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1、电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计7.3 区间估计区间估计由于样本的随机性，点估计有以下缺陷：由于样本的随机性，点估计有以下缺陷：(1)无从断定估计值是否为待估参数的真实无从断定估计值是否为待估参数的真实值（即使是无偏有效估计量值（即使是无偏有效估计量)；(2)不能把握估计值与参数真实值的偏离程度不能把握估计值与参数真实值的偏离程度及估计的可靠程度及估计的可靠程度.改进改进 对于对于的估计，给定一个范围的估计，给定一个范围 满足满足:电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计一、定义一、定义 定义定义7.3.1 设总体的未知参数为设总体的未知参数为,由样本由样本X1，Xn确定确定两个统计量
2、两个统计量对于给定的实数对于给定的实数a a(0 a a 2;若若 1 2 的置信上限小于零的置信上限小于零,则可认为则可认为 1 2.电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计2)12 和和 22 未知未知，但但 12=22=2 电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计两稻种产量的期望差的置信区间两稻种产量的期望差的置信区间问题问题：能否用另外的方法求：能否用另外的方法求 1 1 2 2的区间估计？的区间估计？分析分析：当：当 n1=n2 时（成对抽样）时（成对抽样），电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计ZiN(1 2,22)根据抽样定理知，可选枢轴
3、变量根据抽样定理知，可选枢轴变量t(n1)两稻种产量的期望差的置信区间两稻种产量的期望差的置信区间电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计1)未知未知 1 、22.的区间估计的区间估计电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计2)已知已知 1 与与 2三、大样本方法构造置信区间三、大样本方法构造置信区间(略略)四、单侧置信区间四、单侧置信区间(自学自学)，见教材，见教材P167页页电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计五、大样本方法构造置信区间五、大样本方法构造置信区间对非正态总体而言，要确定其抽样分布往对非正态总体而言，要确定其抽样分布往往是比较困难的。往是比较困难的。大样本方法就是大样本方
4、法就是本质上这是利用近似分本质上这是利用近似分布代替精确分布以构造近似置信区间。布代替精确分布以构造近似置信区间。其主要思想是中心极限定理利用极限其主要思想是中心极限定理利用极限分布确定枢轴变量的分布，进而构造出置信分布确定枢轴变量的分布，进而构造出置信区间。区间。电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计例设例设为来自泊松分布总体为来自泊松分布总体 P(l l)的样本，求参数的样本，求参数l l的置信度为的置信度为1-a a的置信区的置信区间。间。解解 由于泊松分布由于泊松分布P(l l)的数学期望和方差都是的数学期望和方差都是l l由中心极限定理，当由中心极限定理，当n足够大时足够大时 近似
5、地服从近似地服从N(0,1)，所以有所以有电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计等价于等价于其中，其中，A和和B是下列二次方程的两个根，是下列二次方程的两个根，电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计即即 故得到故得到l l的置信区间为的置信区间为 A,B，置信度近似置信度近似地为地为1-a a 电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计在统计学中，一个统计方法如果依据的是在统计学中，一个统计方法如果依据的是有关变量的精确分布，不论样本容量多大都称有关变量的精确分布，不论样本容量多大都称为小样本方法为小样本方法而一个统计方法如果是基于有关变量的极而一个统计方法如果是基于有关变量的极限分布（限分
6、布（n），），则称这个方法是大样本方法。则称这个方法是大样本方法。上例所使用的区间估计方法，称为大样本区间上例所使用的区间估计方法，称为大样本区间估计估计 电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计至于至于n究竟应该多大？理论上很难给出究竟应该多大？理论上很难给出n的一个界限的一个界限但许多应用实践表明，当但许多应用实践表明，当n30时，近似程时，近似程度还是可以接受的度还是可以接受的 电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计六、单侧置信区间六、单侧置信区间前面讨论的区间估计问题，其置信区间都有前面讨论的区间估计问题，其置信区间都有两个有限的端点，这样的置信区间称为两个有限的端点，这样的置信区间
7、称为双侧置双侧置信区间信区间。在有些实际问题中，我们常常关心的是未知在有些实际问题中，我们常常关心的是未知参数至少有多大（例如设备、元件的使用寿命参数至少有多大（例如设备、元件的使用寿命等），或者是未知参数至多是多少（例如产品等），或者是未知参数至多是多少（例如产品的不合格品率、杂质含量等），这就引出了只的不合格品率、杂质含量等），这就引出了只有一个有限端点的有一个有限端点的单侧置信区间单侧置信区间概念。概念。电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计是来自某个总体的样本，是来自某个总体的样本，定义设定义设 总体分布包含未知参数总体分布包含未知参数q q 是是q q 的估计的估计量如果对量如果对
8、q q 的一切可能取值，有的一切可能取值，有 则称随机区间则称随机区间 ，+为参数为参数q q 的置信度为的置信度为1-a a 的单侧置信区间的单侧置信区间 称为单侧置信下限称为单侧置信下限 电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计是来自某个总体的样本，是来自某个总体的样本，定义设定义设 总体分布包含未知参数总体分布包含未知参数q q 是是q q 的估计的估计量如果对量如果对q q 的一切可能取值，有的一切可能取值，有 则称随机区间则称随机区间，为参数为参数q q 的置信度为的置信度为1-a a 的单侧置信区间的单侧置信区间 称为单侧置信上限称为单侧置信上限 电子科技大学电子科技大学区间估计区
9、间估计单正态总体的区间估计单正态总体的区间估计被估被估参数参数条条件件统计量统计量(枢轴变量枢轴变量W)置信区间置信区间已已知知2未未知知2 小结：常见的区间估计小结：常见的区间估计电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计被估被估参数参数条条件件统计量统计量(枢轴变量枢轴变量)置信区间置信区间2已已知知2未未知知小结：常见的区间估计小结：常见的区间估计电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计被估被估参数参数条件条件统计量统计量(枢轴变量枢轴变量)已知已知12与与22 未知未知12和和22未知未知1和和2双正态总体的区间估计双正态总体的区间估计小结：常见的区间估计小结：常见的区间估计电子科技大学
