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1、Ch.2 Ch.2 控制系统的状态空间控制系统的状态空间模型模型目录(1/1)目目 录录q概述概述q2.1 状态和状态空间模型状态和状态空间模型q2.2 根据系统机理建立状态空间模型根据系统机理建立状态空间模型q2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 q2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范型状态空间模型的线性变换和约旦规范型q2.5 传递函数阵传递函数阵q2.6 线性离散系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述 q2.7 Matlab问题问题 q本章小结本章小结根据系统的输入输出关系建立状态空间模型根据系统的输入输出关系建立状态空间模型(1
2、/2)2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空根据系统的输入输出关系建立状态空间模型间模型q本节讨论由描述线性定常系统输入输出间动态特性的高阶本节讨论由描述线性定常系统输入输出间动态特性的高阶常微分方程与传递函数常微分方程与传递函数,通过选择适当的状态变量分别建立通过选择适当的状态变量分别建立系统的状态空间模型。系统的状态空间模型。这样的问题称为系统的实现问题。这样的问题称为系统的实现问题。这种变换过程的原则是这种变换过程的原则是,不管状态变量如何选择不管状态变量如何选择,应保持应保持系统输入输出间的动态和静态关系不变。系统输入输出间的动态和静态关系不变。根据系统的输入输出关系建立状态空间模型
3、根据系统的输入输出关系建立状态空间模型(2/2)q本节的内容为：本节的内容为：由高阶常微分方程建立状态空间模型由高阶常微分方程建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型多输入多输出线性系统多输入多输出线性系统非线性系统非线性系统由高阶常微分方程建立状态空间模型由高阶常微分方程建立状态空间模型(1/1)2.3.1 由高阶常微分方程建立状态空间模型由高阶常微分方程建立状态空间模型q本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微分方程建立系本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微分方程建立系统的状态空间模型统的状态空间模型,分别讨论分别讨论由不含输入量导数项和由不含输入量导数项和
4、由含输入量导数项的由含输入量导数项的微分方程建立状态空间模型。微分方程建立状态空间模型。q本节关键问题本节关键问题:如何选择状态变量如何选择状态变量保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变关键喔关键喔!微分方程中不包含输入量的导数项微分方程中不包含输入量的导数项(1/9)1.微分方程中不包含输入量的导数项微分方程中不包含输入量的导数项q描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为,不包含不包含有输入量的导数项时的线性定系数常微分方程为有输入量的导数项时的线性定系数常微分方程为y(n)+a1y(n-1)+any=
5、bu其中其中y和和u分别为系统的输出和输入分别为系统的输出和输入;n为系统的阶次。为系统的阶次。这里所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系这里所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间数学模型统的如下状态空间数学模型-状态空间模型状态空间模型本节问题的关键是如何选择状态变量。本节问题的关键是如何选择状态变量。微分方程中不包含输入量的导数项微分方程中不包含输入量的导数项(2/9)q由微分方程理论知由微分方程理论知,若初始时刻若初始时刻t0的初值的初值y(t0),y(t0),y(n-1)(t0)已知已知,则对给定的输入则对给定的输入u(t),微分微分方程方程(2-6)有唯一解有
6、唯一解,也即系统在也即系统在t t0的任何瞬时的动态都的任何瞬时的动态都被唯一确定。被唯一确定。因此因此,选择状态变量为如下相变量选择状态变量为如下相变量x1(t)=y(t),x2(t)=y(t),xn(t)=y(n-1)(t)可完全刻划系统的动态特性。可完全刻划系统的动态特性。取输出取输出y和和y的各阶导数的各阶导数(也称相变量也称相变量)为状态变量为状态变量,物理物理意义明确意义明确,易于接受。易于接受。微分方程中不包含输入量的导数项微分方程中不包含输入量的导数项(3/9)q将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程,有如下有如下状态方程状态方
