《导数的应用-函数凹向与拐点.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数的应用-函数凹向与拐点.ppt（67页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第六节第六节 函数图形的描绘函数图形的描绘图形描绘的步骤图形描绘的步骤作图举例作图举例渐近线渐近线1.铅直渐近线铅直渐近线铅直渐近线铅直渐近线.或或利用导数，就可以判断曲线的升降，凹凸，利用导数，就可以判断曲线的升降，凹凸，如如铅直渐近线铅直渐近线:(垂直于垂直于x轴的轴的渐近线渐近线)以及极值点，拐点，就可以大致作出曲线的形状以及极值点，拐点，就可以大致作出曲线的形状.为了使作图更精确，回忆曲线的渐近线为了使作图更精确，回忆曲线的渐近线.一、渐近线一、渐近线如如铅直渐近线铅直渐近线:2.水平渐近线水平渐近线如如水平渐近线水平渐近线:水平渐近线水平渐近线.或或(b为常数为常数)(平行于平行于x
2、轴的轴的渐近线渐近线)=)(limxf3.斜渐近线斜渐近线斜渐近线斜渐近线.明显有明显有从而从而将将a带入即可求出带入即可求出b.)1()0,(aba且且为常数为常数例例解解 定义域定义域无水平渐近线无水平渐近线利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.确定函数的定义域、值域、间断点确定函数的定义域、值域、间断点,函数是否有奇偶性、周期性函数是否有奇偶性、周期性.判定判定和拐点和拐点,讨论函数的单调性和极值讨论函数的单调性和极值,曲线的凹凸性曲线的凹凸性渐近线渐近线.适当计算曲线上一些点的坐标适当计算曲线上一些点的坐标,是否与坐标轴是否有交点是否与坐标轴是否有交点.特别注意特别注意二、
3、图形描绘的步骤二、图形描绘的步骤例例解解无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性.三、作图举例三、作图举例拐点拐点极大值极大值极小值极小值列表列表拐点拐点极大值极大值极小值极小值例例解解偶函数偶函数,图形关于图形关于y 轴对称轴对称.极大值极大值拐点拐点作业作业作业册作业册 本节本节 全部全部第三节第三节 泰勒泰勒(Taylor)公式公式1516不足不足:问题问题:1、精确度不高；、精确度不高；2、误差不能估计。、误差不能估计。17分析分析:2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近近似似程程度度越越来来越越好好1.若在若在 点相交点相交18N 阶接触阶接触19拉格朗日型余项拉
4、格朗日型余项20证明证明:212223说明说明:24麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)公式公式此时泰勒公式称为此时泰勒公式称为麦克劳林公式麦克劳林公式.拉格朗日型余项拉格朗日型余项皮亚诺型余项皮亚诺型余项25解解近似公式近似公式误差误差其误差其误差26解解272829303132 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式33解解34解解35解解利用泰勒展开式求极限利用泰勒展开式求极限36例例6 6解解练习：练习：37P143 习题习题3-31.3.5.7.10.第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性38一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法函数的单调性
5、与导数符号的关系函数的单调性与导数符号的关系39观察与思考：观察与思考：函数单调增加函数单调增加函数单调减少函数单调减少 函数的单调性与导数的符号有什么关系？函数的单调性与导数的符号有什么关系？40 函数单调增加时导数大于零，函数单调减少时导数小于零。函数单调增加时导数大于零，函数单调减少时导数小于零。函数的单调性与导数符号的关系函数的单调性与导数符号的关系观察结果：观察结果：函数单调减少函数单调减少函数单调增加函数单调增加41定理定理42证证应用拉格朗日定理应用拉格朗日定理,得得43例例1 1解解例例2 2解解44例例3 3解解45例例4 4解解46例例4 4解解也可用列表的方式，也可用列表
6、的方式，47导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点界点方法方法:注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,y-2O2-4-224x y=x3 驻点驻点48例例5 5证证利用函数的单调性证明不等式利用函数的单调性证明不等式49即原式成立。即原式成立。例例6 6证证50由连续函数的零点存在定理知，由连续函数的零点存在定理知，利用函数的单调性讨论方程的根。利用函数的单调性讨论方程的根。例例7 7证证小结小结51单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的
7、重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式明不等式.二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点52问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?NABM53观察与思考观察与思考：函数曲线除了有上升和下降外，还有什么特点？函数曲线除了有上升和下降外，还有什么特点？54 定定义义一一 如如果果在在某某区区间间内内，曲曲线线弧弧位位于于其其上上任任意意一一点点的的切切线线的的上上方方，则则称称曲曲线线在在这这个个区区
8、间间内内是是凹凹的的；如如果果在在某某区区间间内内，曲曲线线弧弧位位于于其其上上任任意意一一点点的的切切线线的下方，则称曲线在这个区间内是的下方，则称曲线在这个区间内是凸凸的。的。曲线凹向的定义曲线凹向的定义凹的凹的凸的凸的55曲线凹向的定义曲线凹向的定义凹的凹的凸的凸的56图形上任意弧段位于所张弦的图形上任意弧段位于所张弦的上方：凸的上方：凸的图形上任意弧段位于所张弦的图形上任意弧段位于所张弦的下方：凹的下方：凹的57定义二定义二58观察与思考：观察与思考：曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？拐点拐点凹的凹的凸的凸的当曲线是凹的时，当曲线是凹的
9、时，f (x)单调增加。单调增加。当曲线是凸的时，当曲线是凸的时，f (x)单调减少。单调减少。曲线凹向的判定曲线凹向的判定曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点拐点。59定理定理60例例8 8解解x yO61例例9 9解解凹凹凸凸凹凹拐点拐点拐点拐点6263例例1010解解拐点的求法：拐点的求法：1.1.找出二阶导数为零的点或不可导点；找出二阶导数为零的点或不可导点；2.2.若它两边的二阶导数值异号若它两边的二阶导数值异号,则为拐点则为拐点,若同若同号则不是拐点号则不是拐点.64例例1111解解65利用函数图形的凹凸性利用函数图形的凹凸性,证明不等式证明不等式 例例1212证证66-2-112-2-112Ox y 解：解：f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)。当x(-,-1)时，f(x)0，函数f(x)在(-,-1)内单调增加；当x(-1,1)时，f(x)0，函数f(x)在(1,+)内单调增加。例例解解例例解解