10、电子科技大学区间估计区间估计 例例7.3.1 设总体设总体X N(,0.09)，有一组样本值：，有一组样本值：12.6，13.4，12.8，13.2，求参数，求参数的置信度为的置信度为0.95的置信区间的置信区间.解：有解：有1=0.95，0=0.3，n=4,是是的无偏估计量的无偏估计量,是优良估计量，且是优良估计量，且从而从而电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计 在标准正态分布表中查得上侧分位数在标准正态分布表中查得上侧分位数u/2=u0.025=1.96得得的置信区间为的置信区间为电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计 代入样本值算得代入样本值算得 ,得到得到的一个区间的一个区间估计
11、为估计为12.706，13.294.注：该区间不一定包含注：该区间不一定包含.总结此例，做了以下工作：总结此例，做了以下工作：1）根据）根据优良性准则优良性准则选取统计量来估计参数；选取统计量来估计参数；是是的优良估计量：无偏、有效、相合的优良估计量：无偏、有效、相合.电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计3)查找临界值查找临界值u/2，构造一个关于，构造一个关于U的概率为的概率为置信水平置信水平1的随机事件的随机事件.这里这里2)建立了关于建立了关于与统计量与统计量 的函数的函数U，并确定，并确定U的分布；的分布；4）由上式解出关于待估参数）由上式解出关于待估参数的不等式，建立的不等式，建
12、立起关于起关于的置信区间的置信区间.#电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计是是的的优良估计优良估计，且，且思考思考：是否仍选统计量是否仍选统计量 并令并令分析分析：1.求得置信区间求得置信区间？例例7.3.2 设设XN(,2)，未知，未知2,求参数求参数的的置信度为置信度为1-的置信区间的置信区间.未知参数的替换未知参数的替换电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计选选S2不行！不行！2.选一个统计量去替代选一个统计量去替代2，因为未知因为未知2，故，故 U 不是统计量不是统计量.S2、M2中选哪一个较好？中选哪一个较好？因它是因它是2 的无偏、有效、相合估计的无偏、有效、相合估计.选下统
13、计量作为枢轴变量，根据抽样定理选下统计量作为枢轴变量，根据抽样定理电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计3.由由 t 分布的对称性，令分布的对称性，令4.整理后得整理后得的置信区间为的置信区间为比较比较 已知已知2=02 时时,的置信区间为的置信区间为#电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计零件长度的方差零件长度的方差12.15 12.12 12.01 12.28 12.09 12.16 12.03 12.0112.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.06 解解 设零件长度为设零件长度为X，可认为，可认为X 服从正态分布服从正态分布.求方差的
14、估计值和置信区间求方差的估计值和置信区间(=0.05).例例7.3.3 从自动机床加工的同类零件中任取从自动机床加工的同类零件中任取16件测得长度值如下件测得长度值如下(单位：单位：mm)电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计求方差的置信区间求方差的置信区间 由于由于未知未知,S2 是是2 的优良估计的优良估计,选取枢选取枢轴变量轴变量相应的置信区间为相应的置信区间为电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计查查2分布表可得分布表可得2 的置信度为的置信度为 0.95 的置信区间为的置信区间为比较：比较：2 的点估计值为的点估计值为 s2=0.005.#电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计
15、婴儿体重的估计婴儿体重的估计 例例7.3.4 假定初生婴儿的体重服从正态分布，假定初生婴儿的体重服从正态分布，随机抽取随机抽取12 名婴儿，测得体重为：（单位：克）名婴儿，测得体重为：（单位：克）3100,2520,3000,3000,3600,3160,3560,3320,2880,2600,3400,2540 试以试以 95%的置信度估计初生婴儿的平均体重以的置信度估计初生婴儿的平均体重以及方差及方差.解解 设初生婴儿体重为设初生婴儿体重为X 克，则克，则 XN(,2),(1)需估计需估计 ,而未知而未知 2.电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计作为枢轴变量作为枢轴变量.有有 =，n=
16、，t0.025(11)=，电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计(2)需估计需估计 2,而未知而未知 ，有有 20.025(11)=，20.975(11)=，#电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计甲甲140 137 136 140 145 148 140 135 144 141乙乙135 118 115 140 128 131 130 115 121 125 例例7.3.5 甲、乙两种稻种分别种在甲、乙两种稻种分别种在10块试验田块试验田中中,每块田中甲、乙稻种各种一半。假设两种稻每块田中甲、乙稻种各种一半。假设两种稻种产量种产量X、Y 服从正态分布，且方差相等服从正态分布，且方差相等.
17、10块块田中的产量如下表田中的产量如下表(单位：公斤单位：公斤)，求两稻种产，求两稻种产量的期望差量的期望差 1 2 的置信区间的置信区间(a a=0.05).电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计 解解 设设XN(1,12),YN(2,22),12=22=2 ，估计，估计 1 2，取统计量，取统计量由样本表可计算得由样本表可计算得电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计查查t 分布表得：分布表得：t0.025(18)=2.1009 两稻种产量期望差的置信度为两稻种产量期望差的置信度为95%的置信区间为的置信区间为电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计另解另解 因枢轴变量因枢轴变量t(n1)，#电子科技大学电子科技大学区间估计区间估计 可得两稻种产量期望差的置信度为可得两稻种产量期望差的置信度为95%的置的置信区间为信区间为#