x1 1，0)0)、(x(x2 2，O)O)，所以，所以x x1 1、x x2 2是方程是方程x x2 2mxmx4=04=0的
3、两个的两个实实数根，所以数根，所以x x1 1+x+x2 2=m=m，x x1 1x x2 2=4 4所以二次函数的解析式所以二次函数的解析式为为y=xy=x2 24x4x4=(x4=(x2)2)2 28 8，因此坐因此坐标顶标顶点点为为(2(2，8)8)二次函数与一元二次方程综合题二次函数与一元二次方程综合题已知已知y y关于关于x x的函数：的函数：y=(k-2)xy=(k-2)x2 2-2(k-1)x+k+1-2(k-1)x+k+1中中满足满足k3.k3.(1)(1)求证：此函数图象与求证：此函数图象与x x轴总有交点轴总有交点.（2 2）当关于）当关于z z的方程的方程 有增根时，有增
4、根时，求上述函数图象与求上述函数图象与x x轴的交点坐标轴的交点坐标.【解析解析】(1)(1)当当k=2k=2时，函数为时，函数为y=-2x+3y=-2x+3，图象与，图象与x x轴有轴有交点交点.当当k2k2时，时，=4(k-1)=4(k-1)2 2-4(k-2)(k+1)=-4k+12,-4(k-2)(k+1)=-4k+12,当当k3k3时，时，00，此时抛物线与，此时抛物线与x x轴有交点轴有交点.因此因此,k3,k3时，时，y y关于关于x x的函数的函数y=(k-2)xy=(k-2)x2 2-2(k-1)x+k+1-2(k-1)x+k+1的图象与的图象与x x轴总有交点轴总有交点.(
5、2)(2)关于关于z z的方程去分母得：的方程去分母得：z-2=k+2z-6,k=4-z.z-2=k+2z-6,k=4-z.由于原分式方程有增根，其增根必为由于原分式方程有增根，其增根必为z=3.z=3.这时这时k=1,k=1,这时函数这时函数y=-xy=-x2 2+2,+2,它与它与x x轴的交点是轴的交点是已知函数已知函数(-15,0)(1,0)(0,7.5)(-7,32)(-14,7.5).0 xy写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与及图像与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。然轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图像的草图；
6、后画出函数图像的草图；(2)自变量自变量x在什么范围内时，在什么范围内时，y随着随着x的增大而增的增大而增大？何时大？何时y随着随着x的增大而减少；并求出函数的最的增大而减少；并求出函数的最大值或最小值。大值或最小值。2、已知二次函数的图像如图所示，下列结、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：论：a+b+c0 a-b+c0 abc 0 b=2a其中正确的结论的个数是（其中正确的结论的个数是（）A 1个个 B 2个个 C 3个个 D 4个个Dx-110y1,已知抛物线已知抛物线y=ax2经过点经过点(-2,2).(1)求这条抛物线的解析式求这条抛物线的解析式.(2)求出这个二次函数的最大值或最
7、小求出这个二次函数的最大值或最小值值.(3)在此抛物线上有两点在此抛物线上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且且x1x20,试比较试比较y1与与y2的大小的大小.2,若函数若函数y=4x2,的图像与平行的图像与平行x轴的直线轴的直线y=1.5交于两点交于两点,求这两点间的距离求这两点间的距离.3、如图直线如图直线l经过点经过点A(4,0)和和B(0,4)两点两点,它与二次函数它与二次函数y=ax2的图像在第一象限内的图像在第一象限内相交于相交于P点点,若若AOP的面积为的面积为4.5,求二次求二次函数的解析式函数的解析式.ABPOxy4,将抛物线将抛物线y=x2向下平移后向下平移后,使
8、使它的顶点它的顶点C与它在与它在x轴上的两个轴上的两个交点交点A,B组成等边三角形组成等边三角形ABC,求此抛物线的解析式求此抛物线的解析式.5,已知二次函数已知二次函数y=2x2+8mx+2m+3,如果它的如果它的图像的顶点在图像的顶点在x轴上轴上,求求m的值和顶点坐标的值和顶点坐标.6,已知抛物线已知抛物线y=0.25x2,把它的顶点移到把它的顶点移到x轴轴上的点上的点A,所得的抛物线与所得的抛物线与y轴交于点轴交于点B,且线且线段段OA,OB满足关系满足关系OA-1=OB,试说明平移方试说明平移方法法.请用两种方法将二次函数请用两种方法将二次函数y=x2-4x+6,化为化为y=a(x-h)2+k的形式的形式.