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1、24.1.2垂直于弦的直径垂直于弦的直径R九年级上册九年级上册状元成才路新课导入新课导入圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？状元成才路(1)能通过折纸探究圆的对称性，能证明圆是轴对称图形能通过折纸探究圆的对称性，能证明圆是轴对称图形.(2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论.(3)能利用垂径定理解决相应问题能利用垂径定理解决相应问题.状元成才路推进新课推进新课什么是轴对称图形？什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？回回 顾顾知识点知识点1圆的轴对称性圆的轴对称性状元成才路如果一个图形沿一条直线如果一个图形沿一条直线对折对折，直线
2、两旁的部分能，直线两旁的部分能够互相够互相重合重合，那么这个图形叫，那么这个图形叫轴对称图形轴对称图形线段线段角角等腰三角形等腰三角形矩形矩形菱形菱形等腰梯形等腰梯形正方形正方形圆圆状元成才路用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么？由此你能得到什么结论？发现：发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴线都是它的对称轴探究探究状元成才路圆有无数条对称轴，圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是每一条对称轴都是直径所在的直线
3、直径所在的直线.圆有哪些对称轴？圆有哪些对称轴？O如何来证明圆是轴对称图形呢？如何来证明圆是轴对称图形呢？状元成才路BOACDE是轴对称图形是轴对称图形大胆猜想大胆猜想已知：在已知：在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CDAB，垂足为垂足为E左图是轴对称图形吗？左图是轴对称图形吗？满足什么条件才能证明满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？圆是轴对称图形呢？状元成才路证明：证明：连结连结OA、OB.则则OAOB又又CDAB，直径直径CD所在的直线是所在的直线是AB的垂直平分线的垂直平分线.对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即的对称
4、点，即O关于直线关于直线CD对称对称.BOACDE圆是轴对称图形，任何一条直径所在圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴直线都是圆的对称轴.状元成才路知识点知识点2垂径定理及其推论垂径定理及其推论显然，由上面的证明可知，如显然，由上面的证明可知，如果果O的直径的直径CD垂直于弦垂直于弦AB,垂足垂足为为E，那么点，那么点A、B是关于是关于CD所在所在直线的对称点，则直线的对称点，则AE=BE.把把O沿沿CD对折时，对折时，AD与与BD重合，即重合，即AD=BD.BOACDE状元成才路垂直垂直于弦的直径于弦的直径平分平分弦，并弦，并且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧 知识要点知
5、识要点垂径定理垂径定理BOACDE状元成才路下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？DOCAEBDOCAEB图图1图图2图图3图图4OAEBDOCAEB状元成才路AEBEACBCADBDCD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CDAB过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦平分弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧题设题设结论结论DOABEC垂径定理垂径定理垂径定理垂径定理状元成才路推论推论 平分弦平分弦（不是直径）的直径（不是直径）的直径垂直垂直于弦，于弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧 状元成才路NOABMCD
6、注意注意为什么强调这里的弦为什么强调这里的弦不是直径不是直径？一个圆的任意两条一个圆的任意两条直径总是互相平分直径总是互相平分，但它们不一定互相垂但它们不一定互相垂直直.因此这里的弦如因此这里的弦如果是直径，结论不一果是直径，结论不一定成立定成立状元成才路 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备：如果具备：（1 1）过圆心）过圆心 （2 2）垂直于弦）垂直于弦 （3 3）平分弦）平分弦（4 4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧 （5 5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任意上述五个条件中的任意 个条件都可以推
7、出其个条件都可以推出其他他 个结论个结论.注意注意两两三三状元成才路条件条件结论结论命题命题平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧的另一条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧平分弦并且平分弦所对的一条弧的直
8、线经过圆心，垂直于弦，平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦垂径定理的推论垂径定理的推论状元成才路垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形d+h=rdhar有哪些等量关系？有哪些等量关系？在在a，d，r，h中，已知其中任意中，已知其中任意两个量，可以求出两个量，可以求出其它两个量其它两个量状元成才路例例2赵州桥是我国隋代建造的石拱桥赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有距今约有1400年的年的