7、程和输出方程和输出方程y=x1微分方程中不包含输入量的导数项微分方程中不包含输入量的导数项(4/9)q将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有微分方程中不包含输入量的导数项微分方程中不包含输入量的导数项(5/9)q该状态空间模型可简记为该状态空间模型可简记为:其中其中微分方程中不包含输入量的导数项微分方程中不包含输入量的导数项(6/9)q上上述述式式子子清清楚楚说说明明了了状状态态空空间间模模型型中中系系统统矩矩阵阵A与与微微分分方方程程(2-6)中中的的系系数数a1,a2,an之之间间,输输入入矩矩阵阵B与与方方程程(2-6)中中系系数数b之间的对应关系。
8、之间的对应关系。通通常常将将上上述述取取输输出出y和和y的的各各阶阶导导数数为为状状态态变变量量称称为为相相变变量。量。q上上述述状状态态空空间间模模型型中中的的系系统统矩矩阵阵具具有有特特别别形形式式,该该矩矩阵阵的的最最后后一一行行与与其其矩矩阵阵特特征征多多项项式式的的系系数数有有对对应应关关系系,前前n-1行行为为1个个n-1维的零向量与维的零向量与(n-1)(n-1)的单位矩阵。的单位矩阵。该该类类矩矩阵阵称称为为友友矩矩阵阵。友友矩矩阵阵在在线线性性定定常常系系统统的的状状态态空空间间分分析析方方法法中中是是一一类类重重要要的的矩矩阵阵,这这在在后后面面的的章章节节中中可以看到。可
9、以看到。微分方程中不包含输入量的导数项微分方程中不包含输入量的导数项(7/9)q上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示微分方程中不包含输入量的导数项微分方程中不包含输入量的导数项(8/9)-例例2-1q例例2-1 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型y”+6y”+11y+6y=6uq解解 本例中本例中a1=6 a2=11 a3=6 b=6因此因此,当选择输出当选择输出y及其及其1阶与阶与2阶导数等相变量为状态变量时阶导数等相变量为状态变量时,由由式式(2-11)和和(2-12)可得状态空间模型如下可得状态
10、空间模型如下 微分方程中不包含输入量的导数项微分方程中不包含输入量的导数项(9/9)-例例2-1其系统结构图如下所示其系统结构图如下所示微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项(1/11)2.微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项q描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为的微分方描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为的微分方程的一般表达式为程的一般表达式为y(n)+a1y(n-1)+any=b0u(n)+bnu本小节所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系本小节所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间数学模型统的如下状态空间数学模
11、型-状态空间模型状态空间模型建立该状态空间模型的关键是如何选择状态变量建立该状态空间模型的关键是如何选择状态变量?微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项(2/11)q若按照前面的方法那样选取相变量为状态变量若按照前面的方法那样选取相变量为状态变量,即即x1(t)=y(t),x2(t)=y(t),xn(t)=y(n-1)(t)则可得如下状态方程则可得如下状态方程根据微分方程解的存在性和唯一性条件根据微分方程解的存在性和唯一性条件,要求输入要求输入u(t)为为分段连续分段连续,而上述状态方程中输入而上述状态方程中输入u的各阶导数可能不连的各阶导数可能不连续续,从而使微分方程解的存
12、在性和唯一性的条件不成立。从而使微分方程解的存在性和唯一性的条件不成立。因此因此,状态方程中不应有输入状态方程中不应有输入u的导数项出现的导数项出现,即不能直即不能直接将输出接将输出y的各阶导数项取作状态变量。的各阶导数项取作状态变量。微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项(3/11)q为避免状态方程中显示地出现输入的导数为避免状态方程中显示地出现输入的导数,通常通常,可利用输出可利用输出y和输入和输入u以及其各阶导数的线性组合来组以及其各阶导数的线性组合来组成状态变量成状态变量,其原则是其原则是:使状态方程中不显含输出使状态方程中不显含输出u的各阶导数。的各阶导数。基于这种
