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1、24.1.2垂直于弦的直径(2)1.垂径定理的内容是什么垂径定理的内容是什么?画出适合题意的画出适合题意的图形图形,用符号语言表示出来用符号语言表示出来.垂直于弦垂直于弦的的直径直径平分弦平分弦, ,且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧. .OABCDECDAB, CD是直径是直径,AE=BE, AC =BC, AD=BD.符号语言符号语言图形语言图形语言温故而知新温故而知新垂径定理推论垂径定理推论 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂的直径垂直于弦直于弦, ,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。 CDAB,CDAB, CD CD是直径，是直径， AE=BE AE=BE
2、 AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD =BD.OABCDE（1 1）如何证明？）如何证明？OABCDE已知：已知：如图，如图，CDCD是是O O的直径，的直径，ABAB为弦为弦，且，且AE=BE.AE=BE.证明：证明：连接连接OAOA，OBOB，则，则OA=OBOA=OB AE=BE AE=BE CDAB CDAB AD=BD, AD=BD, 求证：求证：CDABCDAB，且，且AD=BD,AD=BD, AC =BC AC =BC AC =BC AC =BC（2 2）“不是直径不是直径”这个条件能去掉吗？如这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。果不能，请举出反例。 平分弦平分
3、弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于的直径垂直于弦弦, ,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。OABCD CD CD是直径是直径, , CDAB, CDAB, AM=BM AM=BM AC=BC,AC=BC, AD=BD.AD=BD. 如果具备上面五个条件中的任何两个，那如果具备上面五个条件中的任何两个，那么一定可以得到其他三个结论吗？么一定可以得到其他三个结论吗？ 一条直线一条直线满足满足:(1):(1)过圆心过圆心;(2);(2)垂直于弦垂直于弦;(3);(3)平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）; (4); (4)平分弦所对优弧平分弦所对优弧;(5);(5)平分弦所对的劣弧
4、平分弦所对的劣弧. .OABCDM课堂讨论课堂讨论根据已知条件进行推导：根据已知条件进行推导：过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧平分弦所对劣弧（1 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。对的两条弧。（3 3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（2 2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。弦所对的另一条弧。只要具备上述五个条件中任
5、两个只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个就可以推出其余三个.垂径定理的应用垂径定理的应用例例1 1如图，一条公路的转变处是一段圆弧如图，一条公路的转变处是一段圆弧( (即图中弧即图中弧CD,CD,点点O O是弧是弧CDCD的圆心的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为弧为弧CDCD上的一点上的一点, ,且且OECDOECD垂足为垂足为F,EF=90m.F,EF=90m.求这段弯路的半径求这段弯路的半径. .n解解: :连接连接OC.OC.OCDEF.)90(,mROFRm则设弯路的半径为,CDOE ).(3006002121mCDCF得根据勾股定理,即,222O
6、FCFOC.90300222RR.545,R得解这个方程.545m这段弯路的半径约为OABC2. 已知已知A、B、C是是 O上三点，且上三点，且AB=AC，圆心圆心O到到BC的距离为的距离为3厘米，圆的半径为厘米，圆的半径为5厘厘米，求米，求AB长。长。DDOABCOABOAB 3.已知已知 O的半径为的半径为5厘米，弦厘米，弦AB的长为的长为8厘厘米，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点米，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。的距离。 EEDD(4)若若 ，CD是直径是直径,则则 、 、 .(1)若若CDAB, CD是直径是直径, 则则 、 、 .(2)若若AM=MB, CD是直径是直径