9、历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥拱是历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥拱是圆弧形圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37m,拱高拱高(弧的中点弧的中点到弦的距离到弦的距离)为为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小结果保留小数点后一位数点后一位).ACBDO377.2318.5RR-7.23状元成才路解：设赵洲桥主桥拱的半径为解：设赵洲桥主桥拱的半径为R.则则R2=18.52+(R-7.23)2解得：解得：R27.3因此，赵州桥的主桥拱因此，赵州桥的主桥拱半径约为半径约为27.3m.ACBDO377.2318.5RR-7
10、.23状元成才路随堂演练随堂演练基础巩固基础巩固1.下列说法中正确的是下列说法中正确的是()A.在同一个圆中最长的弦只有一条在同一个圆中最长的弦只有一条B.垂直于弦的直径必平分弦垂直于弦的直径必平分弦C.平分弦的直径必垂直于弦平分弦的直径必垂直于弦D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴B状元成才路2.如图，如图，O的弦的弦AB垂直于半径垂直于半径OC，垂足为，垂足为D，则，则下列结论中错误的是下列结论中错误的是()A.AOD=BODB.AD=BDC.OD=DCD.AC=BC3.半径为半径为5的的O内有一点内有一点P，且，且OP=4，则过点，则过点P的最
11、的最长弦的长是长弦的长是，最短弦的长是，最短弦的长是.C106状元成才路4.如图，在如图，在O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两条为互相垂直且相等的两条弦，弦，ODAB于于D，OEAC于于E.求证：四边形求证：四边形ADOE是正方形是正方形.证明：证明：ABAC，ODAB，OEAC.四边形四边形ADOE是矩形是矩形.又又OD垂直平分垂直平分AB，OE垂直平分垂直平分AC,ABAC,四边形四边形ADOE是正方形是正方形.状元成才路5.如图，在半径为如图，在半径为50mm的的O中，弦中，弦AB的长为的长为50mm.求：求：(1)AOB的度数；的度数；(2)点点O到到AB的距离的距离.解：解：(
12、1)OA=OB=AB=50mm，AOB是等边三角形，是等边三角形，AOB=60.(2)作作OMAB，则，则AOM=AOB=30.在在RtAOM中，中，AM=AB=25mm.状元成才路6.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆为圆心的圆的一部分，如果的一部分，如果M是是O中弦中弦CD的中点，的中点，EM经过圆心经过圆心O交交O于点于点E,并且并且CD=4m,EM=6m.求求O的半径的半径.解：连接解：连接OC.OM平分平分CD,OMCD且且CM=MD=CD=2m.设半径为设半径为r，在，在RtOCM中，中，OC=r，OM=EM-OE=6-r,由勾
13、股定理得由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即，即r2=22+(6-r)2.解得解得r=.即即O的半径为的半径为m.状元成才路7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点，点O是这段是这段弧的圆心，弧的圆心，AB300m，C是是AB上一点，上一点，OCAB，垂，垂足为足为D，CD45m，求这段弯路的半径，求这段弯路的半径.解：设半径为解：设半径为r.OCAB，AD=BD=AB=150m.在在RtODB中，中，OD2+BD2=OB2，即即(r-45)2+1502=r2,解得解得r=272.5m.因此，这段弯路的半径为因此，这段弯路的半径为272.5m.状元成才路8
14、.如图，两个圆都以点如图，两个圆都以点O为圆心为圆心.求证：求证：AC=BD.证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，连接，连接OA,OC,OD,OB,则则AE=BE，CE=DE，AE-CE=BE-DE，即，即AC=BD.状元成才路9.O的半径为的半径为13cm，AB、CD是是O的两条弦，的两条弦，ABCD，AB=24cm，CD=10cm，求，求AB和和CD之间之间的距离的距离.综合应用综合应用状元成才路解：分两种情况讨论解：分两种情况讨论.第一种情况：当第一种情况：当AB、CD在圆心在圆心O的同侧时的同侧时.如图如图(1)，过点，过点O作作OMCD，垂足为，垂足为M，交，交AB于点
15、于点E.ABCD.OEAB.连接连接OB、OD.EMOM-OE7cm.状元成才路第二种情况：当第二种情况：当AB、CD在圆心在圆心O的异侧时，的异侧时，如图如图(2)，同第一种情况可得，同第一种情况可得OE=5cm,OM=12cm，EM=OM+OE=17cm.即即AB和和CD之间的距离为之间的距离为7cm或或17cm.状元成才路10.如图，如图，AB和和CD分别是分别是O上的两条弦，圆心上的两条弦，圆心O到它们到它们的垂线段分别是的垂线段分别是OM和和ON，如果，如果ABCD，OM和和ON的大的大小有什么关系？为什么？小有什么关系？为什么？拓展延伸拓展延伸状元成才路解：解：OMON.理由如下：
16、连接理由如下：连接OA、OC.则则OAOC.ONCD,OMAB,又又ABCD,CNAM,CN2AM2.在在RtOCN和和RtOAM中，中，OM2OA2-AM2,ON2OC2-CN2,OM2ON2.OMON.状元成才路课堂小结课堂小结垂垂径径定定理理垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧.垂径定理的推论：垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧直于弦，并且平分弦所对的两条弧.方法规律：方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据利用垂径定理解决问题，通常是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形后利用勾股题意作出辅助线，构造出直角三角形后利用勾股定理解答定理解答.状元成才路课后作业课后作业1.从课后习题中选取；从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题完成练习册本课时的习题.状元成才路声 明 本文件仅用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本司及相关权利人的合法权利。除此以外，将本文件任何内容用于其他用途时，应获得授权，如发现未经授权用于商业或盈利用途将追加侵权者的法律责任。武汉天成贵龙文化传播有限公司湖北山河律师事务所状元成才路状元成才路