13、思路选择状态变量的方法很多基于这种思路选择状态变量的方法很多,下面先介绍一下面先介绍一种种,其他的方法将在后续章节中陆续介绍。其他的方法将在后续章节中陆续介绍。微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项(4/11)q根据上述原则根据上述原则,选择状态变量如下选择状态变量如下其中其中 i(i=0,1,n)为待定系数。为待定系数。微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项(5/11)因此因此,有有微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项(6/11)若待定系数若待定系数 i(i=0,1,n)满足如下关系式满足如下关系式 0=b0 1=b1-a1 0 2=b
14、2-a1 1-a2 0 n=bn-a1 n-1-an 0即即 i(i=0,1,n)满足如下方程组满足如下方程组微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项(7/11)则该高阶微分方程可转化描述为如下不含有输入导数项的则该高阶微分方程可转化描述为如下不含有输入导数项的状态空间模型状态空间模型微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项(8/11)q上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项(9/11)-例例2-2q例例2-2 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型将以下系统
15、输入输出方程变换为状态空间模型y”+5y”+8y+4y=2u”+14u+24uq解解 本例中本例中a1=5 a2=8 a3=4 b0=0 b1=2 b2=14 b3=24因此因此,有有 0=b0=0 1=b1-a1 0=2 2=b2-a1 1-a2 0=4 3=b3-a1 2-a2 1-a3 0=-12微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项(10/11)-例例2-2因此因此,当选择状态变量如下时当选择状态变量如下时即得系统的状态空间模型为即得系统的状态空间模型为微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项(11/11)-例例2-2其系统结构图如下所示其系统结构图如
16、下所示由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型(1/6)2.3.2 由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型q下面讨论由描述系统输入输出关系的传递函数建立系统的下面讨论由描述系统输入输出关系的传递函数建立系统的状态空间模型。状态空间模型。关键问题关键问题:1.如何选择状态变量如何选择状态变量2.保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变喔喔,关键关键!线性定常微分方程由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型(2/6)q由于传递函数与线性定系数常微分方程有直接的对应关系由于传递函数与线性定系数常微分方程有直接的对应关系,故
17、前面讨论的由高阶线性微分方程建立状态空间模型的方法故前面讨论的由高阶线性微分方程建立状态空间模型的方法同样适用于将传递函数建立变换为状态空间模型。同样适用于将传递函数建立变换为状态空间模型。类似地类似地,本节讨论的由传递函数建立状态空间模型的方本节讨论的由传递函数建立状态空间模型的方法亦适用于对微分方程建立状态空间模型。法亦适用于对微分方程建立状态空间模型。传递函数机理方法流程图、公式建立状态空间模型方法对线性定常系统拉氏变换由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型(3/6)q实际物理系统传递函数中分子多项式阶次小于或等于其分母实际物理系统传递函数中分子多项式阶次小于或等于其分母多
18、项式阶次多项式阶次,此时称该传递函数为真有理传递函数。此时称该传递函数为真有理传递函数。而分子多项式阶次小于分母多项式阶次时而分子多项式阶次小于分母多项式阶次时,则称为严格则称为严格真有理传递函数。真有理传递函数。q本节讨论描述本节讨论描述单输入单输出单输入单输出(SISO)线性系统的输入输出间动线性系统的输入输出间动态行为的如下传递函数态行为的如下传递函数由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型(4/6)对上述传递函数对上述传递函数,由长除法由长除法,有有其中其中由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型(5/6)本节所要研究的是建立该传递函数所描述的动态系统的本节所要
19、研究的是建立该传递函数所描述的动态系统的状态空间模型状态空间模型(A,B,C,D)。q上述常数项上述常数项d即为状态空间模型即为状态空间模型(A,B,C,D)中的直联矩阵中的直联矩阵D;严格真有理传递函数严格真有理传递函数G(s)对应可建立对应可建立(A,B,C,D)中的中的(A,B,C)。即即由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型(6/6)q下面分传递函数下面分传递函数极点互异和极点互异和有重极点有重极点两种情况讨论如何建立状态空间模型。两种情况讨论如何建立状态空间模型。传递函数中极点互异时的变换传递函数中极点互异时的变换(1/8)1.传递函数中极点互异时的变换传递函数中极点互