7、, 则则 、 、 .(3)若若CDAB, AM=MB, 则则 、 、 .1.如图所示如图所示:练习练习OABCDMAM=BM AC=BC AD=BD CDAB AC=BC AD=BD CD是直径是直径 AC=BC AD=BD AC=BC CDABAM=BM AD=BD 2.判断：判断：( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分并且平分 弦所对的两条弧弦所对的两条弧.( )(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧这条弦所对的另一条弧.( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.( )(
8、4)圆的两条弦所夹的弧相等圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行则这两条弦平行. ( )(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. 3 3、如图，点、如图，点P P是半径为是半径为5cm5cm的的O O内一点，且内一点，且OP=3cm, OP=3cm, 则过则过P P点的弦中，点的弦中，（1 1）最长的弦）最长的弦= = cmcm（2 2）最短的弦）最短的弦= = cmcm（3 3）弦的长度为整数的共有（）弦的长度为整数的共有（ ） A A、2 2条条 b b、3 3条条 C C、4 4条条 D D、5 5条条?O?PAOCD54P3B4.4.一弓形弦长为
9、一弓形弦长为cmcm，弓形所在的圆的，弓形所在的圆的半径为半径为7cm7cm，则弓形的高为，则弓形的高为. . 64 D DC CBOADO OA AB BC 6. 6.如图，如图，O O的直径为的直径为1010，弦，弦AB=8,PAB=8,P为为ABAB上的一个动点，那么上的一个动点，那么OPOP长的长的取值范围取值范围是是 。?O?P?A?BC4533cmOP5cm3cmOP5cm1.已知已知P为为 O内一点，且内一点，且OP2cm，如果如果 O的半径是的半径是3cm,那么过那么过P点的点的最最短的弦短的弦等于等于.EDCBAPO2 5cm2.过过 O内一点内一点M的最长弦长为的最长弦长为
10、4厘米，最短厘米，最短弦长为弦长为2厘米，则厘米，则OM的长是多少？的长是多少？OMA达标检测达标检测一、填空一、填空1 1、已知、已知ABAB、CDCD是是O O中互相垂直的弦，并且中互相垂直的弦，并且ABAB把把CDCD分成分成3cm3cm和和7cm7cm的两部分，则圆心的两部分，则圆心O O和弦和弦ABAB的距离为的距离为 cm.cm.2 2、已知、已知O O的半径为的半径为10cm10cm，弦，弦MNEF,MNEF,且且MN=12cm,EF=16cm,MN=12cm,EF=16cm,则弦则弦MNMN和和EFEF之间的距离为之间的距离为 . .3 3、已知、已知O O中，弦中，弦AB=8
11、cmAB=8cm，圆心到，圆心到ABAB的距离为的距离为3cm3cm，则此圆的半径，则此圆的半径为为 . .4 4、在半径为、在半径为25cm25cm的的O O中，弦中，弦AB=40cmAB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中，则此弦和弦所对的弧的中点的距离是点的距离是 . . 5 5、 O O的直径的直径AB=20cm, BAC=30AB=20cm, BAC=30则弦则弦AC=AC= . .14cm或2cm25cm10cm和40cm10 3 cm 运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问题，其中弓形是最常见的图形（如图），则弦题，其中弓形是最常见的图形（
12、如图），则弦a a，弦，弦心距心距d d，弓形高，弓形高h h，半径，半径r r之间有以下关系：之间有以下关系：ABC DO2222adr d+h=r hrd2a1 1、两条辅助线：、两条辅助线： 半径、圆心到弦的垂线段半径、圆心到弦的垂线段2 2、一个、一个RtRt： 半径、圆心到弦的垂线段、半弦半径、圆心到弦的垂线段、半弦OABC3 3、两个定理：、两个定理： 垂径定理、勾股定理垂径定理、勾股定理 拓展：如图，拓展：如图，ABAB为为O O的一条直径，它把的一条直径，它把O O分分成上、下两个半圆，从上半圆上一点成上、下两个半圆，从上半圆上一点C C作弦作弦CDAB, OCDCDAB, OCD的平分线交的平分线交O O于于P P，当点，当点C C在半在半圆上（不包括圆上（不包括A A、B B两点）移动时，点两点）移动时，点P P的位置会的位置会发生怎样的变化？发生怎样的变化？试说明理由试说明理由？?E?O?A?B?C?D?P