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1、正弦 余弦函数的性质2021/8/7 星期六11、，则 在 上是单增函数；一、复习函数的单调性函数若对于任意 ，且 ，都有：单减函数；2、，则 在 上是函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。请认真观察正余弦函数的图像，看看其是否具有这类性质？2021/8/7 星期六2先看正弦函数图像从的图像上可以看到函数具有什么特征？当 在区间上时，曲线逐渐上升，sin的值由 增大到 。当 在区间上时，曲线逐渐下降，sin的值由 减小到 。2021/8/7 星期六3由正弦函数的周期性知：正弦函数在每个闭区间都是增函数，其值从1增大到1；而在每个闭区间上都是减函数，其值从1减小到1。我们在来观察余弦函数的图
2、像，看看是否有类似的特征。2021/8/7 星期六4再来观察余弦函数图像从的图像上可以看到函数具有什么特征？当 在区间上时，曲线逐渐上升，cos的值由 增大到 。曲线逐渐下降，sin的值由 减小到 。当 在区间上时，2021/8/7 星期六5由余弦函数的周期性知：其值从1减小到1。而在每个闭区间上都是减函数，其值从1增大到1；在每个闭区间都是增函数，当xR时，即在整个定义域内并不单调，图像时而上升，时而下降，存在规范的单调区间。由于它们是周期函数，因此在考虑函数增减的问题时，只要研究一个周期即可。2021/8/7 星期六6分析：比较同名函数值的大小，往往可以利用函数的单调性，但需要考虑它是否在
3、同一单调区间上，若是，即可判断，若不是，需化成同一单调区间后再作判断。例1：不求值，判断下列各式的符号。解：2021/8/7 星期六7例2：确定下列函数的单调区间。分析：利用 的单调性来解。解:在 上单减。2021/8/7 星期六8正弦函数的图像二、观察正余弦函数的图像余弦函数的图像问题：它们的图像还有什么特征？问题：它们的图像还有什么特征？2021/8/7 星期六9 若从正弦函数上任取一点 ，即 ，其关于原点的对称点 ，即 ，由诱导公式 知这个点也在正弦函数的图像上。这说明什么？这说明：将正弦函数曲线绕原点旋转180度后所得的曲线能够和原来的曲线重合。即正弦函数关于原点对称。2021/8/7
4、 星期六10 一般地，如果对于函数 的定义域内的任意一个 都有 ,则称 为这一定义域内的奇函数。据此可知，上述正弦函数是奇函数。关于原点对称的函数一定是奇函数，且奇函数的图像一定关于原点对称。正弦函数是这样的。那大家思考一下，余弦函数是否如此呢？2021/8/7 星期六11点 ，即 ，由诱导公式任取一点 ，即 ，其关于y轴的对称请观察余弦函数的图像回答。分析：设，从余弦函数的图像上知这个点也在余弦函数的图像上。这说明什么？这说明若将余弦曲线延着 y轴折叠，y轴两旁的部分能够互相重合，即余弦曲线关于y轴对称。2021/8/7 星期六12 我们通过学过的知识知道：关于y轴对称的函数一定是偶函数，且偶函数的图像一定关于y轴对称。余弦函数是这样的。从上面的分析知道，正余弦函数的奇偶性反映了正余弦函数的图像具有的对称性。一般地，如果对于函数 的定义域内的任意一个 ，都有 则称 为这一定义域内的偶函数。据此可知，上述余弦函数是偶函数。2021/8/7 星期六13小结：小结：1、正余弦函数的单调性、正余弦函数的单调性2、正余弦函数的单调性的应用。、正余弦函数的单调性的应用。3、正余弦函数的奇偶性。、正余弦函数的奇偶性。函数的奇偶性反映了函数图像所具有的对函数的奇偶性反映了函数图像所具有的对称性。称性。2021/8/7 星期六142021/8/7 星期六15162021/8/7 星期六