20、异时的变换q对于传递函数对于传递函数G(s),其特征方程为其特征方程为sn+a1sn-1+an=0若其特征方程的若其特征方程的n个特征根个特征根s1,s2,sn互异互异,则用部分分式法可将则用部分分式法可将G(s)表示为表示为如下并联分解如下并联分解 其中其中k1,k2,kn为待定系数为待定系数,其计算公式为其计算公式为自己推导自己推导一下一下,行吗行吗?传递函数中极点互异时的变换传递函数中极点互异时的变换(2/8)q下面以下面以k1计算式的推导过程为例说明的计算式的推导过程为例说明的ki的计算式。的计算式。将将G(s)的乘以的乘以s-s1,有有因此因此,由于特征根由于特征根s1,s2,sn互
21、异，有互异，有q下面讨论通过选择状态变量求得相应的状态空间模型。下面讨论通过选择状态变量求得相应的状态空间模型。第第2项将项将s1代入为代入为0。传递函数中极点互异时的变换传递函数中极点互异时的变换(3/8)q考虑到考虑到,输出输出y(t)和输入和输入u(t)的拉氏变换满足的拉氏变换满足因此因此,若选择状态变量若选择状态变量xi(t)使其使其拉氏变换满足拉氏变换满足则则,经反变换可得系统状态方程为经反变换可得系统状态方程为传递函数中极点互异时的变换传递函数中极点互异时的变换(4/8)q相应地相应地,系统输出系统输出y(t)的拉氏变换为的拉氏变换为Y(s)=k1X1(s)+k2X2(s)+knX
22、n(s)因此因此,经拉氏反变换可得如下输出方程经拉氏反变换可得如下输出方程y=k1x1+k2x2+knxnq整理上述状态方程和输出方程可得如下状态空间模型整理上述状态方程和输出方程可得如下状态空间模型传递函数中极点互异时的变换传递函数中极点互异时的变换(5/8)q上述用部分分式法建立的状态空间模型中的系统矩阵有一个上述用部分分式法建立的状态空间模型中的系统矩阵有一个重要特征重要特征,即即A为对角线矩阵。为对角线矩阵。系统矩阵系统矩阵A具有上述对角线具有上述对角线形式的状态空间模型即为形式的状态空间模型即为下一节将详细讨论的所谓下一节将详细讨论的所谓对角线规范形。对角线规范形。事实上事实上,由推
23、导可知由推导可知,对角对角线规范形其实是将系统转线规范形其实是将系统转换为换为n个一阶子系统个一阶子系统(惯性惯性环节环节)的并联的并联,如右图所示。如右图所示。图图2-11 对角线规范形的结构图对角线规范形的结构图传递函数中极点互异时的变换传递函数中极点互异时的变换(6/8)-例例2-3q例例2-3 用部分分式法将例用部分分式法将例2-1中微分方程对应的下述传递函数中微分方程对应的下述传递函数变换为状态空间模型变换为状态空间模型传递函数中极点互异时的变换传递函数中极点互异时的变换(7/8)q解解 由系统特征多项式由系统特征多项式s3+6s2+11s+6可求得系统极点为可求得系统极点为s1=-
24、1 s2=-2 s3=-3于是有于是有其中其中传递函数中极点互异时的变换传递函数中极点互异时的变换(8/8)q故当选择状态变量为故当选择状态变量为G(s)分式并联分解的各个一阶惯性环节分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出的输出,可得如下状态空间模型可得如下状态空间模型q将上述结果与例将上述结果与例2-1的结果相比较可知的结果相比较可知,即使对同一个系统即使对同一个系统,采采用不同的建立状态空间模型的方法用不同的建立状态空间模型的方法,将得到不同的状态空间将得到不同的状态空间模型。模型。即即,状态空间模型不具有唯一性。状态空间模型不具有唯一性。传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重极点时的变换
25、(1/13)2.传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重极点时的变换q当系统特征方程有重根时当系统特征方程有重根时,传递函数不能分解成如式传递函数不能分解成如式的情况的情况,亦得不到如式亦得不到如式(2-26)所示的状态方程。所示的状态方程。q不失一般性不失一般性,为清楚地叙述变换方法为清楚地叙述变换方法,以下设系统特征方程有以下设系统特征方程有6个根个根,其值分别为其值分别为s1,s1,s1,s4,s5,s5,即即s1为为3重极点重极点,s5为为2重极重极点。点。相应地相应地,用部分分式法可将所对应的传递函数表示为用部分分式法可将所对应的传递函数表示为传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重
