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1、第6章 薄板弯曲问题的有限单元法 1.薄板弯曲问题的基本方程2.薄板弯曲问题的非协调矩形单元3.非协调三角形板单元4.薄板弯曲问题的协调元6.1 薄板弯曲问题的基本方程1 弹性薄板的基本假设（克希霍夫假设）无挤压 薄板弯曲时，平行于中面的各层面之间无挤压。这意味着薄板弯曲后厚度保持不变，因此可取 。显然挠度w只是x,y的函数：直法线 变形前垂直于中面的直线段，变形后仍为直线，且仍然垂直于弯曲后的中面。这意味着yz和zx平面内的剪应变为零从而得：无侧移 薄板中面内各点都没有平行于中面的侧向位移，即结合几何方程可知，中面内形变分量均为零,即从上述的附加假设出发，可以将位移u、v用w表示。推导得这就
2、是薄板弯曲问题的克希霍夫(Kirchhoff)假设，使用克希霍夫假设计算的板称为克希霍夫板。将用 w 表示的位移 u,v 代入几何方程这里，记 为称为薄板的广义应变分量。薄板中的应力D0是平面应力问题的物理矩阵薄板内力D是板的弯曲刚度矩阵显然最大应力发生在薄板的上下表面2 弹性薄板的几点简化l应力分量的减少l应变分量的减少l位移之间有了附加关系l应力应变关系的简化1 薄板弯曲问题节点位移参数的选择采用克希霍夫假设后，薄板的变形状态完全由一个变量，即中面挠度 w(x,y)来确定。然而，在有限元法中只取挠度本身作为节点位移参数是不够的。按克希霍夫理论，薄板内部非中面上各点的位移(u,v,w)是用相
3、应的中面点的挠度w(x,y)和该点处中面法线转角x和y来表示的(2式)。因而，为了保证板内位移(u,v,w)在整个求解区域内单值连续，除要求w在全域内单值连续外，还必须要求x和y在全域内也是单值连续的。这里6.2 矩形薄板单元 将只要求函数本身连续的问题称为C0问题，如弹性力学平面问题；将不但函数本身，还要求其一阶导数连续的问题称为C1问题，如薄板弯曲问题。如果将位移模式仍然取为多项式，要求在全域内位移及一阶导数连续，这等价于在单元边界上要保证位移及一阶导数连续，因此在单元结点上必须保证位移及一阶导数连续，即应选取三个结点位移参数如果取四节点单元，则取位移函数为两个四次项的选取，保证了在单元边
4、界上，即x=const，y=const时，位移是三次多项式。位移连续性问题。在 ij 边上，y=const，共有四个参数，可由ij边两端节点的位移参数唯一确定，因此在相邻单元的公共边界上，位移w及其切向导数 是连续的。仍有四个参数，但是节点参数只有两个 ，无法唯一确定法向导数。也就是说，在两个相邻单元的公共边界上，位移模式w的法向导数 并不相同。再来看法向导数。法向导数 为由以上讨论和进一步的研究可以得出结论，仅规定位移 w及其一阶导数 作为节点位移参数时，取位移模式为简单多项式，要保证单元边界上位移 w的法向导数连续是不可能的，常称这样的单元为不完全协调元。不完全协调元的位移模式只满足了“收
5、敛准则”的完备条件，而未满足协调条件。有关其收敛性的问题需要再讨论。但是计算实践表明，这里所给出的不完全协调四节点矩形单元的计算结果是收敛的2 位移模式将矩形薄板沿坐标方向划分为若干矩形单元，每个单元设有四个节点，每个节点有三个位移分量，即挠度 w，绕y轴转角x,绕 x 轴转角y。即单元的节点位移为节点荷载为单元的节点荷载为取位移函数为在位移函数中，前三项包含了单元的刚体位移状态，二次项代表了单元的均匀应变状态。可以证明，此位移模式能够保证相邻单元的公共边界上挠度 w 和转角的连续性。分别求出上式中对 x,y 的导数将单元四个节点的坐标分别代入前三式后，可得12个关于i 的方程组，求解后代回(
6、7)式，令其中称N为形函数矩阵，第i个子矩阵为 为节点的坐标值，则将形函数(9)代入(3)式，得出这里的B称为应变矩阵第i个子矩阵Bi为3 势能泛函与有限元模式板的势能泛函可写成将(10)式代入(11)式得按最小势能原理将(12)式代入(13)式得记得出4 不完全谐调元的分片检验前面说明，薄板不完全协调矩形单元的位移插值函数不能满足“收敛准则”所要求的协调条件，但是计算结果表明是收敛的。如何判断此种不完全协调元计算结果的收敛性呢?埃恩斯提出“分片检验”的概念，并指出：位移插值函数能否通过“分片检验”，是判断不完全协调计算结果是否收敛的充分必要条件。“分片检验”的具体做法如下，任意取一个至少有一
7、个内部节点的，由若干个单元组成的拼片，并且：在内部节点上既不允许有载荷，也不允许有约束。当把任何一种与常应变状态对应的节点位移或节点力加到该单元拼片的边界节点上时，用某种位移插值函数计算得到单元拼片内部的位移符合常应变状态的条件，则说该位移插位函数能够通过“分片检验”。经检验表明，前面介绍的不完全协调矩形元能够通过“分片检验”，因而计算结果是收敛的。6.3 三角形板单元三结点板单元，每个结点三个位移参数每个单元共有9个参数。如果位移函数取为多项式，则一个完备的三次多项式包含10项用面积坐标法求插值函数。面积坐标的性质1 三结点板单元的位移模式面积坐标的一、二、三次式分别为(a)表示刚体位移；(
8、b)在1-3边，位移及转角皆为零；在结点2，转角不为零；(c)在结点处位移及转角皆为零；但可与其他三次式共同使用，使单元更普适；(d)面积坐标的4次方。取三角形板的位移插值函数为这个函数不是 x,y 的完全 3 次多项式，一般情况下不能保证 w 满足常应变要求（当结点参数赋以和常曲率或常扭率相对应的数值时，w 不能保证给出和此变形状态对应的挠度值）。但当调整系数C取为0.5时，w 可满足常应变要求。按前述方法求出 ，位移函数表为2 三角形板单元的收敛性单元的完备性前已说明。对于协调性，同矩形板单元。非协调元尽管给出收敛解答，但这种收敛不一定是单调的；收敛性是以分片检验为条件的，应用范围受到限制。6.4 基于薄板理论的协调元构造协调元的方法有两种：一是增加结点参数，使结点参数中包含w的二次导数，如结点位移取为：二是在保持每个结点有3个参数的前提下，采取其他一些措施。例如引入具有下列性质的校正系数23：1 在全部边界上23为零；2 在边界1-3、1-2上法向导数 为零；3 在边界2-3上 按二次变化，且在4点取值为1。则取位移函数