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1、薄板弯曲问题的有限元法本讲稿第一页，共二十五页21.1.定义：工程定义：工程力学理论研究中，概念定义的板是指厚度尺寸相对长宽尺寸小很多的平板，且能承受横向或垂直于板面的载荷。如板不是平板而为曲的(指一个单元)，则称为壳问题。如作用于板上的载荷仅为平行于板面的纵向载荷，则称为平面应力问题；如作用于板上的载荷为垂直于板面的横向载荷，则称为板的弯扭问题，常简称板的弯曲问题。薄膜 厚度薄板厚板 b板长宽最小值一一.定义及假设定义及假设本讲稿第二页，共二十五页32 2、基本假设（克希霍夫假设）、基本假设（克希霍夫假设）1）直线假设：即变形前垂直于板中面的直线，在弯曲变形后仍为直线，且垂直于弯曲后的中面。
2、说明在平行于中面的面上没有剪应变，即本讲稿第三页，共二十五页42）厚度不变假设：即忽略板厚变化。即 。由于板内各点的挠度与 z坐标无关，只是x，y的函数，即3）中面上正应力远小于其它应力分量假设：平行于中面的各层相互不挤压，不拉伸，沿z向的正应力可忽略，即4）中面无伸缩假设：弯曲过程中，中面无伸缩，（薄板中面内的各点都没有平行中薄板中面内的各点都没有平行中面的位移）面的位移）即纵向荷载：可以认为他们沿薄板厚度均匀分布，因而他们所引起的应力、形变和位移可以按平面应力问题进行计算。横向荷载：将使薄板弯曲，他们所引起的应力、形变和位移，可以按薄板弯曲问题进行计算。本讲稿第四页，共二十五页5二、基本方
3、程二、基本方程1）几何方程积分可得绕x轴转角绕y轴转角分别表示薄板弯曲曲面在x，y方向的曲率表示薄板弯曲曲面在x，y方向的扭率变形变形前的前的直线直线变形变形后的后的直线直线zxz本讲稿第五页，共二十五页62）物理方程（广义胡克定律）写为矩阵形式：本讲稿第六页，共二十五页73）内力矩公式及平衡方程单位宽度上垂直x，y轴的横截面上弯矩、扭矩xyz本讲稿第七页，共二十五页8 图中力矩双箭头方向表示是力矩的法线方向，列平衡方程：由应力的正负方向的规定得出：由应力的正负方向的规定得出：正的应力合成的主矢量为正，正正的应力合成的主矢量为正，正的应力乘以正的矩臂合成的主矩的应力乘以正的矩臂合成的主矩为正；
4、反之为负。为正；反之为负。本讲稿第八页，共二十五页9应力分量表达式应力分量表达式本讲稿第九页，共二十五页10三、矩形薄板单元分析三、矩形薄板单元分析 用有限元法求解薄板弯曲问题，常在板中面进行离散，常用的单元有三角形和矩形。为了使相邻单元间同时可传递力和力矩，节点当作刚性节点，即节点处同时有节点力和节点力矩作用。每个节点有三个自由度，即一个扰度和分别绕x，y轴的转角。1.设位移函数mjil节点位移分量和节点力分量本讲稿第十页，共二十五页11 薄板弯曲时，只有w(x,y)是薄板变形的未知基本函数，而其它量，如u,v等都是w(x,y)的函数，故薄板矩形单元的位移函数的选择实际就是w(x,y)的选取
5、。注意单元有12个自由度，则另两个转角为：本讲稿第十一页，共二十五页12待定系数：利用12个节点位移值可待定12个系数，整理w(x,y)为插值函数形式：其中，形函数：本讲稿第十二页，共二十五页132.单元收敛性分析：1）位移函数 中包含有常量项，反映了刚体位移，如 为扰度常量，为转角常量。2）位移函数中包含了常量应变项，如形变分量为：表明薄板处于均匀弯扭变形状态，即常应变状态。这里的常应变为扰度的二次函数，而在平面单元中为位移的一次式，这是因为板有厚度，其形变是指不同厚度上的。本讲稿第十三页，共二十五页143）相邻单元在公共边界上扰度是连续的但转角不一定连续。设边界ij边 y=-b 则 有位移
6、 四个系数刚好通过i，j两个端点的扰度值和绕y轴的两个转角值唯一确定；同时，相邻单元在此边界上也能通过i，j的值唯一确定，故连续。如对于绕x轴的转角：四个系数不能通过i，j的两个已知转角值唯一待定；同理，相邻单元在此边界上也不能唯一确定四个系数。故转角不连续。所以，薄板矩形单元是非协调单元。但实践表明，当单元细分，其解完全能收敛真实解。本讲稿第十四页，共二十五页153.单元刚度矩阵1）应变矩阵其中：B为x，y的函数，与z无关本讲稿第十五页，共二十五页162）单元刚阵本讲稿第十六页，共二十五页174.总刚集成5.载荷移置6.边界条件出来7.求解线性方程组 本讲稿第十七页，共二十五页18四.三角形
7、薄板单元1.面积坐标 三角形单元的面积坐标定义:如图示三角形单元中，任意一点P的位置可以用下面3个比例确定。其中A为ijm的面积，Ai，Aj，Am分别为Pjm，Pim，Pij的面积。比值Li，Lj，Lm就称为P点的面积坐标。ijmp本讲稿第十八页，共二十五页19 实际为三角形 的高与 高的比，即平行jm线的直线上的所有点有相同的 。同时，易得 即，三角形内与任一条边平行的直线上的所有点有相同的面积坐标。比较面积坐标与平面三角形单元形函数可知，面积坐标正是平面三节点三角形单元的三个形函数。面积坐标与整体坐标之间的变换。本讲稿第十九页，共二十五页202、位移函数 三角形单元能较好地适应斜边界，实际
8、中广泛应用。单元的节点位移仍然为节点处的挠度wi和绕x，y轴的转角xi、yi，独立变量为wi。三角形单元位移模式应包含9个参数。若考虑完全三次多项式，则有10个参数：若以此为基础构造位移函数，则必须去掉一项，则无法保证对称。经过多种选择，采用面积坐标比较合理可行。对于三角形单元，面积坐标的一、二、三次齐次分别有以下项：本讲稿第二十页，共二十五页21将三个节点的位移和面积坐标代入上式，可得：1=wi，2=wj，3=wm。代入上式对Li，Lj求导，注意Lm=1-Li-Lj，可得 将节点的面积坐标代入上述两式，可得6个关于 4 9的方程，求解后可得 4 9：本讲稿第二十一页，共二十五页22本讲稿第二十二页，共二十五页23最后，待定常数 1 9代入位移模式，整理后得：将将w,Lii和和w,Lji变换成变换成xi、yi，从而得到相应于，从而得到相应于xi、yi的形函数的形函数Nxi、Nyi利用：利用：本讲稿第二十三页，共二十五页24本讲稿第二十四页，共二十五页25 利用求得位移函数，可以得到应变列阵和相应的应变矩阵B，进一步可得到形变列阵和相应的形变矩阵B。单元刚度矩阵计算公式：本讲稿第二十五页，共二十五页