26、极点时的变换(2/13)其中其中kij为待定系数为待定系数,其计算公式为其计算公式为会推导吗会推导吗?尝试一下尝试一下其中其中l为极点为极点si的重数。的重数。传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重极点时的变换(3/13)q下面以系数下面以系数k13的计算公式的推导为例来说明的计算公式的推导为例来说明kij的计算式的计算式将将G(s)的乘以的乘以(s-s1)3,有有第第2项将项将s1代入为代入为0。对等式两边求对等式两边求2次导数后次导数后因此，有因此，有传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重极点时的变换(4/13)q下面讨论通过选择状态变量求得相应的状态空间模型。下面讨论通过选择状态变量
27、求得相应的状态空间模型。q如何选择状态变量如何选择状态变量?考虑到考虑到,输出输出y(t)和输入和输入u(t)的拉氏变换满足的拉氏变换满足传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重极点时的变换(5/13)q选择状态变量选择状态变量xi(t)使其使其拉氏变换满足拉氏变换满足则有则有传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重极点时的变换(6/13)即有即有则经反变换可得系统状态方程为则经反变换可得系统状态方程为传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重极点时的变换(7/13)q相应地相应地,系统输出系统输出y(t)的拉氏变换为的拉氏变换为Y(s)=k11X1(s)+k12X2(s)+k13X3(s)+k
28、41X4(s)+k51X5(s)+k52X6(s)经拉氏反变换可得如下输出方程经拉氏反变换可得如下输出方程y=k11x1+k12x2+k13x3+k41x4+k51x5+k52x6传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重极点时的变换(8/13)q因此因此,整理可得如下矩阵描述的状态空间模型整理可得如下矩阵描述的状态空间模型传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重极点时的变换(9/13)q上述用部分分式法建立的状态空间模型中的系统矩阵有一个上述用部分分式法建立的状态空间模型中的系统矩阵有一个重要特征重要特征,即即A为为块块对角矩阵对角矩阵,且每个矩阵方块为只有一个重且每个矩阵方块为只有一个重特征
29、值的特定矩阵块特征值的特定矩阵块(约旦块约旦块)。系统矩阵系统矩阵A具有上述特定块对角形式的状态空间模型即具有上述特定块对角形式的状态空间模型即为下一节将详细讨论的所谓约旦规范形。为下一节将详细讨论的所谓约旦规范形。事实上事实上,约旦规范形是将系统转换为多个子系统约旦规范形是将系统转换为多个子系统(惯性环惯性环节节)的串的串-并联。并联。如下图所示。如下图所示。传递函数中有重极点时的变换(10/13)传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重极点时的变换(11/13)-例例2-4q例例2-4 用部分分式法将例用部分分式法将例2-2中微分方程对应的下述传递函数中微分方程对应的下述传递函数变换为状态
30、空间模型变换为状态空间模型传递函数中有重极点时的变换(12/13)q解解 由系统特征多项式s3+5s2+8s+4可求得系统有二重极点s1=-2和单极点s2=-1,于是有其中传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重极点时的变换(13/13)q故故当选择状态变量为当选择状态变量为G(s)分式串分式串-并联分解的各个一阶惯性环并联分解的各个一阶惯性环节的输出节的输出,可得如下状态空间模型可得如下状态空间模型q将上述结果与例将上述结果与例2-2的结果相比较可知的结果相比较可知,可再次验证可再次验证“状态空状态空间模型不具有唯一性间模型不具有唯一性”。多输入多输出线性系统多输入多输出线性系统(1/5)2
31、.3.3 多输入多输出线性系统多输入多输出线性系统q下面下面,以双输入双输出的三阶系统为例介绍由描述以双输入双输出的三阶系统为例介绍由描述MIMO系系统的高阶微分方程组如何建立状态空间模型。统的高阶微分方程组如何建立状态空间模型。设描述系统的微分方程为设描述系统的微分方程为 q同同SISO系统一样系统一样,该系统的实现也是非唯一的。该系统的实现也是非唯一的。下面采用模拟结构图的方法下面采用模拟结构图的方法,按高阶导数项求解方法来建按高阶导数项求解方法来建立状态空间模型。立状态空间模型。多输入多输出线性系统多输入多输出线性系统(2/5)因此因此,该系统的方程也可表示为该系统的方程也可表示为对每一
32、个方程积分对每一个方程积分,直至消除导数符号为止。直至消除导数符号为止。为此为此,有有多输入多输出线性系统多输入多输出线性系统(3/5)故可得模拟结构图故可得模拟结构图,如图如图2-13所示。所示。图图2-13 系统模拟结构图系统模拟结构图多输入多输出线性系统多输入多输出线性系统(4/5)取每个积分器的输出为一个状态变量取每个积分器的输出为一个状态变量,如图如图2-13所示。所示。则式则式(2-33)的一种状态空间实现为的一种状态空间实现为相应地输出方程为相应地输出方程为多输入多输出线性系统多输入多输出线性系统(5/5)因此因此,该双输入双输出系统的矩阵形式状态空间模型为该双输入双输出系统的矩
33、阵形式状态空间模型为非线性系统非线性系统(1/10)2.3.4 非线性系统非线性系统q倒立摆系统是一个多变量、存在严重非线性的非自治不稳定倒立摆系统是一个多变量、存在严重非线性的非自治不稳定性系统性系统,经常被用来研究和比较各种控制方法的性能。经常被用来研究和比较各种控制方法的性能。其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运动等有其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运动等有很多相似之处很多相似之处,因而对倒立摆系统平衡的控制方法在航空因而对倒立摆系统平衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广泛的用途及机器人等领域有着广泛的用途,人们对倒立摆控制的研人们对倒立摆控制的研究也越来越感兴趣。究也越
34、来越感兴趣。下面通过一个一级倒立摆的例子下面通过一个一级倒立摆的例子,来简述对非线性系统来来简述对非线性系统来说说,如何通过描述其动力学模型的常微分方程建立状态空如何通过描述其动力学模型的常微分方程建立状态空间模型。间模型。非线性系统非线性系统(2/10)q图图2-14为某一级倒立摆结构示意图。为某一级倒立摆结构示意图。图图2-14 一级倒立摆示意图一级倒立摆示意图非线性系统非线性系统(3/10)图中所示的带轮小车可以前图中所示的带轮小车可以前后移动来平衡一根杆后移动来平衡一根杆,此杆由此杆由其底部的一个支点来支撑。其底部的一个支点来支撑。该系统中还有一个电机该系统中还有一个电机,一根一根连接
35、电机与小车的皮带和一连接电机与小车的皮带和一些滑轮。些滑轮。还有一些传感器还有一些传感器,用来测量小车的速度、位置、杆底部与用来测量小车的速度、位置、杆底部与铅垂线所成的角度及其微分。铅垂线所成的角度及其微分。其控制任务是由电机通过皮带施加合适的力其控制任务是由电机通过皮带施加合适的力f给小车从而给小车从而使杆不倒使杆不倒,并使小车不超过左右边界。并使小车不超过左右边界。一级倒立摆有两个运动自由度一级倒立摆有两个运动自由度,一个沿水平方向运动一个沿水平方向运动,另另一个绕轴转动。一个绕轴转动。非线性系统非线性系统(4/10)q解解 通过对滑轮小车和摆竿的受通过对滑轮小车和摆竿的受力分析和推导力
36、分析和推导,且忽略交流电机且忽略交流电机的动特性并且假设交流电机由的动特性并且假设交流电机由u到到f的静态增益为的静态增益为1,得到倒立摆系得到倒立摆系统的动力学描述如下统的动力学描述如下:其中其中 c是小车与导轨的摩擦系数是小车与导轨的摩擦系数;f为施加在小车水平方向上的外力为施加在小车水平方向上的外力;u为作用在驱动电机上的电压为作用在驱动电机上的电压,其为控制变量其为控制变量;非线性系统非线性系统(5/10)J为转动惯量为转动惯量,x为为小小车车的的水水平平位位移移,由由与与电电机机相连的电位计测得相连的电位计测得;连接的电位计测得的信号经微分而得连接的电位计测得的信号经微分而得;为为杆
37、杆与与垂垂线线的的夹夹角角,并并取取顺顺时时针针方方向向为为正正方方向向,由由安安装装在在小小车上并与杆的基座相连的电位计测得车上并与杆的基座相连的电位计测得;为小车的水平速度为小车的水平速度,由与电机由与电机 为为杆杆转转动动的的角角速速度度,由由安安装装在在小小车车上上并并与与杆杆的的基基座座相相连连的的电位计测得的信号经微分而得。电位计测得的信号经微分而得。非线性系统非线性系统(6/10)q整理上整理上式式,得到得到:其中其中非线性系统非线性系统(7/10)q对该倒立摆系统对该倒立摆系统,选取状态变量选取状态变量:由上由上式得到该倒立摆系统的状态空间模型为式得到该倒立摆系统的状态空间模型
38、为非线性系统非线性系统(8/10)q由由于于数数学学方方法法的的局局限限以以及及工工程程系系统统实实现现的的困困难难,在在进进行行系系统统分分析析与与控控制制时时,复复杂杂的的非非线线性性模模型型将将导导致致难难于于分分析析求求解解及及控控制。制。因因此此,常常将将非非线线性性模模型型在在其其平平衡衡点点(工工作作点点)附附近近对对其其进进行行Taylor级级数数展展开开至至一一阶阶线线性性方方程程,以以获获得得简简化化的的数数学学模型模型,实现系统分析与控制。实现系统分析与控制。这种处理也是工程中的常用方法这种处理也是工程中的常用方法,如如若若摆摆杆杆相相对对于于垂垂直直线线的的角角度度 保保持持足足够够小小(如如),则则常有如下线性展开近似常有如下线性展开近似非线性系统非线性系统(9/10)因此因此,对本例来说对本例来说,在平衡点在平衡点 附近附近,非线性状态方程的近似线性化状态方程为非线性状态方程的近似线性化状态方程为 其中其中非线性系统非线性系统(10/10)和相应的输出方程和相应的输出方程:至至此此,得得到到一一级级倒倒立立摆摆系系统统的的状状态态空空间间形形式式的的线线性性化化数数学学模型。模型。